DAG에는 몇 개의 분리형 모서리 절단이 있어야합니까?

다음 문제는 벨만 - 포드의 최적 관련된 - 최단 경로 동적 프로그래밍 알고리즘 (참조 포스트 의 접속을위한). 또한 긍정적 인 대답은 STCONN 문제에 대한 모노톤 비 결정적 분기 프로그램 의 최소 ​​크기 가 임을 암시합니다 . s t Θ ( n 3$s$$t$$\Theta(n^3)$

하자 하나 개의 소스 노드와 DAG (방향성 비순환 그래프) 일 하나 개의 타겟 노드 . - 잘라 그 분리 파괴 모든 모서리들의 세트 인 - 길이의 경로를 ; 우리는 그러한 경로가 있다고 가정합니다 . 더 짧은 - 경로는 파기 할 필요가 없습니다 .G s t $G$$s$$t$$k$s t ≥ k G s $s$$t$$\geq k$$G$$s$$t$

질문 : 합니까 최소 (약)이 있어야합니다 분리 된 -cuts? G $G$$k$ $k$

보다 짧은 - 경로 가 없으면 Robacker 로 인한 다음과 같은 알려진 최소-최대 사실 ( Menger 's 정리의 이중)이 있으므로 대답은 YES 입니다. - 절단은 인 대한 절단의 (파괴 모든 - 경로).s t $s$$t$$k$^$\ast$ S t K K = $s$$t$$k$$k=1$ s $s$$t$

사실 : 모든 방향 그래프에서 최대 에지- 절단 - 컷 수는 - 경로 최소 길이와 같습니다 . s $s$$t$s $s$$t$

그래프가 비순환 이 아닌 경우에도 유지됩니다 .

증거 : 각 - 경로 가 모서리 각 - 절단 점 과 교차하기 때문에 최소값은 최소한 최대 값 입니다. 동등성을 확인하려면 를 에서 까지 최단 경로 길이로 설정하십시오 . 하자 에 대해 , 그리고하자 이탈 에지들의 집합 . 세트 이 그러한 세트이기 때문에 세트 이 분리 된 것이 분명하다 . 따라서 각 이 - 보여줍니다.s t s t d ( u ) s u U r = { u : d ( u ) = r } r = 1 , … , d ( t ) E r U r E r U r E r s t s t p = ( u 1 , u 2 , … , 음 m$s$$t$$s$$t$$d(u)$$s$$u$$U_r=\{u\colon d(u)=r\}$$r = 1,\ldots, d(t)$$E_r$$U_r$$E_r$$U_r$$E_r$$s$$t$절단. 이를 표시하려면 및 와 함께 임의 - 경로 사용 . 이후 , 거리의 순서는 값에 도달해야 시작하여 에서 과 최대 값에 의해 증대 각 단계. 일부 값 가 감소하면 후자의 값 도달해야합니다 . 그래서하는이 있어야 곳에서 점프 에 에지를 의미 일어나는$s$$t$$p=(u_1, u_2, \ldots,u_m)$u 1 = s u m = t d ( u i + 1 ) ≤ d ( u i ) + 1 d ( u 1 ) , … , d ( u m ) d ( u m ) = d ( t ) d ( u 1 ) = d ( s ) = 0 1 d $u_1=s$$u_m=t$$d(u_{i+1})\leq d(u_i)+1$$d(u_1),\ldots,d(u_m)$$d(u_m)=d(t)$$d(u_1)=d(s)=0$$1$$d(u_i)$$d(u_i)$$j$$d(u_j)=r$$d(u_{j+1})=r+1$$(u_j,u_{j+1})$ 은 원하는대로 속합니다 . QED $E_r$

그러나 보다 짧은 경로가 있다면 어떨까요? 힌트 / 참조? $k$

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$^{\ast}$ JT Robacker, 최단 체인 및 최소 절단 네트워크에 대한 최소-최대 이론, 연구 각서 RM-1660, RAND Corporation, 캘리포니아 산타 모니카, 1956 년 12 월.

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편집 (하루 후) : David Eppstein은 짧고 아주 좋은 주장을 통해 위의 원래 질문에 부정적으로 대답했습니다 . 완전한 DAG ( 전이 토너먼트 )은 4 개 이상의 분리 된 컷을 가질 수 없습니다 ! 실제로, 그는 에 대해 대해 다음과 같은 흥미로운 구조적 사실 을 증명합니다 . 또는 입사하는 모서리가없는 절단은 순수 합니다 .$T_n$$k$$k$$\sqrt{n}$$s$$t$

모든 순수 컷 은 길이 의 경로를 포함합니다 . $k$$T_n$$k$

이것은 특히 두 개의 순수한 컷이 교차해야 함을 의미 합니다! 그러나 아마도 "너무 많이"겹치지 않는 많은 순수한 컷 이 여전히있을 것 입니다. 따라서 편안한 질문 (STCONN의 결과는 동일합니다 ) :$k$$k$

질문 2 : 순수한 컷 마다 모서리가있는 경우 그래프에 약 모서리 가 있어야 합니까? $k$$\geq M$$\Omega(k\cdot M)$

STCONN의 복잡성과의 연결 은 Erdős와 Gallai 의 결과 로 길이 모든 경로를 파괴하기 위해 (방향이 지정되지 않은) 에서 가장자리를 제외한 모든 모서리 를 제거해야합니다 . $(k-1)m/2$$K_m$$k$

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편집 2 : 이제 mathoverflow 에서 질문 2를 물었습니다 .

짧은 대답 : 아닙니다.

하자 G는 에 완전한 DAG (전이 대회) 수 n 개의 와 정점 의 와 마에 소스 및 싱크 및하자 케이 = $G$$n$$s$$t$n / 3 . 더 탐이 포함 최대 네 개의 분리 된 인하가있을 수 있음을 관찰N/3에 가장자리 사건의또는 이상N/3에 가장자리 사건t. 따라서 많은 분리 절단이 필요한 경우s및t에입사하는 많은 수의 모서리를 포함하지 않는절단C가 있다고 가정 할 수 있습니다.$k=\sqrt{n/3}$$n/3$$s$$n/3$$t$$C$$s$$t$

이제 X 가 꼭지점 x 세트에 의해 G 에서 유도 된 완전한 서브 그래프가되도록하여 모서리 s x 및 x t 가 C에 속하지 않도록 합니다. X 의 꼭짓점 수는 n / 3 이상입니다. 그렇지 않으면 C 가 s 또는 t에 너무 많은 모서리를 닿기 때문 입니다. 그러나 X ∖ C 는 k 경로를 포함 할 수 없습니다. 그러한 경로가 존재하면 s 및 t 와 연결하여 G 에서 긴 경로를 형성 할 수 있기 때문입니다.$X$$G$$x$$sx$$xt$$C$$X$$n/3$$C$$s$$t$$X\setminus C$$k$$s$$t$∖ C . 따라서, X ∖ C 의 최장 경로 계층화는 k 개보다 적은계층을 가지며, ( n / 3 ) / k = k 개의 정점을초과하는 계층을 갖는다. 이 긴 경로 레이어의 층이기 때문에, 독립적 인 X ∖ C 및 완료에 따라서 C , 그래서 C는 경로가 포함 P 길이의 층의 정점 통해 케이 . 이 경로는 다른 모든 컷과 분리되어야합니다.$G\setminus C$$X\setminus C$$k$$(n/3)/k=k$$X\setminus C$$C$$C$$P$$k$

아닌 모든 컷 C는 의 가장자리 중 하나 있어야합니다 들 경로의 시작 P 또는 경로의 끝에서 가장자리 P 에 t , 그렇지 않으면 경로 차단하지 않을 S - P - t을 . 따라서 C 가 존재 하면 최대 3 개의 분리 절단이있을 수 있습니다. 그리고 C 가 존재하지 않는 경우 (즉, 모든 절단 이 s 또는 t에 입사하는 n / 3 이상의 모서리를 덮는 경우 ) 최대 4 개의 분리 절단이있을 수 있습니다. 어느 쪽이든, 이것은 k 컷 보다 훨씬 적습니다 .$C$$s$$P$$P$$t$$s$$P$$t$$C$$C$$n/3$$s$$t$$k$