원시 재귀 함수를위한 결합기

S 및 K 콤비 네이터는 Turing Complete 인 것으로 잘 알려져 있습니다. 원시 재귀 함수를 생성하기에 충분한 결합기가 있습니까?

예, 그러나 유형 조합기를 고려해야합니다. 즉, 당신은 줄 필요가 와 K 다음과 같은 유형의 스키마를 : K : → B → S : ( → B → C ) → ( → B ) → ( → C ) , B 및 C를 매번 사용할 때마다 구체적인 유형으로 인스턴스화 할 수있는 메타 변수입니다.$S$$K$

$$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$$ $A, B$$C$

그런 다음 타입 추가 할 다음과 콤비를 종류의 언어로 자연의 숫자를 추가합니다 : Z : N이 s의 U C C : N → N 내가 t 전자 R : N → ( N → N ) → N → $\mathbb{N}$

$$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$$

추가 사항에 대한 평등의 규칙은 다음과 같습니다

$$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$$

$$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$$ $iter$

$\mathit{iter}$

$$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$