건의안 해결은 완전한 증거 시스템입니까?

이 질문은 제안 논리에 관한 것이며 모든 "해상도"는 "제안 해결"로 읽어야합니다.

이 질문은 매우 기본적인 것이지만 잠시 동안 나를 귀찮게했습니다. 나는 사람들이 건의안 해결이 완료되었다고 주장하지만, 또한 사람들은 해결이 불완전하다고 주장합니다. 나는 결의가 불완전하다는 의미를 이해한다. 또한 사람들이 그것이 완전하다고 주장하는 이유를 알지만 "완료"라는 단어는 자연적인 추론이나 그에 따른 미적분학을 설명 할 때 "완료"가 사용되는 방식과 다릅니다. 한정자 "반복 완료"조차도 공식이 CNF에 있어야하고 Tseitin 변환을 통한 공식을 동등한 CNF 공식 또는 동등한 CNF 공식으로 변환하는 것이 증거 시스템 내에서 고려되지 않기 때문에 도움이되지 않습니다.

건전성과 완전성

어떤 구조의 우주와 수식 세트 사이 의 관계와 의 고전적인 타르 스키 안 진리의 구조에 대한 고전적 명제 논리의 설정을 가정 해 보자 . 우리는 쓰기 경우 모든 구조가 고려되고에서 사실이다. 또한 공식에서 공식을 파생 시키는 시스템 를 가정합니다 . $\models$ $\models \varphi$ $\varphi$ $\vdash$

시스템 이다 음 에 대한 경우 우리가있을 때마다 , 우리 또한 되세요 . 이 시스템은 입니다 전체 에 대한 경우 우리가있을 때마다 , 우리 또한 되세요 . $\vdash$ $\models$ $\vdash \varphi$ $\models \varphi$ $\vdash$ $\models$ $\models \varphi$ $\vdash \varphi$

해결 규칙

리터럴은 원자 명제 또는 부정입니다. 절은 리터럴의 분리입니다. CNF의 공식은 절의 결합입니다. 결의 규칙은

해상도 규칙은 절 연계의 경우 주장 $C \lor p$ 절과 $\neg p \lor D$ 만족할이다 절 $C \lor D$ 도 만족할 수 있어야한다.

공식 도입에 대한 규칙이 없기 때문에 해결 규칙만으로 증명 시스템으로 이해 될 수 있는지 잘 모르겠습니다. 적어도 우리는 절 도입을 허용하는 가설 규칙이 필요하다고 가정합니다.

불완전한 해결

해상도는 방음 시스템으로 알려져 있습니다. 우리가 절 도출 할 수 있다면, 의미 $C$ 공식에서 $F$ 다음 해상도를 사용 $\models F \implies C$ . 우리가 가지고 있다면결의는 또한완전한 반박이다 $\models F \implies \bot$ 우리는 유도 할 수 $\bot$ 에서 $F$ 해상도를 사용.

공식을 고려하십시오

$\varphi := p \land q$ 및 $\psi := p \lor q$ .

Gentzen의 시스템 LK에서 또는 자연 공제를 사용 하여 의미 도출 할 수 있습니다 . $\varphi \implies \psi$ 전적으로 증명 시스템 내에 있습니다. 시작하면 해결자가 없기 때문에 해상도를 사용 하여이 의미를 도출 할 수 없습니다 $\varphi$ .

해결을 사용하여 이러한 의미의 유효성을 어떻게 증명할 수 있는지 확인합니다.

공식 $\neg (\varphi \implies \psi)$
표준 분포 규칙을 사용하거나 Tseitin 변환을 사용하여 위의 공식을 CNF로 변환
파생 해상도로 변환 식으로부터. $\bot$

이 방법은 해상도 증명 시스템 외부에있는 단계 (1) 및 (2)를 수행해야하기 때문에 만족스럽지 않습니다. 따라서 자연적인 추론이나 결과적인 미적분학이 완료되었다고 말하는 방식으로 결의안이 완전하지 않은 것은 매우 분명한 의미입니다.

질문

위의 모든 것을 감안할 때 내 질문은 다음과 같습니다.

결의를 논의 할 때 어떤 증거 시스템이 고려되고 있습니까? 해결 규칙일까요? 다른 규칙은 무엇입니까?
자연적인 추론과 그에 따른 미적분학이 완료되었다는 의미에서 해결이 완전하지 않다는 것이 매우 분명해 보입니다. 결의가 완전하다는 의미가 불완전한 의미보다 더 흥미 롭기 때문에 결의가 완전한 학대 용어라고 주장하는 문헌이 있습니까?
결의안과 다른 곳에 적용되는 완전성 개념의 차이와 그것들을 조정하는 방법은 문헌에서 더 깊이 논의 되었는가?
나는 또한 결의 규칙의 관점에서 후속 미적분학 내에서 결의안이 공식화 될 수 있음을 알고있다. CNF에서 공식의 만족도를 확인하기에 충분한 후속 미적분의 단편이라는 해상도의 "올바른"증거 이론적 견해인가?

— 비제이 D
소스

(1) 해상도 만있는 CNF 공식 (또는 QBF를 수행하는 경우 해상도 및 전체 감소를 가진 QCNF 공식); (2) 예, 그것의 논박의 완성, 여전히 약간 다른 의미, 즉 경우

ψ ⊨ ⊥

$\psi\models\bot$

ψ ⊢ ⊥

$\psi\vdash\bot$

— Radu GRIGore

대략 비슷한 질문이 있습니다. 게시 thx. 기본적으로 iiuc / afaik 해상도 는 1 차 논리보다 훨씬 많은 시스템에 사용되지만 1 차 논리 내에서는 "사운드 / 완료"입니다. 비록 항상 반박 증거로 사용되기 때문에 항상 잘 설명되어 있지는 않습니다. 용어가 부울 변수 일뿐 아니라 실체 한정자 등인 "더 큰"시스템에서는 완전하지 않습니다. 논리 분야는 용어의 정의를 너무 잘 표준화하지 않고 용어 등의 "과부하"가 많이 발생합니다.

— vzn

어떤 사람들은 그것을 "라고 이유의 refutationally 완료", 예를 들어 L. Bachmair 및 H. Ganzinger, "해결의 정리 증명,"자동화 된 추론의 핸드북 권. 1, pp. 19–99, 2001.

— Trylks

이 문제는 반박의 완전성에 대해 논의합니다.

— Vijay D

답변:

결의를 논의 할 때 어떤 증거 시스템이 고려되고 있습니까? 해결 규칙일까요? 다른 규칙은 무엇입니까?

나는 "절들"의 맥락에서 해결책을 논의하는데, 그것은 문자 들로만 구성되어있다 . 고전적인 조항은 과 비슷 하지만

ㅏ_{1}, \dots, ㅏ_{엔} \to 비_{1}, \dots, 비_{미디엄}

$A_1,\ldots,A_n \to B_1,\ldots,B_m$

한 면만 처리하십시오. 이러한 일방적 인 결과를여러 문자집합으로취급하는 것이 일반적입니다.

\to {\bar{ㅏ}}_{1}, \dots, {\bar{ㅏ}}_{엔}, 비_{1}, \dots, 비_{미디엄}

${} \to \bar{A}_1,\ldots,\bar{A}_n, B_1, \ldots, B_m$

조항으로 제한되는 LK에는 네 가지 유추 규칙이 있습니다.

정체
컷 (제안 해상도)
수축 (제안 인수 분해)
약화

이 4 가지 규칙은 조항을 추론하기 위해 완벽하다는 것이 명백합니다.

제안 1 어떤 절에 대한 및 조항의 세트 , 우리는이 경우에만, . $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \vdash C$

반박 증거의 변환 문제 에 여기서 의 부정 나타내는 절의 컬렉션이다 . ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$ $N(C) = \{\{\bar{A}\} \mid A \in C\}$ $C$

이 분명하다 경우에만, . 우리의 4 가지 규칙 시스템은 여전히 변환 된 문제를 증명하기에 충분하지만, 우리는 더 이상 정체성이 필요없고 약화 될 필요가 없다는 것을 알았습니다. 나머지 두 규칙을 "해결 방법"이라고합니다. ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

법안 2 조항 및 조항 에 대해 컷과 수축 만 사용하여 경우에만 가 있습니다 . $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

문제를 반박 증명으로 전환하는 요점은 두 가지입니다.

우리는 통해 증거 검색을 유도 할 수있는 더 좋은 기회가 있습니다. $N(C)$
우리는 완전한 술어 논리에 대한 핸들을 가지고 있으며, 그 수식은 만족스럽게 CNF로 변환 될 수 있습니다.

CNF에서 공식의 만족도를 확인하기에 충분한 후속 미적분의 단편이라는 해상도의 "올바른"증거 이론적 견해인가?

과연!

— 우다이 레디
소스

감사합니다 Uday. 한 가지 질문 : 절단 규칙은 여전히 원래 수식의 절을 계속 유지합니다. 결과적으로 이것들은 결과에서 단 하나의 절만으로 "최적화"됩니다. 규칙에 모든 조항이 나타나지 않기 때문에 해결이 최소 또는 로컬 규칙이라는 데 동의하십니까?

— Vijay D

@VijayD. 우리는 정확하게 절단 규칙을 사용하지만 Gentzen과는 다른 방식으로 사용합니다. Gentzen 증명은 형식이 될 것입니다

"가없는

, 해상도에서 우리는 공리가

증거를 생성합니다. 이 문서의Clausle Completion을보고싶을 것입니다.

⊢ C

${} \vdash C$

S ⊢ C

${\cal S} \vdash C$

— Uday Reddy

결의의 완전성에 대한 한 문장의 정확한 설명이라고 생각하는 것을 답에 추가 할 수 있습니까?

— Vijay D

@VijayD. 내 원래 답변에 두 개의 "만약 if"문장이 있었는데, 이는 두 가지 완전성 속성이었습니다. 명확하게하기 위해, 나는 그것들을 당신을위한 제안으로 높였습니다. (나는 당신의 혼란이 어디에 있는지 아직 확실하지 않습니다. 아마도 Kaveh가 암시하는 것처럼 우리가 사용하는 언어와 관련이 있을까요?)

— Uday Reddy

@VijayD. 나는 해상도가 "불완전하다"고 말할 수 없다고 생각합니다. 원래의 질문에서 당신이 말한 모든 것은 명제 형식을 어리석은 형태로 만드는 데 필요한 변화가 당신에게 "만족스럽지 않다"는 것입니다. 그렇다고 그들이 "불완전"하다는 의미는 아닙니다.

— Uday Reddy

1)

비 구조적 규칙은 해상도 (원자)입니다.

\frac{φ \lor 씨, ψ \lor \bar{씨}}{φ \lor ψ}

$\varphi\lor C, \psi\lor \overline{C} \over \varphi\lor \psi$

그러나 규칙 자체는 증거 시스템을 제공하지 않습니다. 3 부를 참조하십시오.

2)

대신 다른 연결 집합을 사용하는 경우 Gentzen의 순차적 미적분 PK가 완료 되었습니까? 사용하는 논리적 연결은 완전성과 같은 논리적 결과에 중요합니다. 해당 언어의 공식과 관련하여 증명 시스템을 완성 할 수 있습니다. PK는 다른 언어로 된 수식에 대해 이야기 할 수 없습니다. 해결 문제는 비슷합니다. 예, 우리가 결합 으로 일반 공식에 관한 완전성에 대해 이야기하고 있다면 결의는 완료되지 않았지만, 그들의 언어가 아닌 공식과 관련하여 결과적으로 미적분학과 자연적인 추론은 아닙니다. $\{\land, \lor, \lnot\}$ $\{\land, \lor, \lnot\}$

한 언어에서 다른 언어로 "좋은"번역이있는 한 완전성에 대해 이야기 할 수 있습니다. 중요한 것은 수식을 다른 수식으로 변환하거나 그 반대로 효율적으로 변환 할 수 있다는 것입니다. Robert Reckhow의 논문 에서 연결 문제를 다루는 부분을 확인할 수 있으며 Frege 시스템의 경우 증거 길이가 다항식 이상으로 변경되지 않으므로 원하는 적절한 연결 집합을 선택하는 것이 좋습니다.

해결 상황은 비슷합니다. SAT에서 3SAT로 축소함으로써 우리는 CNF에 대한 관심을 제한 할 수 있으며 변환은 매우 효율적으로 수행 될 수 있습니다.

여기서 해결책은 단독이 아니며,이 문제는 다른 증명 시스템에도 적용됩니다. 예를 들어 공식 깊이가 상수에 의해 경계를 정해야하는 경계 깊이 깊이 (Bounded-Depth Frege)를 예로 들어 정의에 의해 무한 깊이 공식을 증명할 수는 없습니다.

삼)

$P$ $\vdash_P$

$\vdash_P$ $\varphi$ $\pi$ $\pi$ $P$ $\varphi$
$P$ $\varphi$ $\varphi$
$\varphi$ $P$ $\varphi$

정의는 매우 일반적이며 증거의 구조에 대해서는 전혀 언급하지 않습니다. 이러한 조건을 만족시키는 것은 건의 성 증명 시스템입니다.

이 항목들에서 어떤 공식을 고려해야합니까? 다른 종류의 공식이 고려되었고 내가 아는 문제의 첫 번째 치료법은 Robert Reckhow의 논문 인데, 그는 Frege 시스템에 관한 한 사용자가 사용하는 적절한 연결 세트가 중요하지 않다는 것을 보여줍니다. 동일합니다.

결의와 관련하여 CNF뿐만 아니라 모든 공식에 대해 완전성을 원한다면 임의의 공식에서 CNF로 고정 다항식 시간 변환을 증거 시스템에 통합하여 번역이 다항식 시간 계산 가능하므로 문제없이 처리 할 수 있습니다.

$\pi$ $\bot$ $\lnot \varphi$

4)

해상도는 그대로는 좋지만, 여러분이 언급 한 방식으로 생각할 수도 있습니다. 즉, 음의 원자를 선행으로 이동시키고 성공적인 긍정적 인 것 :

\frac{\Rightarrow φ, 씨 씨 \Rightarrow ψ}{\Rightarrow φ, ψ}

$\Rightarrow \varphi, C \hspace{1cm} C \Rightarrow \psi \over \Rightarrow \varphi, \psi$

$G$

추신 : 내 대답은 주로 증거 복잡성 이론적 관점에서 비롯됩니다. 구조 증명 이론 과 같은 다른 관점을 확인하고 싶을 수도 있습니다 .

참고 문헌 :

Robert A. Reckhow, " 명제 미적분학의 증명 길이 ", 1976.

— 카베
소스

답변 주셔서 감사합니다. 나는 Uday가 어떻게 비슷한 말을하는지 알지만 그의 대답을 더 쉽게 따를 수 있다는 것을 알았습니다.

— Vijay D

@VijayD, 물론 문제 없습니다. :)

— Kaveh