LP 이중성을위한 직관적 / 비공식 증거?

LP 이중성에 대한 '포인트 홈을 치다'는 좋은 비공식 / 직관적 인 증거는 무엇입니까? 한계를 이해하는 직관적 인 방법으로 최소화 된 목적 함수가 실제로 최소라는 것을 가장 잘 보여주는 방법은 무엇입니까?

내가 배운 방식을 배운 방식은 내가 아는 많은 사람들이 공유하고 있다고 확신하는 한 가지 이해로만 이어졌습니다. 해당하는 모든 최소화 문제마다 불평등 제약 조건을 반전시켜 도출 할 수있는 동등한 최대화 문제가 있습니다. 기간. 이원성의이 "결론"은 "이것이 왜 그런가"(즉, 최적의 해결책에 어떻게 / 무엇이 있는가)에 머물러있는 것 같지는 않습니다.

증거에 대한 동기가 될 수있는 최적의 하한 / 상한을 '표시'하기 위해 불평등을 가지고 노는 방법이 있습니까?

나는 Chvatal의 책뿐만 아니라 다른 몇 가지를 겪었지만 LP에 대한 절대 멍청한 자들에게는 이해할 수없는 것을 발견했습니다. 내가 얻은 가장 가까운 것은 Vazirani의 알고리즘에 관한 책에서 '불평등을 바운드를 나타내는 마술 숫자로 곱하는 것'에 대해 이야기합니다. 임의의 LP에 대한 효과를 재현하는 방법을 모르겠습니다.

linear-programming primal-dual

— 박사
소스

에서 이 math.SE 응답 왜 - - 나는 단계별 듀얼 어디에서 오는지의 예를 통해 이동 요추 천자 발생할 수있는 여러 가능성의 대부분을이 문제에 대해. 아마도 도움이 될까요?

— Mike Spivey

왜 Vazirani의 주장이 일반적인 LP에서는 효과가 없다고 생각하는지 잘 모르겠습니다. 개인적으로 나는 그 설명이 무엇보다도 좋습니다.

— Suresh Venkat

약한 이중성 또는 강한 이중성에 대해 묻고 있습니까?

— Ito Tsuyoshi

구속 조건의 선형 조합을 취한다는 의미를 시각화하여 (2d로) 기하학적 직관을 얻을 수 있습니다. 예를 들어 평면에서 구속 조건

x \leq 1

$x \le 1$ 및

y \leq 1

$y \le 1$ 을 그립니다. 이러한 제약의 선형 조합은 당신에게

어떤을위한

a x + b y \leq a + b

$ax + by \le a + b$

a, b \geq 0

$a,b \ge 0$ . 이것을 보려면 그것을 꺼내십시오. 일반적으로 구속 조건의 선형 조합은 다면체의 반쪽 공간을 지원합니다. 이제 왜 이러한 반쪽 공백 중 하나만으로도 그 자체로 항상 비용에 한계를 두는 것이 충분한가? 당신이 그것을 보면, 그것은 강한 이중성입니다.

— 닐 영

@MikeSpivey-귀하의 의견이 답변이 되었기를 바랍니다 :)

— PhD

답변:

OP의 희망에 따라 위의 주석에서 링크 된 math.SE 답변이 있습니다.

예제 문제에서 듀얼이 어디에서 나오는지 이야기하는 것이 좋습니다. 이 작업에는 다소 시간이 걸리지 만 듀얼이 우리가 끝났을 때 그렇게 신비하게 보이지 않을 것입니다.

다음과 같이 근본적인 문제가 있다고 가정하십시오.

P r i m a l = {\begin{matrix} max 5 x_{1} - 6 x_{2} \\ s . t . 2 x_{1} - x_{2} = 1 \\ x_{1} + 3 x_{2} \leq 9 \\ x_{1} \geq 0 \end{matrix}}

$Primal =\begin{Bmatrix} \max \ \ \ \ 5x_1 - 6x_2 \\ \ \ \ s.t. \ \ \ \ 2x_1 -x_2 = 1\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1 +3x_2 \leq9\\ \ \ \ \ x_1 \geq 0\\ \end{Bmatrix}$

이제, 최적의 최적 값에 대한 상한을 찾는 방법으로 기본의 구속 조건을 사용한다고 가정합니다. 우리는 다중 제에 의해 구속하면

에 의해 제 2 구속

과 함께 추가 우리 얻을

좌측 및 대

오른쪽은

입니다. 첫 번째 제약 조건은 평등이고 두 번째 제약 조건은 불평등이므로

9

$9$

1

$1$

9 (2 x_{1} - x_{2}) + 1 (x_{1} + 3 x_{2})

$9(2x_1 - x_2) + 1(x_1 +3 x_2)$

9 (1) + 1 (9)

$9(1) + 1(9)$

하지만 이후

, 또한 사실이

등

그러므로 ,

원초적 문제의 최적 값에 상한선이다.

19 x_{1} - 6 x_{2} \leq 18.

$19x_1 - 6x_2 \leq 18.$

x_{1} \geq 0

$x_1 \geq 0$

5 x_{1} \leq 19 x_{1}

$5x_1 \leq 19x_1$

5 x_{1} - 6 x_{2} \leq 19 x_{1} - 6 x_{2} \leq 18.

$5x_1 - 6x_2 \leq 19x_1 - 6x_2 \leq 18.$

18

$18$

그러나 우리는 그보다 더 잘할 수 있습니다. 와 을 승수로 추측하는 대신 변수로 사용합시다. 따라서 우리는 승산기 찾는 및 힘 $9$ $1$ $y_1$ $y_2$

5 x_{1} - 6 x_{2} \leq y_{1} (2 x_{1} - x_{2}) + y_{2} (x_{1} + 3 x_{2}) \leq y_{1} (1) + y_{2} (9) .

$5x_1 - 6x_2 \leq y_1(2x_1-x_2) + y_2(x_1 + 3x_2) \leq y_1(1) + y_2(9).$

자,이 불평등이 유지 되려면 과 대해 무엇이 진실 입니까? 한 번에 하나씩 두 불평등을합시다. $y_1$ $y_2$

첫 번째 불평등 : $5x_1 - 6x_2 \leq y_1(2x_1-x_2) + y_2(x_1 + 3x_2)$

및 변수 의 계수를 별도로 추적해야합니다 . 먼저 우변 의 총 계수가 이상이어야 합니다. 정확히 얻는 것은 좋지만 이기 때문에 보다 큰 것은 의 부등식을 만족시킬 것 입니다. 수학적으로 말하자면, 이것은 가 필요하다는 것을 의미합니다 . $x_1$ $x_2$ $x_1$ $5$ $5$ $x_1 \geq 0$ $5$ $x_1$ $2y_1 + y_2 \geq 5$

$x_2$ $x_2$ $-6$ $x_2$ $-6$ $x_2$ $-6$ $x_2$ $x_2$ . $-y_1 + 3y_2 = -6$

두 번째 불평등 :

y_{1} (2 x_{1} - x_{2}) + y_{2} (x_{1} + 3 x_{2}) \leq y_{1} (1) + y_{2} (9)

$y_1(2x_1-x_2) + y_2(x_1 + 3x_2) \leq y_1(1) + y_2(9)$

$y_1$ $y_2$ $y_1$ $y_1$ $y_1$ $y_2$ $y_2$ $y_2 \geq 0$

$y_1 + 9y_2$

$y_1$ $y_2$

\begin{aligned} 최소화 {와이}_{1} + 9 {와이}_{2} \\ 에 따라 2 {와이}_{1} + {와이}_{2} & \geq 5 \\ - {와이}_{1} + 삼 {와이}_{2} & = - 6 \\ {와이}_{2} & \geq 0. \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Minimize }\:\:\:\:\: y_1 + 9y_2& \\ \text{subject to }\:\:\:\:\: 2y_1 + y_2& \geq 5 \\ -y_1 + 3y_2& = -6\\ y_2 & \geq 0. \end{align*}$

그리고 그것은 이중입니다.

가능한 모든 형태의 원초와 이원에 대한이 주장의 의미를 요약 할 가치가있다. 다음 표는 p. 214 운영 연구 소개 힐러와 리버만에 의해, 8 판,. 이를 SOB 방법이라고합니다. 여기서 SOB는 최대화 또는 최소화 문제에서 특정 제한 또는 변수 제한을 찾을 가능성에 따라 Sensible, Odd 또는 Bizarre를 나타냅니다.

             Primal Problem                           Dual Problem
             (or Dual Problem)                        (or Primal Problem)

             Maximization                             Minimization

Sensible     <= constraint            paired with     nonnegative variable
Odd          =  constraint            paired with     unconstrained variable
Bizarre      >= constraint            paired with     nonpositive variable

Sensible     nonnegative variable     paired with     >= constraint
Odd          unconstrained variable   paired with     = constraint
Bizarre      nonpositive variable     paired with     <= constraint

— 마이크 스파이 피
소스

$x$ $x = B$ $x$ $x \leq C$ $C$ $B \leq \min C$ $B$ $B = \min C$ $B$ $B$

$f$ $f$ $S,O$ $f(S) \geq (1-1/e) f(O)$ $f$ $f$ $f(O) = 1$ $f(S)$ $\min f(S) = 1-1/e$ $1-1/e$ $f(S) \geq 1-1/e$

이것은 왜 강한 이중성이 실제로 유지되는지에 대한 의문을 남긴다. 선형 프로그래밍에 대한이 사실에 대한 두 가지 증거가 있는데, 하나는 단순 알고리즘을 포함하고 다른 하나는 Farkas의 명칭입니다. Farkas의 정리는 아마도 상황을 이해하는 "올바른"방법으로 모든 것을 직관적 인 기하학적 사실로 줄입니다. 그러나 나는이 직관이 내 머리 위로 넘어 간다고 고백한다.

보다 일반적인 상황 ( 반 정확한 프로그래밍이라고하자)에서는 더 일반적인 Karush-Kuhn-Tucker 조건 (라그랑주 승수의 한 형태)을 사용하여 이중 및 강한 이중성을위한 조건을 가져와야합니다. 이것은 비선형 또는 볼록 최적화의 텍스트로 처리됩니다.

— 유발 필름 러스
소스