모든 최소 구분 기호가 독립적 인 그래프

배경 : 는 무 방향 그래프 G = ( V , E )의 두 꼭짓점 이라고하자 . 정점 집합 S ⊆ V는 A는 U , V의 -separator 경우 U 및 V 의 다른 연결 컴포넌트에 속하는 G - S . (A)의 경우에는 부분 집합 U , V -separator S가 A는 없다 U , V -separator 후 S 최소 인 U , $u, v$$G=(V,E)$$S\subseteq V$$u,v$$u$$v$$G-S$$u,v$$S$$u,v$$S$$u,v$-분리 기호. 정점 집합 이 꼭지점에게 존재하는 경우 (최소) 인 세퍼레이터 U를 , v에 되도록 S가 A (최소) 인 유 , 브이 -separator.$S\subseteq V$$u, v$$S$$u,v$

잘 알려진 G. Dirac의 정리에 따르면 최소의 모든 구분 기호가 모두 크릭 인 경우에만 그래프의 길이가 최소 4 (삼각형 또는 화음 그래프)로 유도되지 않습니다. 삼각 분할 그래프는 다항식 시간으로 인식 될 수 있다는 것도 잘 알려져있다.

내 질문 : 모든 최소 구분 기호가 독립적 인 그래프는 무엇입니까? 이 그래프를 연구하고 있습니까? 그리고이 그래프의 인식 복잡성은 무엇입니까? 이러한 그래프의 예에는 나무와주기가 포함됩니다.

귀하의 그래프는이 백서 http://arxiv.org/pdf/1103.2913.pdf에 의해 특징 지어졌습니다 .

편집 : 위의 논문에서 모든 최소 분리기가 독립적 인 세트 인 그래프는 정확히 하나의 코드로 사이클이 포함되지 않은 그래프임을 입증합니다.

정확히 하나의 코드를 가진 사이클을 포함하지 않는 그래프는 Trotignon과 Vuskovic, 독특한 코드와 그 결과를 가진 사이클이없는 그래프에 대한 구조 정리 , J. Graph Theory 63 (2010) 31-67 DOI에 의해 심도있게 연구되었습니다 . 이 논문의 결과로,이 그래프는 다항식 시간으로 인식 될 수 있습니다. (그러나이 논문은 독립적 인 최소 분리기와의 연결을 지적하지 않았다!)

편집 (2013 년 9 월 17 일) : 매우 최근 ( 여기 참조 ), Terry Mckee는 모든 최소 정점 분리자가 기울기 또는 독립 세트 인 모든 그래프를 설명합니다. 이것들은 모든 최소 정점 분리기가 독립적 인 세트 인 화음 그래프 및 그래프의``가장자리 합계 ''로 밝혀졌습니다.

모든 최소 분리기가 독립적 인 그래프 인 가장 초기의 특징은 TA McKee, "독립적 인 분리기 그래프", Utilitas Mathematica 73 (2007) 217--224에 나타나있다. 이것은 사이클마다 고유 한 코드가없는 그래프입니다 (또는 모든 사이클에서 모든 코드가 교차하는 코드를 갖는 것과 동일 함).

정확히 하나의 코드를 갖는 사이클이없는 그래프에는 두 개의 새로운 논문이 있습니다. 이 그래프 착색에 모두 주로 거래 : http://arxiv.org/abs/1309.2749 및 http://arxiv.org/abs/1311.1928 .

$O(m^2n)$$O(mn)$