결정적이고 영구적 인 하한

깊이 3 결과 에서 최근의 틈에 비추어 (다른 무엇보다도 2 √를 산출합니다)깊이 3위한 연산 회로N×N이상 행렬식C가), I는 다음의 질문 : Grigoriev 및 카핀 스키가입증2Ω을(N)의 행렬식 계산 어떤 깊이 -3- 연산 회로 하한N을×N유한 필드에 대한 행렬 (내 생각에 영구 필드도 보유합니다). 퍼머넌트를 계산하기위한라이저의 공식은 크기O(n22n)=2O$2^{\sqrt{n}\log{n}}$$n \times n$$\mathbb{C}$$2^{\Omega{(n)}}$$n \times n$ . 이는 유한 필드에 대한 영구 필드의 깊이 3 회로에 대해 결과가 본질적으로 빡빡함을 보여줍니다. 두 가지 질문이 있습니다.$O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$

1) 퍼머넌트에 대한 라이저의 공식과 유사한 결정자에 대한 깊이 3 공식이 있습니까?

2) 행렬식 다항식 \ textit {always}를 계산하는 산술 회로의 크기에 대한 하한은 영구 다항식에 대한 하한을 산출합니까? ( 이상 은 동일한 다항식입니다).$\mathbb{F}_2$

내 질문은 현재 유한 필드에 대한 다항식에 관한 것이지만, 임의의 필드에 대한 이러한 질문의 상태를 알고 싶습니다.

특성 2가 아닌 모든 분야에 대한 p- 투영 하에서 VNP에 대한 영구성은 완전합니다. 이는 두 번째 질문에 대한 긍정적 인 답변을 제공합니다. 이 축소가 선형이라면 첫 번째 질문에 긍정적 인 답변을 줄 것이지만, 여전히 열려 있습니다.

더 자세하게 : d e t n ( X ) 가 p e r m q ( n ) ( Y ) 의 투영 과 같은 일부 다항식 이 있습니다. 즉, 각 변수 y를 보내는 특정 치환이 있습니다.$q(n)$$det_n(X)$$perm_{q(n)}(Y)$ 를있습니다. 변수 X K ℓ 하거나 교체 애프터 것을 같은 상수Q(N)×Q(N)의 영구적 인를 계산한다$y_{ij}$$x_{k\ell}$$q(n) \times q(n)$$n \times n$ 결정자.

1) 따라서 Ryser의 수식 (크기의 대체가 입력 게이트에서 수행 될 수 있기 때문에 깊이 돌기 하에서 증가하지 않는다), 깊이 (3) 식을 수득 결정에 대한. 업데이트 : @Ramprasad가 주석에서 지적했듯이 q ( n ) = o 인 경우 사소한 것이 아닙니다.$2^{O(q(n))}$ 인 경우 크기가 n ⋅ n 인 사소한 깊이 2 공식이 있기 때문에 사소한 것이 아닙니다 ! = 2 O ( N 로그 N $q(n) = o(n \log n)$$n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$det. 내가 아는 가장 좋은 것은 ABP를 통한 감소이며 q ( n ) = O ( n 3 ) 을 산출한다는 점에서 Ramprasad와 함께 있습니다.$q(n)=O(n^3)$ .

2) 영구가 크기 s ( m ) 의 회로에 의해 2가 아닌 특성의 일부 필드에 대해 다시 계산 될 수 있다면 , s ( q ( n) 의 회로에 의해 n x n 결정자가 계산 될 수있다 ) ) . 따라서 d e t n의 회로 크기에서 b ( n ) 의 하한 은 영구 회로의 회로 크기에서 b ( q - 1 ( n ) ) 의 하한을 산출합니다.$m \times m$$s(m)$$n \times n$$s(q(n))$$b(n)$$det_n$$b(q^{-1}(n))$ 역이 아닌$q$ ). 상술 Q ( N ) =은 O ( N 3 ) 수득 B ( n은 1 / 3 ) 낮은로부터 결합 파마 B ( N ) 하한을 DET.$1/q(n)$$q(n)=O(n^3)$$b(n^{1/3})$$b(n)$

어떤 식으로 결정자가 영구적 인 것보다 더 힘들 수도 있습니다. 둘 다 다항식이며, 지속 물의 워킹 순위 (선형 형태의 n 제곱합)는 대략 4 ^ n이며, 차우 순위 (선형 형태의 곱의 합계)는 대략 2 ^ n입니다. 분명히, Waring Rank \ leq 2 ^ {n-1} Chow Rank. 결정 요인의 경우 해당 숫자는 하한입니다. 반면에, 나는 결정 요인의 워킹 순위가 (n + 1)에 의해 상한이라는 것을 얼마 전에 증명했습니다! 그리고 이것은 진실에 가깝습니다.