블랙 박스를 사용하여 정렬

우리는 목록 정렬한다고 가정 의 n 개의 실수를. 우리가 정렬 할 수있는 블랙 박스가 있다고 가정합니다 $S$$n$실수 n 개 . 이 블랙 박스를 사용하면 얼마나 많은 이점을 얻을 수 있습니까?$\sqrt n$

예를 들어 숫자 만 블랙 박스에 전화합니까? 내가 찾은 최고의 알고리즘은 블랙 박스에 대한n 개의호출을사용합니다. 그러나 나는 그것을 더 향상시킬 수 없었습니다. 다음은 merge-sort와 비슷한 알고리즘입니다.$O(\sqrt n)$$n$

먼저 목록 를 √ 로 분할하십시오.$S$ 은s1,s2,을나열합니다. . . ,s$\sqrt n$대략√의$s_1, s_2, ..., s_{\sqrt n}$ 사이즈 그런 다음 √를 사용하십시오.$\sqrt n$ 블랙 박스를 호출하여이 목록을 정렬합니다. 마지막으로 다음과 같이 블랙 박스를 사용하여 정렬 된 목록을 병합하십시오.$\sqrt n$

목록의 가장 작은 요소를 새 목록 에 넣고 블랙 박스를 호출하여 정렬하십시오. 안의 숫자는 L [ 1 ] (제 1 및 작은 원소 L가 )의 최소 수있을 것이다 S . 출력리스트의 첫 번째 위치에 넣을 수 있습니다. 요소를 가정하면로부터 선택되어 S 개의 J , 우리는 대체 L [ 1 ] 정렬리스트의 두 번째 최소의 요소 S J , 다시 두 번째 최소의 부재를 계산하는 데에 블랙 박스를 실행 S를 .$L$$L[1]$$L$$S$
$s_j$$L[1]$$s_j$$S$
모든 요소가 정렬 될 때까지 계속합니다. 이 부분에 대한 총 블랙 박스 통화 수는 . 따라서 전체 총 통화 수는n입니다.$n - \sqrt n$$n$

반면에 다음과 같이 정렬에 필요한 숫자 비교에서 하한을 사용하여 하한을 얻을 수있는 것처럼 보입니다. √를 사용하여 블랙 박스를 구현할 수 있습니다비교. o로문제를 해결할 수 있다면($\sqrt n \lg \sqrt n = \frac{1}{2} \sqrt n \lg n$블랙 박스를 호출하고 선형 시간으로 병합하면 불가능한o(nlgn)비교로n개의실수를정렬 할 수 있습니다.$o(\sqrt n)$$n$$o(n \lg n)$

블랙 박스에서 사용되는 많은 비교가 공유되므로 우리의 주장에 다시 설명되기 때문에 이 블랙 박스 호출 횟수의 하한 임을 증명할 수 있다고 생각 합니다.$\Omega(n)$

업데이트 : 다른 게시물에서 알 수 있듯이 도 달성 할 수 있습니다.$\sqrt n \lg n$

O 로 정렬 할 수 있습니다 ( √블랙 박스를 호출하고 비교하지 않습니다.$O(\sqrt n\log n)$

먼저, 다음과 같은 균형 분할 문제를 고려하십시오 : 주어진 요소 A [ 1 .. m ] (여기서 $m$$A[1..m]$) 인 경우, 최소 약m/4크기의 가장 작은 두 그룹으로 분할하여 첫 번째 그룹의 모든 요소가 두 번째 그룹의 모든 요소보다 작습니다. 이것은O(m/$\sqrt n \le m \le n$$m/4$블랙 박스를 호출합니다. (나중에 설명하겠습니다.) 그런 다음이 분할 알고리즘과 함께 퀵 정렬을 사용하십시오.$O(m/\sqrt n)$

def qsort(A[1..m]):
   if m < sqrt(n): sort A with one call to the black box
   else:
     Partition A[1..m] into two groups as described above.
     Recursively qsort the first group.
     Recursively qsort the second group.

각 파티션 단계가 입력A[1 ..n]가주어지면 위 알고리즘에서 블랙 박스를 호출하면O($O(m/\sqrt n)$$A[1..n]$재귀 트리의 깊이는O(logn)이고 트리의 각 레벨의 합계는O(n/ √ )이므로 n logn)은 블랙 박스를 호출합니다.$O(\sqrt n\log n)$$O(\log n)$블랙 박스를 호출합니다.$O(n/\sqrt n) = O(\sqrt n)$

다음과 같이 파티션 단계를 수행하십시오.

def partition(A[1..m]):  (where sqrt(n) <= m <= n)
   Divide A into m/sqrt(n) groups of size sqrt(n) each.
   Sort each group with one call to the black box per group.
   Sort the medians of the groups with one call to the black box.
   (Note the number of groups is less than sqrt(n), because m <= n.)
   Let X be the median of the medians.
   Partition all m elements around X, using the black box as follows:
      For each group G, let Y be its median:
        Call the black box once on (G - {Y}) union {X}.
        (This gives enough information to order all elts w.r.t. X.)

당신의 질문은 1990 년부터 Beigel과 Gill의 논문 " k-sorter를 사용하여 n 개의 객체 정렬하기 "에서 다루어졌고 논문 의 초록은 다음과 같이 말합니다 :

k- 소터는 k 개의 개체를 단위 시간으로 정렬하는 장치입니다. k 소터를 사용하는 알고리즘의 복잡성은 k 소터의 적용 횟수로 정의된다. 이 측정에서 n 개체 정렬의 복잡성은 n log n 사이입니다. 및4N로그$\frac{n \log n}{k \log k}$ , n 및 k의 1 차 항까지.$\frac{4n \log n}{k \log k}$

$O(\sqrt{n}\log n)$$n$

다음은 단순한 알고리즘의 스케치입니다. 블랙 박스를 사용하여 크기가 하위 배열을 정렬합니다.$k$$\sqrt{n}$$2(n/k)^2$$k$$2n/k$

BlockBubbleSort(X[0..n-1], k):
   m = floor(n/k)
   for i = 1 to m
      for j = 0 to m-1
          BlackBoxSort(X[j*k .. (j+1)*k-1])
      for j = 0 to m-1
          BlackBoxSort(X[j*k + k/2 .. (j+1)*k + k/2 - 1])

$n=18$$k=4$$k$

$k/2$$k$

$O((n/k)^2)$$O((n/k)\log^2(n/k)) = O(\sqrt{n}\log^2 n)$$O((n/k)\log (n/k)) = O(\sqrt{n}\log n)$