교회 정리와 고델의 불완전 성 정리

나는 최근 계산 능력에 관해 다양한 논리 학자와 수학자들이 수행 한 획기적인 연구의 아이디어와 역사를 읽었습니다. 개별적인 개념은 제게 분명하지만, 상호 관계와 그것들이 모두 연결되어있는 추상적 수준을 확실히 파악하려고합니다.

우리는 교회의 정리 (또는 Alonzo Church와 Alan Turing 의 Hilbert의 Entscheidungs ​​문제 의 독립적 증거 )가 일반적으로 공식 시스템에서 주어진 수학적 진술이 참인지 거짓인지 계산할 수 없음을 증명했습니다. 내가 이해하는 것처럼, 교회 튜링 논문은 교회의 람다 미적분학과 튜링 머신의 동등성에 대한 명확한 설명을 제공하므로 계산에 대한 통합 모델을 효과적으로 가지고 있습니다. (참고 : 내가 아는 한, 튜링의 증거는 정지 문제를 결정할 수 없다는 사실을 이용합니다. 내가 틀렸다면 정정하십시오.)

이제 괴델의 첫 번째 불완전 성 정리는 충분한 산술 력을 가진 일관된 공식 시스템의 모든 진술이이 시스템 내에서 입증되거나 반증 될 수있는 것은 아니라고 주장한다. 람다 미적분학과 터닝 머신은 둘 다 효과적으로 공식적인 종류의 시스템이라는 점을 고려할 때 이것은 여러 가지면에서 나에게 교회의 이론과 정확히 같은 말을하는 것처럼 보입니다.

그러나 이것은 내 전체적인 해석이며 누군가가 세부 사항에 대해 밝힐 수 있기를 바랍니다. 이 두 정리는 사실상 동등합니까? 관찰해야 할 미묘한 부분이 있습니까? 이 이론들이 본질적으로 동일한 보편적 진리를 다른 방식으로 바라보고 있다면 왜 다른 각도에서 접근 했는가? (고델의 증거와 교회의 증거 사이에는 6 년이 걸렸습니다). 마지막으로, 공식 시스템 (증명 미적분)에서 의 확률 개념이 재귀 이론 (Turing machines / lambda calculus) 의 계산 가능성 개념과 동일 하다고 말할 수 있는가?

먼저, Kleene의 "Metamathematics"를 이러한 주제에 대한 좋은 책으로 읽는 것이 좋습니다. Odifreddi의 "Classical Recursion Theory"제 1 권의 처음 두 장도 이러한 개념들 간의 관계를 이해하는 데 도움이 될 수 있습니다.

우리는 교회의 정리 (또는 Alonzo Church와 Alan Turing의 Hilbert의 Entscheidungs ​​문제의 독립적 증거)가 일반적으로 공식 시스템에서 주어진 수학적 진술이 참인지 거짓인지 계산할 수 없음을 증명했습니다.

나는 당신이 1 차 논리 이론의 집합을 결정할 수 없다는 교회의 정리를 언급하고 있다고 생각합니다. 언어는 첫 번째 순서라는 점에 유의해야합니다.

내가 이해하는 것처럼, 교회 튜링 논문은 교회의 람다 미적분학과 튜링 머신의 등가성 (isomorphism)에 대한 명확한 설명을 제공하므로 계산에 대한 통합 모델을 효과적으로 가지고 있습니다.

람다 계산 능력과 튜링 계산 능력이 Kleene 의 정리 인 경우의 동등성 . 논문이 아닙니다. 그것은 교회의 논문을 뒷받침하는 증거로 간주됩니다.

참고 : 내가 아는 한, Turing의 증거는 정지 문제를 결정할 수 없다는 사실을 이용합니다. 틀 렸으면 말해줘.

이제 괴델의 첫 번째 불완전 성 정리에 따르면 일관된 공식 시스템의 모든 진술이이 시스템 내에서 입증 될 수있는 것은 아닙니다. 람다 미적분학과 터닝 머신은 둘 다 효과적으로 공식적인 종류의 시스템이라는 점을 고려할 때 이것은 여러 가지면에서 나에게 교회의 이론과 정확히 같은 말을하는 것처럼 보입니다.

Godel의 정리 는 충분한 산술 을 포함 하는 모든 consistent , 재귀 적으로 열거 가능한 이론에 대해 st 및 문장이 존재 하지 않는다고 진술합니다.$\omega$$\varphi$$\varphi$$\lnot \varphi$

이것은 같은 것을 나타내지 않습니다. 그것은 이론의 일련의 이론에 대해 말할 수없는 것에 대해서는 아무 것도 말하지 않습니다.

그러나 이것은 내 전체적인 해석이며 누군가가 세부 사항에 대해 밝힐 수 있기를 바랍니다. 이 두 정리는 사실상 동등합니까? 관찰해야 할 미묘한 부분이 있습니까? 이 이론들이 본질적으로 동일한 보편적 진리를 다른 방식으로 바라보고 있다면 왜 다른 각도에서 접근 했는가? (고델의 증거와 교회의 증거 사이에는 6 년이 걸렸습니다).

수년에 걸쳐 고델의 정리 (및 유사한 정리)에 대한 많은 학대가 있었다. 그것들을 해석 할 때 매우 조심해야합니다. 내가 본 한, 학대는 대개 정리에서 어떤 조건을 언급하는 것을 잊어 버리거나 다른 믿음으로 이론을 결합한 결과입니다. 주의 깊게 살펴보면 이러한 이론은 관련되어 있지만 동등하지는 않습니다.

마지막으로, 공식 시스템 (증명 미적분)에서의 확률 개념이 재귀 이론 (Turing machines / lambda calculus)의 계산 가능성 개념과 동일하다고 말할 수 있는가?

"동일한"이라는 의미를 이해하지 못합니다. 확실하게 계산 성과 확률 사이에는 많은 관계가 있습니다. 이것들이 동일하다는 의미를 분명히하면 더 유용한 의견을 제시 할 수 있습니다.

최신 정보

산술 언어로 잘 구성된 문장 세트를 로 간주 합니다. 첫 번째 불완전 성 정리의 조건을 만족시키는 이론을 가 (의 공리) 라하자 . 하자 이론의 정리들의 집합 및 그 부정의 정리이다 문장들의 집합 . 하자 표준 모델에 해당하는 문장의 집합 등이 될 거짓 문장의 집합. 부정이 이면 문장이 입니다. 또한 모든 문장은 true 또는 false입니다. 즉 입니다.$L$$T$$Thm(T)$$T$$\lnot Thm(T)$$T$$True$$False$$True$$False$$L = True \cup False$

고델의 불완전 성 정리에 따르면 는 의 적절한 하위 집합이라고 합니다. 따라서 표준 모델의 진실과 확률 은 다릅니다.$Thm(T) \cup \lnot Thm(T)$$L$$T$

참고 것을 , 교회의 정리 상태를 다시 것을 decidable 없습니다.T (H) m ( T $Thm(T)$$Thm(T)$

공식 시스템에서의 확률과 계산 가능성의 관계. 그 중 하나는 다음과 같습니다. 시스템이 효과적이라면, 시스템에서 파생 가능한 표현 세트가 다시 나타나고 시스템은 문법의 특수한 경우입니다. 문법은 튜링 머신의 계산 가능성과 동등한 계산 개념을 정의하는 또 다른 방법입니다.

공식 시스템 (증명 미적분)에서의 확률의 개념이 재귀 이론 (Turing machines / lambda calculus)의 계산 가능성의 개념과 동일하다고 말할 수 있는가?

증명 미적분의 일부 단계는 계산할 수없는 연산을 나타낼 수 있으므로 매우 유사하지만 동일하지는 않습니다.

예를 들어, 증명 보조원 이 내추럴 의 파워 셋이 존재 한다는 증거를 검증하도록 할 수 있습니다. 이것은 두 단계 (무한의 축과 파워 셋의 축이 뒤 따름)의 짧은 증거입니다. 이 단계 자체는 계산 가능합니다.℘ ( N $ZFC$$\wp(N)$

마찬가지로, 괴델의 완전성 정리 (The Completeness Theorem)는 1 차 논리의 모든 유효한 공식에 증거가 있다고 말하지만, Trakhtenbrot의 정리는 유한 모델에 비해 1 차 공식의 유효성이 결정 불가능하다는 것을 알려줍니다.

따라서 유한 증명이 계산 가능한 연산과 반드시 ​​일치하는 것은 아닙니다.

이것이 당신이 요구하는 것은 아니지만, 그것은 같은 맥락에 있으며 당신과 (그리고 당신의 다른 질문 독자들은) 그것이 관심을 가질 수 있기를 바랍니다. Curry-Howard 서신을 읽어보십시오. 프로그램 범주는 특정 의미에서 건설 증명 범주와 동형 입니다. (이것은 다른 답변과 다른 수준에서 증거와 계산 가능성을 논의하고 있습니다.)

나는 당신의 관점에서 간단히 당신의 질문에 대답하려고 노력할 것입니다; 또한 두 가지 정리를 다른 방식으로 관련 시키려고합니다.

고델의 첫 번째 불완전 성 정리는 충분한 산술 력을 가진 일관된 공식 시스템에서 P 나 그에 대한 어떠한 증거도 존재하지 않는다고 진술한다. 이것은 이론 정리에 대한 결정 알고리즘이 없다는 것을 의미하지는 않으며, P도 P도 아니고 P도 이론이 아니라고 말할 것이다. Church-Turing의 정리 결과에 따르면 그러한 알고리즘은 존재하지 않습니다. 그것이 Kaveh의 답변의 핵심이기도합니다. 나는 그것을 명확하게 설명하고 싶습니다.

나는 이제 교회 튜링의 정리가 고델의 정리를 함축하고 있음을 증명하려고 노력할 것이다. 내가 틀렸다면 내가 어디 있는지 설명해주세요. 정리 세트 Thm은 부분적으로 결정 가능하며 R이이를 인식하는 프로그램이라고 가정합니다 (즉, 입력이 Thm에 있으면 "예"로 정지하고 그렇지 않으면 계속 실행 됨). 이것을 사용하여 새로운 알고리즘을 구축하자 : 명령문 Q가 주어 졌을 때, 그것이 가능한지 알아보기 위해, 실행을 인터리브하고 첫 번째가 중단 될 때 중지하고 "아니오"를 생성함으로써 Q가 아닌 Q에 대해 병렬로 R을 실행한다. "Q가 아님"이 증명되었고, 그렇지 않으면 "예". 이것은 계산 가능한 알고리즘을 제공합니다. 모순적으로 모든 진술이 입증되거나 반증 될 수 있다고 가정하면,이 알고리즘은 Entscheidungs ​​문제를 해결할 것이지만 그것은 터무니 없습니다! 그러므로 '할 수있는 진술이 있어야한다'