역 3-SAT 정보

문맥 : Kavvadias 및 Sideri을 감안할 때 : 역 3-SAT 문제가 CONP가 완료되었음을 보여 주었다 $\phi$ 에 모델 세트 $n$ 하는 3-CNF 공식은이 변수 $\phi$ 모델의 정확한 설정되어 있습니까? 즉각적인 후보 수식 모델 모두 만족하는 모든 3 절의 함께 발생되는 $\phi$ .

그것은 암시 모든 3 절을 포함하기 때문에, 이러한 후보 화학식 쉽게 등가 식으로 변환 될 수 $F_{\phi}$ 해상도에서 3 닫혀 - 수식의 3 클로져의 조항을 포함하는 해상도에서 그 폐쇄 서브셋은 크기 3 이하. 절에 - 모든 가능한 resolvents이 식의 절에 의해 포섭하는 경우 CNF 수식 해상도에서 폐쇄 절에 의해 포섭된다 모든 리터럴 경우 에 .$c_1$$c_2$$c_2$$c_1$

을 감안할 때 ,되도록 변수의 부분 할당 어떤 모델의 하위 집합 아니다 .$I$$I$$\phi$

전화 , 적용하여 유도 식 에 :로 평가되는 문자가 포함되어 모든 조항 에서 공식에서 삭제되고로 평가 모든 리터럴 에서 삭제 모든 절에서.$F_{\phi|I}$$I$$F_{\phi}$$true$$I$$false$$I$

전화 $G_{\phi|I}$ , F ϕ 에서 파생 된 공식 | $F_{\phi|I}$ 모든 가능한 3 제한된 해상도로 (이 용해제 와 피연산자 와 subsumptions 최대 3 리터럴이).

질문 : IS $G_{\phi|I}$ 해상도에 따라 3은 폐쇄?

답변 : 예 (경우에도 나는 일부 모델의 하위 집합입니다 φ )$I$$\phi$

R 하자 | I 에서 파생 조항의 설정 F φ ∪ F φ | 나는 모든 가능한 3 제한 해상도와 subsumptions에 의해 ( R은 | 난 의 3 제한된 폐쇄입니다 F φ ∪ F φ | I ). 주어 c를 암시 조항 F의 φ , 그것의 적어도 하나 개의 부분 집합이 존재 R을 | 나는 그 절이 c를 암시 합니다 . 그러한 서브 세트의 이름 R c .$R_{|I}$$F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$$R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$F_{\phi}$$R_{|I}$$c$$R_c$

하자 P ( K ) 다음과 같은 속성을 모든 들어 C 암시 F φ 같은 그 | c | 나는 | ≤ 3 ,$P(k)$$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}| \le 3$

[ ∃ R c ⊆ R | 나는 그런 | R c | ≤ k ⇒ c | 내가 어떤 절에 의해 포섭되어 ∈ G의 φ | 나는$[\exists R_c \subseteq R_{|I}$$|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$$\in G_{\phi|I}]$

여기에서 재발이 시작됩니다. 주어 c를 암시 F φ 같은 그 | c | 나는 | ≤ 3 , 즉 c | 내가 ∈ 의 3 폐쇄 F의 φ를 | I .$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}|\le 3$$c_{|I} \in$$F_{\phi|I}$

1. k = 1 입니다. 만약 ∃ R C ⊆ R | 나는 / | R c | = 1 다음 R C = { D } ( D ∈ F φ ∪ F φ | I이 포섭 C ) 및 (C) | 나는 d 에 의해 포섭된다 | 나는 ∈ F ϕ | I ( F ϕ | I 의 모든 조항에 유의하십시오.$k=1$$\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$$R_c=\{d\}$$d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$c_{|I}$$d_{|I} \in F_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$일부 조항에 의해 포섭되어 G의 φ | 나 ). 따라서 P ( 1 ) .$G_{\phi|I}$$P(1)$

2. k ≥ 1에 대해 P ( k ) 를 가정합니다 . 만약 ∃ R C ⊆ R | 나는 그런 | R c | ≤ K + 1 (및 다른 R의 C 크기 1이되도록 C ∉ F φ 및 | C | > 3 )을 가정하자 C = ( α β γ L I ) 여기서, α , β $P(k)$$k\ge1$$\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$$|R_{c}|\le k+1$$R_{c}$$c\notin F_{\phi}$$|c|>3$$c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$γ 는 I에 의해 설정되지 않은 리터럴이고 L I 는 I ( L I ≠ ∅ ) 에서모두 0으로 평가되는 리터럴의 하위 집합입니다. 즉 c | 나는 = ( α β γ ) 와, α , β , γ 반드시 다르지 않다. $\alpha ,\beta ,\gamma$$I$$L_{I}$$I (L_I \neq \varnothing)$$c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\alpha ,\beta ,\gamma$

3. 조항의 삭제 D 난을 에서 R c를 같은 그 | 디 나 | 나는 | < | 디 나 | ≤ 3 , 즉 d i 는 L I의 리터럴을 포함하도록 ( L I ≠ ∅ 이기 때문에 R c 에 하나 이상의 그러한 절이 있음 ) 및 | 디 나 | 나는 | ≤ 2 .$d_{i}$$R_{c}$$|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$$d_{i}$$L_{I}$$R_{c}$$L_I \neq \varnothing$$|d_{i|I}|\leq 2$

4. 나머지 세트 R c ∖ d i 의 크기 는 ≤ k 입니다. 특정 절 있으면 C ' = ( α β γ L ' I가 ) 에 의해 암시되는 R C ∖ D I (여기서, L ' I는 리터럴의 서브 세트는 모든 평가 하에서 0 인 I 후) | c ' | 나는 | = 3 및 ∃ R c ' = R c ∖ $R_{c}\setminus d_{i}$$\le k$$c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$$R_{c}\setminus d_{i}$$L'_{I}$$I$$|c'_{|I}|=3$나는 ⊆ R | 나는 그런 | R c ' | ≤K. 저자P(K), (C) ' | 그런 다음 I =(αβγ)는 일부 절sub G ϕ | I , 유도P(K+1)에 대한C.$\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$$|R_{c'}|\le k$$P(k)$$c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\in G_{\phi|I}$$P(k+1)$$c$

5. 만약 D 전 | 내가 포함 ˉ α 또는 ˉ β 또는 ˉ γ 다음 거라고 내가 | 나는 [일부 조항이 subsuming] 의미하는 쓸모 다 . 그런 다음 R c ∖ d i는 c를 암시하며 앞에서 보여준 것처럼 P ( k + 1 ) 을 유도 합니다.$d_{i|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}$$c$$R_{c}\setminus d_{i}$$c$$P(k+1)$

6. If $d_{i|I}\in F_{\phi|I}$ subsumes $c_{|I}$ then $P(k+1)$ is satisfied for $c$.

7. If $d_{i|I}$ does not subsume $c_{|I}$ and does not contain $\bar \alpha$ or $\bar \beta$ or $\bar \gamma$ then either $d_{i|I}=(x)$ or $d_{i|I}=(ax)$ or $d_{i|I}=(xy)$, where $x$ and $y$ $\notin\{\alpha \beta \gamma \}$ and are not set by $I$, and $a \in\{\alpha \beta \gamma \}$.

   • If $d_{i|I}=(x)$ then $R_{c}\setminus d_{i}$ implies $(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$ (recall that implying a certain clause $C$ means implying a clause which subsumes $C$). Since any resolution with $d_{i|I}=(x)$ as operand removes $\bar{x}$ from the other operand then no clause of $R_{c}\setminus d_{i}$ contains $\bar x$ (since $R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$ which is the 3-limited closure of $F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$). Then $R_{c}\setminus d_{i}$ implies $(\alpha \beta \gamma L_{I})$, inducing $P(k+1)$ as shown in Point (4).

   • If $d_{i|I}=(ax)$ then $R_{c}\setminus d_{i}$ implies $(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$. Replace $\bar{x}$ by $a$ in each possible clause of $R_{c}\setminus d_{i}$ (if the new clause is subsumed by some clause in $R_{|I}$, keep the subsuming clause instead. Anyway, the replacing clause is in $R_{|I}$). Name $R_{c,d_{i}}$ the resulting set ($R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$). Then $R_{c,d_{i}}$ implies $(\alpha \beta \gamma L_{I})$, inducing $P(k+1)$ as above.

   • If $d_{i|I}=(xy)$ then $R_{c}\setminus d_{i}$ implies $(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$ and $(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$. Replace $\bar{x}$ by $y$ in each possible clause of $R_{c}\setminus d_{i}$ (as above, if the new clause is subsumed by some clause in $R_{|I}$, keep the subsuming clause instead). Name $R_{c,d_{i}}$ the resulting set ($R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$). Then $R_{c,d_{i}}$ implies $({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$. Since it implies also $(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$ then it implies the resolvent $(\alpha \beta \gamma L_{I})$, inducing $P(k+1)$.

By this recurrence, any clause $\in$ the 3-closure of $F_{\phi |I}$ is subsumed by some clause $\in G_{\phi|I}$ (the other way holds as well). Then $G_{\phi|I}$ corresponds to the 3-closure of $F_{\phi |I}$.

I don't see how $F_\phi$ can be computed it in polynomial time becuase doing resolution itself takes exponential time (in the worst case). For example, let's say your candidate 3-CNF formula $F_1$ is as below:

$$F_1 := \{ \{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}\}$$ Then, the result of resolution on $F_1$ is the formula $F_2$ below: $$F_2 := \{ \{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}, \{a,b,d,e\}, \{a,\neg b, d, e\}, \{a,d,e\}\}$$ Thus, the formula $F_\phi$ is as below: $$F_\phi :=\{\{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}, \{a,d,e\}\}$$

However, as you can see, in order to get the final clause in $F_\phi$ you should first get all four-literal clauses. So, I do not see any way to get rid of exponentially many steps for resolution. Indeed, for some problems such as the pigeonhole principle, we know that resolution cannot solve it in less than exponentially many steps (but, to be fair, as far as I know, these examples are not in 3-CNF form and some intelligent resolution might exist when the input is guaranteed to be in 3-CNF form).