“무적 생성기”가 존재하지 않는 세계

무적의 생성기는 다음과 같이 정의됩니다.

NP 관계로하고 M을 L ( R ) 을 받아들이는 기계 라고 하자 . 비공식적 프로그램이있다 무적 발생기 입력의 경우, (1) n은 , 그것은 인스턴스 생성 감시 쌍 ( X , w ) ∈ R을 가진 | x | x 가 주어진 다항식 적 대적이 무한히 많은 길이 n 동안 눈에 띄게 확률로 x ∈ S 라는 증거를 찾지 못하는 분포에 따르면 = n .$R$$M$$L(R)$$1^n$$(x, w) \in R$$|x| = n$$x$$x \in S$$n$

Abadi et al.에 의해 처음 정의 된 무적의 발생기 . 암호화에서 많은 응용 프로그램을 찾았습니다.

무적 발생기의 존재는 라는 가정을 기반으로 하지만 이것으로 충분하지 않을 수 있습니다 ( 관련 항목 참조 ).$\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$

Abadi 등 의 정리 3 . 위에서 언급 한 논문은 무적의 발생기의 존재에 대한 증거가 상대성이 아니라는 것을 보여줍니다.

정리 3. P B ≠ N P B 와 같은 오라클 가 있으며 B에 비해 무적의 발생기가 존재하지 않습니다.$B$$\mathbf{P}^B \neq \mathbf{NP}^B$

나는이 정리의 증거의 일부를 이해하지 못한다. 하자 나타내는 분리 된 조합 작업을. 하자 Q B F가 만족할 수있는 정량화 된 부울 식의 PSPACE 완성 언어, 그리고하자 K는 최대 콜 모고 로프의 복잡성의 문자열의 매우 드문 드문 설정합니다. 구체적으로는, K는 하나 개의 각 길이의 문자열이 포함 N 난 시퀀스, N 1 , N 2 , ... 에 의해 정의된다 : N 1 = 2 , N 난 이다 삼중를 지수 에 $\sqcup$$QBF$$K$$K$$n_i$$n_1, n_2, \ldots$$n_1 = 2$$n_i$ 에 대한I>1; 만약X∈K와 | x | =n이면x는 Kolmogorov 복잡도n입니다.$n_{i-1}$$i > 1$$x \in K$$|x| = n$$x$$n$

이 논문은 에 대해 P ≠ N P를 유지한다고 기술하고있다 . 설명 할 수 있습니까? (또한 B 가 재귀 인지 여부를 명확히하십시오 .)$B = QBF \sqcup K$$\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$$B$

그들이 (자원이 제한되지 않은) Kolmogorov의 복잡성에 대해 단순히 이야기하고 있다면 는 계산할 수 없습니다 (그렇지 않으면 기계 컴퓨팅 K 를 사용하여 문자열 x ∈ K에 대한 간단한 설명을 제공 할 수 있습니다 . 기계 및 길이 N 의 X 및 우리가 K를 ( X ) = N 아직 K가 ( N ) ≤ 로그 N ), 이에 따라 B가 uncomputable 될뿐만 아니라.$K$$K$$x \in K$$n$$x$$K(x) = n$$K(n) \leq \log n$$B$

그러나 논문 Abadi et al. 참조 ( Hartmanis. 일반화 된 Kolmogorov 복잡성 및 실행 가능한 계산 구조 FOCS 1983. )는 자원 제한 버전 인 Kolmogorov 복잡성을 사용합니다. 하자 효율적인 보편 튜링 기계합니다. K U [ f ( n ) , g ( n ) ] 을 길이 x 의 문자열 d 가 있도록 문자열 x 세트로 정의하십시오 | d | ≤ F ( | X | ) 이되도록 X = U $U$$K_U[f(n), g(n)]$$x$$d$$|d| \leq f(|x|)$ 및 U ( d ) 계산에는최대 g ( | x | ) 시간이 걸립니다. p의 두 번째 열 상단에 있습니다. 이 논문의 444에서 Hartmanis는이 개념을 사용하여 P ≠ N P에 상대적인 (계산 가능한) 오라클을 구성하는 방법을 설명합니다.$x = U(d)$$U(d)$$g(|x|)$$P \neq NP$

다음은 Hartadis의 아이디어이며 Abadi et al. 결과. 하자 및 t O w 3 ( N + 1 ) = 2 (2) 2 N (I는 설명 된 기능을 판단한다). 대각 표준 (예를 들면 시간에 정리 계층 등)에 의해, 탈리 세트 구조체 C가 되도록 C ⊆ { 1 t O w 3 ( N ) : N ≥ 1 } 및$tow_3(1)=2$$tow_3(n+1)=2^{2^{2^{n}}}$$C$$C \subseteq \{1^{tow_3(n)} : n \geq 1\}$ . 이제 길이가 제 1 스트링의 배치 t O w 3 ( N ) 에서 K [ 로그 N을 , N 로그 N ] - K [ 로그 N을 , N 로그 로그 N ] 으로 K IFF 1 t O w 3 ( N ) ∈ C를 . 이후$C \in TIME[n^{\log n}] - P$$tow_3(n)$$K[\log n, n^{\log n}] - K[\log n, n^{\log \log n}]$$K$$1^{tow_3(n)} \in C$ , 우리는 C ∈ N P K 입니다.$C = \{1^n : (\exists x)[|x|=n \text{ and } x \in K]\}$$C \in NP^{K}$

우리는 또한이 , 따라서 P K ≠ N P K를 . 그 모순을 위해 가정 C ∈ P K . 이어서 폴리 시간 오라클 기계가 M 되도록 C = L ( M K는 ) . 난이 함축 항 C ∈ P는 (오라클없이!)의 구성을 모순 C를 . 다음은 다중 시간 알고리즘입니다. 입력시 x = 1 t o w 3 ( n $C \notin P^{K}$$P^K \neq NP^K$$C \in P^{K}$$M$$C = L(M^K)$$C \in P$$C$ :$x = 1^{tow_3(n_0)}$

1. 길이 가 미만인 모든 문자열은 | x | . 이러한 모든 문자열 최대 길이가 있기 때문에 이것은 다항식 시간에 할 수있는 로그 로그 로그 | x | 우리는 단지의 계산 테스트 할 필요가 U ( D를 ) 더 작은 문자열을 거라고 에 비해 여전히 매우 작은 시간의 양에 대해 | x | .$K$$|x|$$\log \log \log |x|$$U(d)$$d$$|x|$

2. (1)의 결과를 사용하여 Oracle 쿼리를 더 작은 문자열로 시뮬레이션하는 실행하십시오 . 경우 M ( x는 ) 지금까지 길이의 문자열을 조회 | x | "NO"답변으로 해당 쿼리를 시뮬레이션하십시오.$M(x)$$M(x)$$|x|$

이유 단계 (2)는 충분히 큰 입력 길이에 대해 해당 길이 의 문자열 가 있으면 M K 가 y를 쿼리 할 수 ​​없으므로 NO 응답으로 모든 쿼리를 시뮬레이션 할 수 있습니다. 이 쿼리 한 경우 Y를 , 우리는 것 y는 ∈ K [ 로그인 N , N K ] ( N k는 의 런타임 경계 M은 ) 사실 모순 우리가 선택했다는 y는 수 있지 K [ 로그 N , N 로그 $y \in K$$M^K$ $y$$y$$y \in K[\log n, n^k]$$n^k$$M$$y$ .$K[\log n, n^{\log \log n}]$