정점 채색은 어떤 의미에서 가장 중요한 채색입니까?

우리는 그래프의 에지 색소 것을 알고 있습니다 즉 선 그래프의 특별한 그래프의 정점 색소 의 . $G$ $L(G)$ $G$

그래프 의 정점 채색이 그래프 의 가장자리 채색 과 같은 그래프 연산자 가 있습니까? 다항식 시간으로 구성 할 수있는 그래프 연산자에 관심이 있습니다. 즉, 그래프 는 에서 다항식 시간 으로 얻을 수 있습니다 . $\Phi$ $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$

비고 : 안정적인 설정과 일치에 대해 비슷한 질문을 할 수 있습니다. 의 일치는 의 안정적인 설정입니다 . 안정적인 세트 가 에서 일치 하도록 그래프 연산자 가 있습니까? STABLE SET이 -complete이고 MATCHING이 속하기 때문에 가정하면 그래프 연산자 (존재하는 경우)는 다항식 시간으로 구성 할 수 없습니다. . $G$ $L(G)$ $\Psi$ $G$ $\Psi(G)$ $\mathsf{ NP}$ $\mathsf{P}$ $\Psi$ $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

편집 : @usul의 대답과 @ Okamoto 's 및 @King의 의견에서 영감을 얻어 내 문제에 대한 약한 형태를 발견했습니다. 그래프 의 정점 채색은 다음과 같이 정의 된 하이퍼 그래프 의 가장자리 채색입니다 . 정점의 집합 세트와 동일한 버텍스 . 각 정점 에 대해 닫힌 이웃 는 하이퍼 그래프 의 가장자리입니다 . 그런 다음 는 hypergraph 의 선 그래프 이므로 정점 채색은 의 가장자리 채색입니다 . $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$ $v$ $G$ $N_G[v]= N_G(v) \cup\{v\}$ $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$

다시 한 번, 가정 여부와 상관없이 내가 찾고있는 연산자가 존재할 수 없다는 것을 보여주는 모든 답변과 의견에 감사드립니다 . 모든 답을 받아 들일 수 있다면 좋을 것입니다! $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

graph-theory graph-algorithms

— 사용자 13136
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친절한 의견 (및 인내심)과 유용한 답변에 감사드립니다. 읽고, 생각하고, 아마도 신선한 눈으로 돌아올 시간이 필요합니다.

— user13136

나는 1998 년에 Nishizeki와 Zhou가 제기 한 다음과 같은 흥미로운 문제를 발견했다. 그것은 당신의 질문과 @TsuyoshiIto에 대한 당신의 두 번째 의견과 관련이 있다. (...) 두 가지 문제가 모두 NP- 완전하기 때문에 NP- 완전성 이론으로 인해 3-SAT를 통해 그 중 하나를 다른 것으로 줄일 수 있습니다. 오픈 문제가 묻습니다 따라서, (참조 여기에 )

— 비주얼 베이직 르

@vble : 감사합니다! 나는 "너무 많이"원했다는 것을 인정한다. 이러한 운영자는 Nishizeki와 Zhou의 문제를 해결할 것입니다.

— user13136

답변:

선 그래프 와 유사하게 다음을 묻고 있다고 생각합니다.

모든 무향 그래프 , 각각의 정점 가 모서리 해당 하는 무향 그래프 가 존재 하며 에지는 대응 및 주 적어도 하나의 종료점 경우에만, $G = (V,E)$ $G' = (V',E')$ $v \in V$ $(v_1,v_2) \in E'$ $u \in V$ $v \in V$ ? $(u,v) \in E$

대답은 것으로 볼 수 없습니다 더 . 루트 가 3 개의 자식 갖는 4 버텍스 트리 를 고려하십시오 . 에서는 : 우리는 네 모서리 있어야 . 또한, 그 중 하나의 경우 수 있어야 $G$ $v$ $x,y,z$ $G'$ $(v_1,v_2),(x_1,x_2),(y_1,y_2),(z_1,z_2)$ 또는 는 다른 세 모서리의 각 끝점입니다 (예: 등). 그러나 이것은 다른 세 개의 모서리 중 두 개 이상이 공통 끝점을 공유해야한다는 것을 의미합니다. 이는 중두 개가원래 그래프에 인접하지 않기 때문에 요구 사항을 위반합니다. $v_1$ $v_2$ $\left| \{v_1,v_2\} \cap \{x_1,x_2\} \right| \geq 1$ $x,y,z$

동일한 그래프가 일치하는 질문에 대한 반례를 제공한다고 생각합니다.

— usul
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좋은 지적! 사실 나는 같은 생각을했다. 그러나

를 정의하는 또 다른 방법이 있습니까? 또는 그러한 연산자

가 존재하지 않는다는 것을 공식적으로 어떻게 증명할 수 있습니까?

G^{'}

$G'$

Φ

$\Phi$

— user13136

@ user13136, 흠, 아마도 그 주위에 창의적인 방법이있을 수도 있지만 질문을 다시 바꿔야 할 것입니다. 직감적으로, 문제는 선 그래프 방향으로 갈 때 가장자리 (두 꼭지점에만 연결할 수 있음)를 가져 와서 꼭지점 (모든 가장자리에 연결할 수 있음)으로 바꾸는 것입니다. . 그 반대는 어렵고 어렵다.

— usul

usul의 대답에 덧붙여서, 짧은 대답은 아니오입니다. 매칭은 반드시 안정적인 세트에 존재하는 구조적 속성을 갖지 않기 때문입니다. 예를 들어, 모든 선 그래프에는 준선이 있고 발톱이 없습니다. 이것은 꼭짓점 채색에 비해 가장자리 채색의 깊이를 제한합니다.

— Andrew D. King

이 질문에는 "그래프 G 의 정점 색소가 그래프 H 의 모서리 색소 "라는 의미의 모호함이 포함되어 있지만, 모서리 색도 수가 (정점) 색도 수와 같은 그래프를 구성하는 것은 NP-hard입니다 주어진 그래프. 공식적으로, 다음 관계 문제는 NP-hard입니다.

가장자리 색 수와 색 수가 나타내는
인스턴스 그래프 : G를 .
용액 : 그래프 H 가장자리 색 번호 χ '(있도록 H 의) H는 유채색 번호 χ (같다 G 의) G .

때문이다 비징의 정리가 유채색 수가 다양한 감각으로 근사하더라도 어려운 반면 1 첨가제 오차 내의 가장자리 색 수에 가까운 (사소한) 효율적인 알고리즘을 제공한다. 예를 들어 Khanna, Linial 및 Safra [KLS00]는 다음과 같은 문제가 NP- 완전임을 나타 냈습니다 (그리고 나중에 Guruswami와 Khanna [GK04]가 훨씬 더 간단한 증거를 제공함).

3 착색성 대 비 - 착색성 -4-
인스턴스 : 그래프 G .
예 약속 : G 는 3 색입니다.
약속 없음 : G 는 4 색이 아닙니다.

이 결과는 내가 처음에 주장한 NP 경도를 증명하기에 충분하다. 증거는 연습으로 남겨 두지 만 힌트는 다음과 같습니다.

운동 . 전술 한 문제 "에지 색수를 에지 색수로 표현"은 "3 색성 대 비 4 색성"을 감소시킴으로써 다항식 시간 기능적 환원성 하에서 NP- 하드라는 것을 입증한다. 즉, 두 개의 다항식 시간 함수 f (그래프를 그래프에 매핑)와 g (그래프를 비트에 매핑)를 구성합니다.

경우 G는 3 착색성 그래프이고, H는 χ (하도록 그래프 F ( G )) = χ '( H ) 후, G ( H는 ) = 1.

경우 G는 비 -4- 착색성 그래프이고, H는 χ (하도록 그래프 F ( G )) = χ '( H ) 후, G ( H는 ) = 0.

참고 문헌

[GK04] Venkatesan Guruswami와 Sanjeev Khanna. 4 색의 경도에서 3 색 그래프. SIAM Journal on Discrete Mathematics , 18 (1) : 30-40, 2004. DOI : 10.1137 / S0895480100376794 .

[KLS00] Sanjeev Khanna, Nathan Linial 및 Shmuel Safra. 색수에 근접한 경도. Combinatorica , 20 (3) : 393–415, 2000 년 3 월. DOI : 10.1007 / s004930070013 .

— 이토 츠요시
소스

Thank you for reply! I am a little bit imprecise by formulating “vertex colorings of a graph

G

$G$ are edge colorings of a graph

H

$H$ ”. What I mean is an operator

Φ

$\Phi$ like the line graph operator

L

$L$ , but from vertex colourings to edge colourings. This is somehow more than

χ (G) = χ^{'} (H)

$\chi(G) = \chi'(H)$ .

— user13136

VERTEX COLORING과 EDGE COLORING은 모두

complete이므로 정의에 따라

iff

되도록 다항식 시간으로

에서

를 구성 할 수 있습니다 . 찾고 있는 운영자

의 속성을 충족시킵니다 . 정점 채색 만 가장자리 채색으로 줄입니다.

N P

$\mathsf{NP}$

H

$H$

G

$G$

χ (G) \leq k

$\chi(G) \le k$

χ^{'} (H) \leq k^{'}

$\chi'(H) \le k'$

Φ

$\Phi$

— user13136

@user13136: If a weaker requirement is impossible to satisfy, the stronger requirement is obviously also impossible. This is logic. You should understand that your planar graph example is not a counterexample to this. Deciding the 3-colorability of a given planar graph is not a weaker requirement than deciding the 4-colorability of a given planar graph; they are just different requirements. On the other hand, I already showed that what you want is impossible unless P=NP, period. But if you have trouble understanding this, I do not think there is anything I can do to help you understand.

— Tsuyoshi Ito

Φ

$\Phi$

G = K_{1, 3}

$G=K_{1,3}$

Φ (G)

$\Phi(G)$

G

$G$ is 2-colorable,

Φ (G)

$\Phi(G)$ should be 2-edge-colorable. This means the maximum degree of

Φ (G)

$\Phi(G)$ is at most two. Since

Φ (G)

$\Phi(G)$ has four edges, we can go through all candidates for

Φ (G)

$\Phi(G)$ (seven candidates up to isomorphism), and we will find that the family of edge colorings of

Φ (G)

$\Phi(G)$ and the family of vertex colorings of

G

$G$ are different. A contradiction.

— Yoshio Okamoto

@user13136: It occurred to me that you might have been confused because I wrote only a proof idea and I left out the actual proof. I revised the answer so that it would be clear that I left out the actual proof, and added some hints for proof. If this still does not work for you, then I will give up.

— Tsuyoshi Ito

(This is an addition to usul's answer and YoshioOkamoto's comment, rather than an answer.) It can be seen that your operation $\Phi$ exists only for those graphs $G$ for which there is a graph $G'$ with $G = L(G')$ , i.e. $G$ is a line graph (checkable in polytime). In this case, $\Phi$ is the "inverse line graph operator" $L^{-1}$ , i.e. $\Phi(G)=G'$ , and vertex colorings of $G$ are edge colorings of $\Phi(G)$ .

— In Theory
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