논리의 CS 애플리케이션을위한 포인터

나는 논리의 견고한 배경을 가진 수학의 대학원생입니다. 유한 모델 이론에 대한 대학원 과정과 강제 및 설정 이론에 대한 대학원 과정과 함께 논리에서 1 년 동안의 대학원 과정을 수강했습니다. 대부분의 CS 텍스트는 논리에서 아주 겸손한 배경 만 가정하는 것으로 보이며, 주로 제안 논리 및 1 차 논리의 기본 사항을 다룹니다.

로직의 무거운 재료가 사용되는 CS 응용 프로그램을 어디로 가야하는지에 대한 포인터를 얻고 싶습니다. 내 관심사 중 하나는 일반적으로 형식 이론과 공식적인 방법입니다. 모델 확인 및 프로그래밍 언어에 대한 입문 서적을 넘어서 좋은 독서를 제안 할 수 있습니까?

나는 여기서 고급 수학 논리에 대한 배경 지식을 가진 사람에게 어필 할 수있는 아이디어에 중점을 두려고 일부 영역을 간단히 검토했습니다.

유한 모형 이론

컴퓨터 과학의 관점에서 고전 모형 이론의 가장 간단한 제한은 유한 우주에 대한 구조를 연구하는 것입니다. 이러한 구조는 컴퓨터 과학의 모든 곳에서 발생하는 관계형 데이터베이스, 그래프 및 기타 조합 객체의 형태로 발생합니다. 첫 번째 관측은 1 차 모형 이론의 몇 가지 기본 정리가 유한 모형으로 제한 될 때 실패한다는 것입니다. 여기에는 압축 정리, 고델의 완전성 정리 및 초소형 구조가 포함됩니다. Trakhtenbrot는 고전적인 1 차 논리와 달리 유한 모델에 대한 만족도는 결정 불가능하다는 것을 보여주었습니다.

이 영역의 기본 도구는 Hanf 지역, Gaifman 지역 및 Ehrenfeucht-Fraisse 게임의 다양한 변형입니다. 연구 주제에는 항상 유한 모델에 중점을 둔 무한 논리, 계산 논리, 고정 소수점 논리 등이 포함됩니다. 1 차 논리의 유한 변수 단편에서 표현성에 중점을 둔 작업이 있으며 이러한 논리는 페블 게임을 통해 특성화됩니다. 또 다른 조사 방향은 유한 모델에 대한 제한에서 살아남는 고전적 논리의 특성을 식별하는 것입니다. Rossman의 방향에 대한 최근의 결과는 특정 동질성 보존 이론이 여전히 유한 모델을 지배한다는 것을 보여줍니다.

1. 유한 모델 이론 , Ebbinghaus 및 Flum
2. 유한 모델 이론의 요소 , Libkin
3. 1997 년 Ehrenfeucht-Fraisse 게임 , Arora and Fagin의 전략에서 승리했습니다 .
4. 동종 보존 이론 , Rossman

$\mu$

$\mu$$\mu$$\mu$

그의 논문에서 $\mu$$\mu$$\mu$$\mu$$\mu$

1. $\mu$
2. $\mu$
3. $\mu$
4. $\mu$
5. 모달 mu-calculus 교체 계층 구조는 엄격하다 , Bradfield, 1996
6. mu-calculus의 가변 계층 구조는 엄격합니다 . Berwanger, E. Grädel 및 G. Lenzi, 2005

선형 시간 논리

컴퓨터 프로그램의 동작에 대한 추론을 위해 철학적 논리에서 컴퓨터 과학으로 선형 시간 논리를 채택했습니다. 불변성 (오류 없음) 및 종료와 같은 속성을 표현할 수 있기 때문에 좋은 논리로 간주되었습니다. 시간 논리에 대한 증명 이론은 Manna와 Pnueli (및 다른 사람들)가 그들의 기사와 책에서 개발했습니다. LTL에 대한 모델 검사 및 만족도 문제는 무한 단어에 대한 오토마타 측면에서 해결 될 수 있습니다.

Pnueli는 또한 프로그램에 대한 추론 논리를 소개하는 그의 원본 논문에서 LTL에 대한 근본적인 결과를 입증했습니다. Vardi와 Wolper는 LTL 수식을 Buchi automata로 훨씬 간단하게 컴파일했습니다. 시간적 논리와의 연결은 LTL로부터 오토마타를 효율적으로 유도하고 부치 오토마타의 결정 및 보완을위한 강력한 알고리즘 연구로 이어졌다. 캠프의 정리 쇼 LTL 그와 이후 와 까지$\omega$$\mu$$\mu$ -calculus. 모달 대응과 달리 선형 시간 교대 계층 구조는 수준 2에서 축소됩니다.

1. 프로그램의 시간적 논리 , Pnueli 1977
2. 교회에서 그리고 PSL 이전Vardi, 2008 년
3. 선형 시간 논리에 대한 automata-theoretic 접근법 , Vardi and Wolper, 1986
4. 반응성 및 동시 시스템의 시간적 논리 : 사양 , Manna 및 Pnueli
5. Etessami and Wilke, 2000, 시간 논리를위한 Ehrenfeucht-Fraïssé 게임의 계층 구조 및 기타 응용 프로그램까지

전산 트리 로직

$\mu$

유한 구조에 대한 CTL의 모델 확인 문제는 다항식 시간입니다. CTL *의 모델 확인 문제는 EXPTIME 완료입니다. CTL *의 공리 화는 Reynolds 2001에 의해 해결 된 도전적인 개방형 문제였습니다. 모달 논리에 대한 van Benthem의 정리와 LTL에 대한 Kamp의 정리는 Hafer와 Thomas의 정리에 의해 CTL *에 대해 주어집니다. 이진 트리에 대한 모나 딕 2 차 로직의 조각. 후르 쉬 펠트와 라 비노 비치의 후기 특성은 CTL *이 경로 정량화를 갖는 MSO의 이시 불변 불변 단편과 표현 적으로 동일하다는 것이다.

1. "때때로"그리고 "절대로"재검토 : 분기 대 선형 시간 시간 논리 , 에머슨과 할펜, 1986
2. CTL의 표현력 , Moller, Rabinovich, 1999
3. 이진 트리의 모나 딕 이론에서 계산 트리 로직 CTL * 및 경로 수량 화기 화기, Hafer and Thomas, 1987
4. 완전 계산 트리 로직의 Axiomatization , Reynolds, 2001

무한한 단어의 언어

LTL과의 연결과 무한 행동 모델링의 필요성으로 인해 대한 집중적 인 연구가 이루어졌습니다.$\omega$ 단어가 자연수에서 유한 알파벳까지의 함수로 정의되는 언어 언어에 이루어졌습니다. 커뮤니티는 무한 단어보다 일반 언어의 속성을 연구했으며 유한 단어와 유사한 여러 결과를 개발했습니다. 몇 가지 놀라움이 나타나므로 유한 단어 결과를 무한 단어 사례로 들어 올릴 수는 없습니다.

$\omega$$\omega$$\omega$-말. 또한 기초 토폴로지를 사용하여 모든 선형 시간 속성이 안전 속성과 라이브 속성의 교차로 표현 될 수 있음을 보여주었습니다. 이 결과는 복잡한 속성 검사기를 구축하는 것이 아니라 안전 및 활력 검사기를 구축하기에 충분하기 때문에 실질적인 결과를 초래합니다. 추가 축소는 불확실성 검사기와 종료 검사기를 작성하기에 충분하다는 것을 보여줍니다. 안전 수명 특성은 Manolios와 Trefler에 의해 트리로 확장되었으며, 최근에는 하이퍼 속성 프레임 워크에서 Clarkson과 Schneider에 의해 추적 세트로 확장되었습니다.

1. 무한한 단어 : Automata, Semigroups, Logic and Games , Perrin and Pin, 2004
2. $\omega$
3. $\omega$
4. ω- 언어 , Maler and Staiger, 1993 년의 구문 적 합동에 대하여

무한한 단어에 대한 오토마타

언어가있는 경우, 컴퓨터 과학자들은 오토마타를 갖게됩니다. 무한한 단어와 무한한 나무에 대한 오토마타 이론을 입력하십시오. 무한 단어에 대한 오토마타가 유한 단어에 대한 오토마타 후 2 년 내에 나타 났지만,이 기본 주제가 표준 컴퓨터 과학 커리큘럼에서 다루어지지 않는 것은 매우 슬픈 일입니다. 무한한 단어와 나무에 대한 오토마타는 매우 풍부한 논리 계열에 대한 만족도의 결정 가능성을 입증하는 매우 강력한 접근 방식을 제공합니다.

$\omega$

1. 무한 나무에 대한 2 차 이론과 오토마타의 결정 성 , Rabin, 1969
2. 무한한 물체에 관한 오토마타 , 1988 년 토마스
3. 오토마타 : 논리에서 알고리즘으로 , Vardi, 2007

무한 게임

논리적이고 무한한 게임은 활발한 연구 분야입니다. 게임 이론적 개념은 비결정론과 병행론 (alternation), 프로그램과 그 환경, 보편적, 실존 적 정량화, 박스와 다이아몬드 양식 등의 이원성에서 컴퓨터 과학에 나타나고있다. 게임은 위에 나열된 다양한 유형의 비 고전 논리의 속성을 연구 할 수있는 좋은 방법입니다.

오토마타에 대한 수용 기준과 마찬가지로, 우리는 게임에 대해 다른 승리 조건을 가지고 있으며 많은 것들이 동등한 것으로 보일 수 있습니다. 고전적인 결과에 대해 물었으므로 Borel Determinacy 정리 및 Gale-Stewart 게임은 종종 우리가 연구하는 여러 게임 모델의 배경에 신중하게 놓여 있습니다. 우리 시대의 한 가지 긴급한 문제는 패리티 게임 해결의 복잡성에 관한 것이 었습니다. Jurdzinski는 전략 개선 알고리즘을 제공하여 승자를 결정하는 것이 UP 및 coUP 복잡성 클래스의 교차점에 있음을 보여주었습니다. Jurdzinski 알고리즘의 정확한 복잡성은 Friedmann이 2009 년에 기하 급수적으로 시간을 줄 때까지 공개되었습니다.

1. 패리티 게임에서 승자를 결정하는 것은 1998 년 Jurdzinski의 UP ∩ co-UP 에 있습니다.
2. μ- 미적분 , Niwinski 및 Walukiewicz를 위한 게임 , 1996
3. 우리가 알고있는 패리티 게임 전략 개선 알고리즘에 대한 지수 하한 , Friedmann, 2009

Edmund M. Clarke, Orna Grumberg, Doron A. Peled : 모델 확인 . MIT Press 1999는 모델 확인에 대한 좋은 책입니다.

Glynn Winskel : 프로그래밍 언어의 형식적 의미론 : 소개 . MIT Press 1994는 프로그래밍 언어에 대한 표준 교과서 중 하나입니다.

Mordechai Ben-Ari : 컴퓨터 과학을위한 수학적 논리 . Springer 2001, 아마도 당신이 찾고있는 것입니다.

데이터베이스 이론은 많은 논리 응용 프로그램을 제공하는 거대한 분야입니다. 설명의 복잡성과 유한 모델 이론은 밀접한 관련 분야입니다. 내가 알 수있는 한,이 영역들은 모두 증명 이론이 아닌 대수적 논리 (Birkhoff와 Tarski의 발자취를 따르는)를 사용하는 경향이 있습니다. 그러나 Peter Buneman , Leonid Libkin , Wenfei Fan , Susan Davidson , Limsoon Wong , Atsushi Ohori 및 1980-90 년대 UPenn 에서 일했던 다른 연구자들의 작업 중 일부는 프로그래밍 언어 이론과 데이터베이스를 통합하고자했습니다. 이를 위해서는 두 가지 스타일의 논리 모두에 익숙해야합니다. James Cheney의 최근 작품도 마찬가지입니다.그리고 Philip Wadler .

구체적인 참고 자료와 관련하여 표준 교과서는 온라인으로 제공되어 편리하게 참조 할 수 있습니다.

• Abiteboul, Richard Hull, Victor Vianu 세르 데이터베이스 기초 , 1995. http://webdam.inria.fr/Alice/

불행히도 나는 빠르게 변화하는이 분야를 다루는 최신 일반 교과서 나 설문 조사를 모른다. 두 가지 오래된 설문 조사가 유용하다는 것을 알았습니다. 먼저,

• Jan Van den Bussche, 데이터베이스 이론에서 Alfred Tarski의 아이디어 적용 , CSL 2001. doi : 10.1007 / 3-540-44802-0_2

Tarski와 특정 서브 필드, 구속 조건 데이터베이스 사이에 점을 연결하는 방법을 보여줍니다. 둘째,

• Victor Vianu, 데이터베이스 및 유한 모델 이론 , 서술 적 복잡성 및 유한 모델 : DIMACS 워크샵 진행, 1996. http://leo.saclay.inria.fr/publifiles/gemo/GemoReport-107.ps.gz

유한 모델 이론가들에 대한 피치 (1996- 스타일) 데이터베이스 이론, 그리고 그 과정에서 데이터베이스에서 논리의 많은 흥미로운 응용을 강조한다. 최근의 연구 (XML 이론, 출처, 스트리밍 모델 또는 그래프 데이터베이스 등)의 경우 인용이 많은 연구 논문을 읽는 것이 합리적입니다.

Michael Huth와 Mark Ryan : 2004 년 Cambridge University Press 컴퓨터 과학 논리 .

컴퓨터 과학에서 논리가 어떻게 역할을하는지에 대한 일반적인 소개로이 책을 강력히 추천합니다.

CS에서 논리의 주요 용도는 Hoare 논리라고도하는 프로그램 논리입니다.

$2 \in \sqrt(\pi^{17})$

비슷한 상황이 모달 논리의 연구에서 (다시 단순화) 1 차 논리만큼 표현 적이지는 않지만 표현 할 수있는 것은 더 짧은 공식과 증거로 표현합니다.

ZFC의 적절한 조각을 식별하는 것은 간단한 프로그래밍 언어에는 어렵지 않지만 프로그래밍 언어가 더 많은 기능을 획득함에 따라 급격히 어려워지고 있습니다. 지난 몇 년 동안이 노력에서 상당한 진전이있었습니다.

T. Hoare의 컴퓨터 프로그래밍 에 대한 Axiomatic Basis 논문 은 종종 프로그램 로직에 대한 연구를 본격적으로 시작하고, 읽기 쉽고, 아마도 현장으로의 환기를 시작하기에 좋은 방법으로 여겨진다. Winskel의 저서 "프로그래밍 언어의 형식적 의미론"에서 동일한 논리에 대해 더 자세히 연구합니다. @vb le.

유형 이론은 비슷한 관점에서 볼 수 있습니다. 형식 이론의 주요 판매 지점은 (순전히 기능적인) 프로그램으로 증명을 식별하여 개념의 경제가 강력하고 강력한 자동화 (유형 추론 및 대화식 정리 방식)를 이끌어내는 것입니다. 형식 이론이 증명을 체계적으로 구성하는 우아한 방법 인 가격은 순전히 기능하지 않는 프로그래밍 언어와 잘 작동하지 않는 것입니다.

유형 이론적 방식으로 프로그램 로직을 소개하는 최근의 현대 텍스트는 Pierce 등의 Software Foundations 입니다. 그것은 (a) 프로그램 검증 분야의 최첨단 연구 근처에서 당신을 이끌 것이며, 교과서로서 아마도 미래에 컴퓨터 과학과 수학이 어떻게 배울지를 엿볼 수있을 것입니다.

언어에 대한 프로그램 논리가 개발되면 다음 단계는 자동화 또는 부분 자동화입니다. 사소하지 않은 프로그램에 대한 증명을 작성하는 것은 노동 집약적이며 기계가 가능한 많은 작업을 수행하기를 원합니다. 이러한 자동화와 관련된 공식적인 방법에 대한 현재의 많은 연구.

컴퓨터 과학에는 매우 강력한 전통 논리가 있습니다. 우리가 공부하는 문제와 계산 논리 공동체의 미학은 수학적 논리 공동체와 동일하지 않습니다. 모델 이론, 일차 논리의 메타 이론 및 집합 이론의 중요한 발전이 계산 논리에서 일반적으로 사용되지 않는다는 것은 절대적으로 옳습니다. 울트라 필터, 비표준 분석, 강제력, 파리-해링턴 정리 및 고전 논리에서 중요하게 여겨지는 여러 가지 흥미로운 개념을 보거나 사용하지 않고도 계산 로그를 성공적으로 연구 할 수 있습니다.

수학을 연구하기 위해 수학 아이디어를 적용하고 수학을 연구하기 위해 논리 아이디어를 적용하는 것처럼 컴퓨터 과학을 연구하고 논리를 연구 논리에 적용하는 논리를 적용합니다. 이 다른 초점은 우리에게 중요한 결과 유형에 다소 극적인 결과를 가져옵니다.

다음은 John Baez의 논리 및 컴퓨터 과학에 대한 인용문입니다. 고급 수학 논리에 익숙하지 않기 때문에 정확히 같은 견해를 가지고 있지 않습니다.

학부 시절 저는 논리와 수학의 기초에 관심이 많았습니다 .- 나는 항상 내가 얻을 수있는 가장 마음에 드는 개념을 찾고 있었고 Goedel의 정리, Loewenheim-Skolem 정리 등은 제가 생각하는 한 양자 역학과 일반 상대성 이론으로 [...] 나는 논리가 세기 초반보다 덜 혁명적이었던 느낌을 기억합니다. 논리는 다른 어떤 것과 마찬가지로 수학의 한 가지가되었으며, 그러한 공리에 내재 된 기본 가정에 의문을 제기하고 새롭고 다른 접근법을 추구하는 대신 Zermelo-Fraenkel 공리 모델의 모호한 속성을 연구하는 것처럼 보였습니다. [...]

어쨌든, 내가 방금 올바른 내용을 읽지 않았다는 것이 나에게 분명합니다. 나는 로타가 논리에서 정말로 흥미로운 작업이 이제 "컴퓨터 과학"의 이름으로 간다고 생각한다. [...] --40 주차, 이번 주 찾기, John Baez

컴퓨터 과학의 논리는 방대하고 빠르게 발전하는 분야입니다. 고전 논리의 모든 관점은 계산 논리에 대한 일부 관점을 도출하기 위해 수정 될 수 있습니다. 수학 논리에 대한 Wikipedia 항목은 필드를 집합 이론, 모델 이론, 증명 이론 및 재귀 이론으로 나눕니다. 본질적으로 이러한 영역을 가져 와서 계산 풍미를 추가하고 계산 논리의 하위 필드를 얻을 수 있습니다.

모델 이론 우리는 비 고전적 논리와 비 고전적 고전 논리의 모델 이론을 연구하고자한다. 즉, 우리는 모달, 시간 및 하위 구조 논리를 연구하고 대수와 같은 고전적인 모델과 달리 나무, 단어 및 유한 모델에 대한 논리를 연구합니다. 두 가지 근본적인 문제는 만족도와 모델 확인입니다. 둘 다 실용적이고 이론적 인 의미가 있습니다. 대조적으로, 이러한 문제는 고전적인 논리에서 덜 중심적이다.

증명 이론 우리는 클래식 증명 시스템에서 증명을 생성 할 수있는 복잡성과 효율성을 연구하고 복잡성과 효율성 고려 사항에 민감한 새로운 비 클래식 증명 시스템을 개발합니다. 자동 공제 연구는 기계 지원 증거 생성, 광범위한 말하기. 이 과정에는 사람과의 상호 작용이 포함되거나 완전히 자동적 일 수 있습니다. 논리 이론에 대한 의사 결정 절차를 개발하는 데 많은 작업이 있습니다. 증명 복잡도는 증명의 크기와 증명 생성의 계산 복잡성에 중점을 둡니다. 리니어 로직에서 내림차순으로 작업을 수행하여 프루프 시스템을 개발하고 결과적으로 리소스에 민감한 프로그래밍 언어를 개발하는 매혹적인 프로그램과 증명 작업이 있습니다.

재귀 이론 우리의 재귀 이론은 복잡성 이론입니다. 계산 가능한 것을 연구하는 대신 우리는 얼마나 효율적으로 계산할 수 있는지 연구합니다. 복잡도 이론에는 재귀 이론의 많은 유사점이 있지만, 재귀 이론의 결과와 분리가 복잡도 이론적 유사성을 항상 유지하는 것은 아닙니다. 계산 가능한 세트와 산술 계층 대신에 다항식 시간, 다항식 시간 계층 및 계층을 둘러싸는 다항식 공간이 있습니다. 산술 계층 구조의 한정된 수량화 대신, 만족도 및 정량화 된 불리언 수식과 불리언 수식의 한정된 수량 화가 있습니다.

설문 조사 기사

컴퓨터 과학에서 논리의 비정상적인 효과에

매우 높은 수준의 계산 논리를 얻을 수있는 좋은 출발점입니다. 논리적 인 컴퓨터 과학 분야를 몇 가지 소개하겠습니다. 다른 사람들 이이 답변을 편집하고 여기에 해당 목록에 추가 하고이 페이지의 답변에 대한 링크를 추가하기를 바랍니다.

1. 유한 모형 이론
2. 증명의 복잡성
3. 알고리즘 추론 (논리 이론 결정 절차)
4. 프로그램의 논리
5. 다이나믹 로직
6. 선형 시간 논리 및 그 변형
7. 전산 트리 로직 및 그 변형
8. 유행 논리
9. 데이터베이스 이론
10. 유형 이론
11. 무한한 단어에 대한 오토마타
12. 범주 논리
13. 동시성 이론 및 프로세스 대수
14. 도메인 이론
15. 선형 논리
16. 설명의 복잡성
17. 모델 확인
18. 고정 소수점 계산법 및 전이 폐쇄 논리

논리와 컴퓨터 과학 사이의 강한 중첩 영역이 자동화 된 이론 , 예를 들어 [4]. 예를 들어 ref [1]은 Godels 정리를 확인 / 확인하기 위해 Boyer-Moore 정리를 사용하는 것입니다. 최근의 주요 주요 / 인상적인 결과는 Gonthier의 Microsoft 연구에서 최근 4 가지 색상 정리 (및 Odd Order 및 Feit-Thompson [3])의 소프트웨어 검증이 완료된 것입니다. [2]

[1] 메타 카르 트, 기계 및 고델의 증명 ( 샨카의 이론적 컴퓨터 과학의 캠브리지 트랙)

[2] 네 가지 색 정리 Georges Gonthier 의 컴퓨터 확인 증거

[3] Feit-Thompson 정리의 공식화에 흥미로운 알고리즘? tcs.se

[4] 컴퓨터는 어디서 그리고 어떻게 정리를 증명하는 데 도움이 되었습니까? tcs.se