증거 그물에 대해 어떻게 생각해야합니까?

이 질문에 대한 그의 답변 에서 Stephane Gimenez 는 선형 논리의 증명을위한 다항식 시간 정규화 알고리즘을 지적했습니다. 지라드의 논문에서 증명은 증명 그물을 사용하는데, 이것은 실제로 잘 모르는 선형 논리의 한 측면입니다.

이제는 증거 그물에 대한 논문을 읽었 지만 ( Pierre-Louis Curien의 메모 와 같은 ) 실제로 이해하지 못했습니다. 그래서 제 질문은 : 어떻게 생각해야합니까? "그들에 대해 생각하는 방법"이란 비공식적 인 직관 (예 : 계산 방식 또는 결과와 관련이있는 방식)과 그들에 대한 이론이 실제로 그들에게 있다는 것을 의미합니다.

이 질문에 답하면 (1) 선형 논리에 대한 증명 이론을 잘 알고 있습니다 (잘라 내기 증명이 진행되는 방식 및 초점이 맞춰진 형태 포함), (2) 일관성 공간 측면에서 범주 의미론 또는 데이 컨볼 루션을 통해, 그리고 (3) GoI 구성의 기본적인 기초.

증거 그물은 본질적으로 다음 세 가지 이유로 흥미 롭습니다.

1) PROOFS의 정체성. 그들은 "두 증거가 같은 경우"라는 문제에 대한 답을 제공합니까? 연속적인 미적분학에서는 동일한 계산법에 대한 많은 다른 증거가있을 수 있습니다. 이는 동일한 계산법이 필요하지 않은 경우에도 순차적 미적분이 공제 규칙 중에서 순서를 강제하기 때문입니다. 물론, 연속적인 미적분 증거에 동등성 관계를 추가 할 수 있지만, 절단 제거가 동등성 클래스에서 올바르게 작동 함을 보여 주어야하며, 일반 재 작성보다 훨씬 더 기술적 인 모듈러스를 다시 작성해야합니다. 증명 넷은 모든 동등성 클래스가 단일 오브젝트에서 축소되는 구문을 제공하여 동등성 클래스 처리 문제를 해결합니다. 어쨌든 증거 그물은 종종 어떤 형태의 동등성으로 확장되기 때문에 이러한 상황은 어쨌든 약간 이상적입니다.

2) 전산 컷-엘리 미 네이션 단계가 없습니다. 교정 그물 제거 단계는 사라지기 때문에 증거 그물에 잘라 제거는 후속 미적분과는 상당히 다른 풍미를 취합니다. 그 이유는 증거 그물에서 공제 규칙이 인과 관계에 의해서만 연결되어 있기 때문입니다. 한 가지 규칙이 다른 인과 관계없는 규칙에 의해 숨겨 질 수 있다는 사실에 의해 전이 사례가 생성됩니다. 인과 관계가없는 규칙이 멀리 떨어져있는 증거 망에서는 이런 일이 발생할 수 없습니다. 컷 제거의 대부분의 경우는 정류 적이므로 컷 제거의 현저한 단순화를 얻을 수 있습니다. 이는 명시 적 치환 (지수 = 명시 적 치환)으로 람다 계산법을 연구하는 데 특히 유용합니다. 증거 망의 일부 표현에는 정류 단계가 필요하기 때문에 이러한 상황이 이상적입니다. 하나,

3) 올바른 기준. 증거 그물은 연속적인 미적분 증거의 번역에 의해 정의 될 수 있지만, 일반적으로 증거 그물 시스템은 정확성 기준이 제공되지 않는 한 그대로 받아 들여지지 않는다. 즉, 순차적 미적분 증거. 정확성 기준을 요구하는 이유는 증거 그물 생성자 세트 (링크라고 함)에 의해 생성 된 무료 그래픽 언어에 "너무 많은 그래프"가 포함되어 있기 때문입니다. 일부 그래프는 어떤 증거에도 해당하지 않습니다. 정확성 기준 접근법의 관련성은 일반적으로 완전히 오해됩니다. 증거가 무엇인지에 대한 비유도적인 정의를 제공하여 공제의 성격에 대해 놀랍도록 다른 관점을 제공하기 때문에 중요합니다. 특성화가 비유 도성이라는 사실은 일반적으로 비판을받는 반면, 그것은 정확히 흥미로운 것입니다. 물론, 공식화는 쉽지만, 다시 한번 이것이 장점입니다. 증거 망은 증거와 용어에 대한 일반적인 귀납적 관점으로는 얻을 수없는 통찰력을 제공합니다. 증거 망에 대한 기본 정리는 순차 화 정리로, 정확성 기준을 만족하는 모든 그래프는 결과적으로 미적분학 증거 (유효한 그래프로 다시 변환)로 유도 적으로 분해 될 수 있다고합니다.

증거 그물이 고전적이고 선형적인 자연 공제 버전이라고 말하는 것이 정확하지 않다고 결론을 내립니다. 요점은 증거의 정체성 문제를 해결 (또는 해결하려고 시도)하고 자연 공제를 통해 직관 논리를 최소화하기 위해 동일한 문제를 성공적으로 해결한다는 점입니다. 그러나 직감 시스템 및 비선형 시스템에 대해서도 증명 망을 수행 할 수 있습니다. 실제로는 기존 시스템보다 직관 시스템에서 더 잘 작동합니다.

$-A$$A$$-A$$A$

지라드는 자연 공제가 정확히 이런 방식으로 비대칭임을 알아 차렸다. 이것이 직관 논리와 일치하는 이유입니다. 증거 그물은 지라드가 대칭 형태의 자연적인 추론 을 발명하려는 시도를 나타냅니다 .

$\land\to$

$\Gamma \vdash A$$\vdash \Gamma^\perp, A$

원래 답변에서 내가 놓친 것 : 증거 그물은 증거를 작성하는 방법이며 우리는 증거가 프로그램이라는 것을 알고 있습니다. 따라서 증명 망은 프로그램 작성 방법이기도합니다.

프로그램 작성을위한 전통적인 기능 표기법은 자연 공제와 마찬가지로 비대칭입니다. 따라서 증명 망은 프로그램을 대칭 형식 으로 작성하는 방법을 가리 킵니다 . 이것이 프로세스 미적분이 그림에 들어가는 방법입니다.

대칭을 나타내는 또 다른 방법은 논리 프로그래밍을 사용하는 것입니다.이 글 은 방향성 논리 프로그램을위한 유형화 된 기초 와 논리 프로그래밍의 고차원 적 측면

나는 증거 그물이 순차적 미적분학과 어떻게 관련되어 있는지에 초점을 맞추고 더 역동적 인 것을 남깁니다.

증거 그물은 연속적인 미적분학 증거를 추상화합니다. 증거 그물은 일련의 미적분학 증거를 나타냅니다. 증거 그물은 미적분학 증거 사이의 중요하지 않은 차이를 잊어 버립니다 (어느 수식이 어떤 수식 아래에서 분해되는지). 여기서 중요한 정리는 "순차 화 (sequentialization)"인데, 이는 증거 그물을 순차적 미적분 증거로 변환합니다.

이것은 주로 질문의 "계산 방식으로 행동하는 방식"과 관련이 있습니다. 계산 관점에서 증거 그물을 잘 이해하는 한 가지 방법은 약간 더 구체적인 해석 (예 : 프로세스 대수)을 보는 것입니다.

다음에 관심이있을 수 있습니다.

• Abramsky의 논문 (Proof Expressions의 CLL 섹션) : Linear Logic의 전산 해석 . 이 문서는 또한 증거 자료에 해당하는 결과와 유사한 결과를 제공하므로 질문의 두 번째 측면에서 도움이 될 수 있습니다.

• Honda와 Laurent의 논문은 Polarized Proof Nets라는 특정 종류의 증명 그물이 Pi-calculus 프로세스에 어떻게 대응하고 Martin Berger가 위에서 언급 한 방법을 보여줍니다 : 유형화 된 pi-calculus와 polarized proof- 그물

• (여기서 나는 내 자신의 일을 뻔뻔스럽게 광고한다) 초안 : 프로세스 대수 형태의 증명 그물

증거 그물과 람다 미적분학과 관련된 작품도 있으며, 직관력도 상당합니다. 예를 들어 Delia Kesner와 Stéphane Lengrand는 다음과 같이 말합니다.

• λ 미적분에 대한 자원 연산자

Michele Pagani와 Lorenzo Tortora de Falco의 LL의 강력한 정규화 속성을 자세히 증명하기 위해 Proof Structures에 의존하는 이러한 유형의 작업 (이론적 측면에 매우 중점)에 관심이있을 수 있습니다.

• 2 차 선형 논리에 대한 강력한 정규화 속성 (이 논문에는 중요한 정리의 멋진 맵이 포함되어 있습니다).

일반적으로 어떤 이론을 연구해야합니까? 글쎄, 나는 권한이 없지만 "순차 화"(증거 망 및 순차 증명 관련; LL의 원본 TCS 논문 참조)와 강력한 정규화 증거 (예상 한대로 관련되어 있지만 많은 중요)를보고 싶을 수도 있습니다. PN 정리는 그것과 관련이 있거나 그것을 증명하기 위해 사용된다).

초점 맞추기에 익숙하다면 Andreoli의이 논문에 관심을 가질 수도 있습니다.

• 선형 및 비 정류 논리의 포커싱 및 증명 넷

이것이 도움이되기를 바랍니다. 다시 말하지만,이 참고 문헌은 실제로 전체가 아닙니다.

최고, 디미트리 스

최근에 여러 개의 왼쪽 구멍이있을 수있는 "다중 초점"변형을 사용하고 "최대 초점"증거를 연구하는 증거 그물과 초점 미적분학 사이의 관계를 강화하는 데 흥미로운 연구가있었습니다. 미적분학을 올바르게 선택하면 최대 초점을 맞춘 증명은 MLL 증명 네트 또는 고전적인 논리에서 확장 증명에 해당 할 수 있습니다 ( 확장 증명과 다중 초점 순차적 증명 의 동 형사상, Kaustuv Chaudhuri, Stefan Hetzl 및 Dale Miller, 2013)

내 논문 " 하층 구조 논리에 대한 증거 망과 행렬의 조사 "를 확인할 수 있습니다 .

추상:

이 논문은 \ emph {matrix method}와 \ emph {proof nets}의 두 종류의 "압축 된"증명 체계에 대한 조사로, 고전에서 끝까지 모든 구조적 계층 구조에 따라 다양한 논리에 적용됩니다. 비 연관 Lambek 시스템. 후자를위한 새로운 증거 망의 처리가 제공된다. 증명 네트 및 매트릭스에 대한 설명은 순서에 따라 균일 한 표기법으로 제공되므로 다양한 논리에 대한 체계의 특성을 쉽게 비교할 수 있습니다.