자연적 증거와 기하학적 복잡성의 구성 성

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최근 Ryan Willams는 Natural Proof의 Constructivity가 복잡한 클래스 ( 및 의 분리를 유도 할 수 없음을 증명했습니다 . $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{TC}^{0}$

자연 증명의 구성 성은 회로 복잡성의 모든 조합 증명이 만족하는 조건이며 (또는 다른 "하드"복잡도 클래스) 의 대상 함수 가 실행되는 알고리즘에 의해 "하드"속성을 갖는지 여부를 결정할 수 있습니다 대상 함수의 진리표 길이의 폴리 시간. $\mathsf{NEXP}$

다른 두 가지 조건은 다음과 같습니다. "하드"특성을 필요로하는 쓸모없는 조건은 회로로 계산할 수 없으며 하드 특성을 찾기 쉬운 큰 조건입니다. $\mathsf{TC}^0$

내 질문은 :

이 결과는 GCT (Geometric Complexity Theory)가 vs , vs 또는 vs 과 같은 주요 분리 문제를 해결할 수 없게 합니까? $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NC}$ $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{TC}^0$

참고 문헌 :

Ryan Williams, " 무작위 화 대 자연 증명 "

— 오윤
소스

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아니, constructivity의 unavoidability은 확실히 아직 잎과 같은 하한 문제에 대한 공격의 실행 가능한 계획 오픈 GCT 대에 . $NP$ $P/poly$

$\{M_1, \dotsc, M_{p(n)}\}$

둘째, GCT에서 대칭 특성화의 중심성 (이미 Siuman에 의해 언급 됨)은 Regan의 조사 이후 더욱 분명 해졌다. 대칭 특성화가 GCT에 필요한 것만 큼 중요한 것으로 판명되면 이미 큰 규모의 조건을 극복합니다. 대칭 특성의 정의에 대해서는 밀접하게 관련된 이전 질문에 대한 이 답변 을 참조하십시오 .

대칭 특성화가 대형을 위반한다는 증거는 3.4.3 절 "논리적 특성화가 논문 의 Razborov-Rudich 장벽을 피함"을 참조하십시오. . 나는 그것이 또한 건설 성을 위반한다고 생각하지만 거기에 열린 질문으로 남겨 두었습니다. (3 장 초반에는 GCT의 플립 이론에 대한 개요와 이들이 대칭 특성과 어떻게 관련되어 있는지에 대한 개요가 있습니다.)

(라즈 보 로프를 돌아 다니는 GCT에서 대칭 특성화가 사용되는 것으로 의심되는 속성 인 루치 (Rudich)는 플립 이론을 증명하는 데 사용된다는 점이 흥미 롭다.

$NP$ $P/poly$

— 조슈아 그로 호프
소스

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Josh : 저의 이해는 "Mulmuley의 결과는"영구적으로 다 사이즈 회로를 갖지 않는다 "는 영구적 인 다항식 시간 방해를 의미합니다. (그러나 흥미로운 질문입니다. 만약 우리가 이미 영속 회로에 작은 회로가 없다고 가정한다면, 그러한 비 무작위 화 가설이 필요한가?) 당신의 논문에 대한 포인터에 감사드립니다!

— Ryan Williams

1

@RyanWilliams : 그렇습니다. 이제 "무작위 시간"이라고 말하도록 답변을 업데이트하겠습니다.

— Joshua Grochow

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$NEXP \not\subset TC^0$ $NEXP \cap coNEXP \not\subset ACC$

이제 귀하의 질문에 대한 대답은 '아니오'입니다. GCT를 기반으로하는 기술이 와 분리 할 수있는 가능성은 여전히 매우 높습니다 . $P$ $NP$

이것에 대한 몇 가지 추가 의견 : GCT와 자연 증명의 관계는 과거에 논의되었습니다 (원래 GCT 논문 자체에서도). GCT 접근법에 의해 어떤 "구조 성"또는 "대형"이 위반 될 것인지에 대해서는 합의 된 것으로 보이지 않지만 Mulmuley와 Sohoni는 GCT를 수행 할 수 있다면 그 규모를 크게 위반해야한다고 주장했다. 관련 참조는 Regan의 GCT 개요 섹션 6을 참조하십시오 . 그러나이 개요는 이미 10 년이 지났으며 그 이후로 상당한 양의 작업이 GCT에 들어갔습니다. 이에 대한 개정 / 새로운 의견이 있는지 확실하지 않습니다. (아마도 Josh Grochow가 들어올 수 있을까요?)

— 라이언 윌리엄스
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짧은 대답은 아니오 입니다.

기하 복잡도 이론 접근 방식은 매우 희귀 한 특성을 대상으로하며, 물 물리는 Razborov와 Rudich가 정의한대로 "대형"이 아니라고 주장합니다. 공식적인 주장에 대해서는 Joshua Grochow의 논문 , 섹션 3.4.3을 참조하십시오. 대칭 특성화는 Razborov–Rudich 장벽을 피하고 그의 답변을 참조하십시오 .

다음 단락은 Ketan Mulmuley ( JACM 2011 또는 원고 ), 섹션 4.3 A 고수준 계획에 의한 On P 대 NP 및 기하학적 복잡성 이론 에서 비롯된 것입니다 .

목표는 영구적이고 결정적인 대칭에 의한 특성을 활용하여 이러한 단계를 명시 적으로 수행하는 것입니다. 우리는 나중에 명백한 의미가 무엇인지 명시 할 것입니다. cf. 가설 4.6. 이 접근 방식은 대칭성이 특징 인 매우 드문 어려운 기능에 대해서만 작동한다는 점에서 매우 엄격합니다. 이 극단적 인 강성은 자연적인 증거 장벽을 우회하는 데 필요한 것보다 훨씬 더 크다 [Razborov and Rudich 1997].

자연적 증거 (유용성이 암시적인 경우)에는 건설 성과 조건 모두가 필요하기 때문에 건설 성이 불가피하다는 것을 증명하는 것만으로는 그러한 접근법을 배제하기에 충분하지 않습니다 (큰 진전).

— 시우 안
소스