파이 타입의 funsplit 및 극성

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A의 최근 스레드 AGDA 메일 링리스트의 질문 $\eta$ 법은 피터 핸콕이 수행하는, 팝업 생각을 자극하는 발언을 .

나의 이해는 $\eta$ 법칙은 부정적 유형, 즉 어떤 도입 규칙이 돌이킬 수없는 결합 물. 함수에 대해 를 비활성화하려면 $\eta$ Hank는 일반적인 응용 프로그램 규칙 대신 맞춤형 제거기 funsplit 을 사용하는 것이 좋습니다. 극성 측면에서 행크의 발언을 이해하고 싶습니다.

예를 들어, 두 가지 프리젠 테이션 $\Sigma$ 유형이 있습니다. 긍정적 인 스타일로 전통적인 Martin-Löf 분할 제거기가 있습니다 :

\begin{array}{l} Γ ⊢ 에프 : (ㅏ : ㅏ) (비 : 비 ㅏ) \to 씨 (ㅏ, 비) \\ Γ ⊢ 피 : Σ ㅏ : ㅏ . 비 \\ Γ ⊢ 에스 피 엘 나는 티 에프 피 : 씨 피 \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma \vdash f : (a : A)(b : B\: a) \to C (a , b) \\ \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \mathrm{split}\: f\: p : C\: p \end{array}$

그리고 부정적인 버전이 있습니다.

\begin{array}{l} Γ ⊢ 피 : Σ ㅏ : ㅏ . 비 \\ Γ ⊢ π_{0} 피 : ㅏ \end{array} \begin{array}{l} Γ ⊢ 피 : Σ ㅏ : ㅏ . 비 \\ Γ ⊢ π_{1} 피 : 비 [π_{0} 피 / ㅏ] \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \pi_0\: p : A \end{array} \qquad \begin{array}{l} \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \pi_1\: p : B[\pi_0\: p / a] \end{array}$

이 후자의 표현은 쌍, 즉, $\eta$ 를 쉽게 얻을 수있게한다 . $(\pi_0 p , \pi_1 p) == p$ 쌍에 대해 $p$ (여기서 ==는 정의 등식을 나타냄) 확률면에서이 차이는 중요하지 않습니다. 직관적으로, 분할을 사용하거나 다른 방식으로 투영을 구현할 수 있습니다.

이제 $\Pi$ 유형은 일반적으로 부정적입니다 (그리고 논란의 여지가 있습니다).

\begin{array}{l} Γ ⊢ 에프 : Π ㅏ : ㅏ . 비 \\ Γ ⊢ 에스 : ㅏ \\ Γ ⊢ 에프 에스 : 비 [에스 / ㅏ] \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma \vdash f : \Pi a : A. B \\ \Gamma \vdash s : A \\ \hline \\ \Gamma \vdash f s : B[s / a] \end{array}$

어떤 우리를 제공 $\eta$ 기능 : $\lambda x. f x == f$ 입니다.

그러나 Hank는이 메일에서 funsplit 제거기를 리콜합니다 (ML 유형 이론 프로그래밍, [http://www.cse.chalmers.se/research/group/logic/book/], p.56). 논리 프레임 워크에서 다음에 의해 설명됩니다.

\begin{array}{l} f \in Π (A, B) \\ C (v) S e t [v \in Π (A, B)] \\ d (y) \in C (λ (y)) [y (x) \in B (x) [x \in A]] \\ f u n s p l i t (f, d) \in C (f) \end{array}

$\begin{array}{l} f \in \Pi(A, B) \\ C(v)\: Set [v \in \Pi(A, B)] \\ d(y) \in C(\lambda(y)) [y(x) \in B(x) [x \in A]] \\ \hline \\ \mathrm{funsplit}(f, d) \in C(f) \end{array}$

흥미롭게도, Nordstrom et al. "[이것] 대체 비정규 형태는 구조적 유도의 원리에 기초하고있다"고 말함으로써이 정의에 동기를 부여한다. 이 문장에는 긍정적 인 냄새가납니다. 함수는 생성자 의해 '정의됩니다' . $\lambda$

그러나 나는 자연 공제 (또는 더 나은 순차적 미적분학)에서 그 규칙을 만족스럽게 표현할 수는 없습니다. 를 소개하기 위해 논리적 프레임 워크를 사용하는 것은 여기서 중요하다. $y$

그래서되는 funsplit 의 긍정적 인 표현 -types? 우리는 (종속적이지 않은) 순차적 미적분학에도 비슷한 것이 있습니까? 어떤 모습일까요? $\Pi$

현장의 이론가들에게 얼마나 흔한가?

— 페달
소스

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제거하여 기능성의 표현 가장 확실히 형 이론 대부분의 치료에서 통상 발생하지 않다. 그러나 나는이 형태가 실제로 기능적 유형의 제거에 대한 "긍정적 인"표현이라고 믿는다. 여기서 문제는 더 높은 순서의 패턴 일치 양식이 필요하다는 것입니다 (예 : Dale Miller 참조) . $\mathrm{funsplit}$

나에게보다 분명한 방식으로 규칙을 재구성 할 수있게 해주십시오.

\begin{array}{l} Γ ⊢ f : Π x : A . B \\ Γ, z : Π x : A . B ⊢ C : S e t \\ Γ, [x : A] F (x) : B ⊢ e : C {λ x : A . F (x) / z} \\ m a t c h f w i t h λ x : A . F (x) \Rightarrow e : C {f / z} \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma\vdash f : \Pi x:A. B \\ \Gamma, z:\Pi x:A. B\vdash C : Set\\ \Gamma, [x:A]F(x):B\vdash e : C\{\lambda x:A.F(x)/z\}\\ \hline \\ \mathrm{match}\ f\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow e : C\{f/z\} \end{array}$

여기서 는 문맥 에서 유형 의 메타 변수 입니다 . $F$ $B$ $x:A$

다시 쓰기 규칙은 다음과 같습니다.

m a t c h λ x : A . t w i t h λ x : A . F (x) \Rightarrow e \to e {t {u / x} / F (u)}

$\mathrm{match}\ \lambda x:A.t\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow e\quad \rightarrow\quad e\{t\{u/x\}/F(u)\}$

이를 통해 애플리케이션을 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.

a p p (t, u) = m a t c h t w i t h λ x : A . F (x) \Rightarrow F (u)

$\mathrm{app}(t,u)=\mathrm{match}\ t\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow F(u)$

이를 위해서는 "논리적 프레임 워크 스타일"유형 시스템이 유효해야한다는 사실 외에도, 고차 통합의 번거 로움 (및 제한된 요구)으로 인해이 공식이 인기를 끌지 못합니다.

그러나 긍정적 / 부정적 차이가 문헌에 존재하는 곳이있다 : 논리적 관계 술어 의 공식화 . 단항의 경우 가능한 두 가지 정의는 다음과 같습니다.

[[Π x : A . B]] = {t ∣ \forall u \in [[A]], t u \in [[B]]_{x \mapsto u}}

$[\![\Pi x:A.B]\!] = \{t\mid \forall u\in [\![ A]\!], tu \in[\![B]\!]_{x\mapsto u} \}$

과

[[Π x : A . B]] = {t ∣ t \to^{*} λ x . t^{'}, \forall u \in [[A]], t^{'} {u / x} \in [[B]]_{x \mapsto u}}

$[\![\Pi x:A.B]\!] = \{t\mid t\rightarrow^* \lambda x.t', \forall u\in[\![A]\!], t'\{u/x\}\in[\![B]\!]_{x\mapsto u}\}$

두 번째 버전은 덜 일반적이지만 Dowek 및 Werner 에서 찾을 수 있습니다 .

— 코디
소스

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이것은 논리 프레임 워크에서 널리 사용되는 고차원 추상 구문과 관련이있는 것 같습니다. 특히, 여기서

는 메타 함수 인 것 같습니다.

F

$F$

— 일

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Fredrik의 답변에 대한 약간 다른 관점이 있습니다. 일반적으로 유형의 즉석 교회 인코딩은 관련 법을 만족하지만 법을 만족 시키지는 않습니다 . $\beta$ $\eta$

따라서 이는 다음과 같이 종속 쌍을 정의 할 수 있음을 의미합니다.

이제 참고 쉽게 정의 할 수있다 :

\exists 엑스 : 엑스 . 와이 [엑스] ≜ \forall α : ※ . (Π 엑스 : 엑스 . 와이 [엑스] \to α) \to α

$\exists x:X.\;Y[x] \triangleq \forall \alpha:\ast.\; (\Pi x:X.\;Y[x] \to \alpha) \to \alpha$

π_{1}

$\pi_1$

그러나 두 번째 투영

정의 할 수 없습니다

π_{1} : \exists 엑스 : 엑스 . 와이 [엑스] \to 엑스 ≜ λ 피 : (\exists 엑스 : 엑스 . 와이 [엑스]) . 피 엑스 (λ 엑스 와이 . 엑스)

$\pi_1 : \exists x:X.\;Y[x] \to X \triangleq \lambda p:(\exists x:X.\;Y[x]).\;p\;X\;(\lambda x\;y.x)$

-시도해보십시오! 약한 제거기를 정의 할 수 있기 때문에 필자는 필연적으로 작성했습니다.

π_{2} : Π p : (\exists x : X . Y [x]) . Y [π_{1} p]

$\pi_2 : \Pi p:(\exists x:X.\;Y[x]).\; Y[\pi_1\;p]$

$\pi_2$

결과 미적분학의 관점에서, 약한 제거기는 다음과 같은 규칙을 갖습니다.

\frac{Γ, 엑스 : 엑스, 와이 : 와이 [엑스], Γ^{'} ⊢ {이자형}^{'} : 씨}{Γ, 피 : \exists 엑스 : 엑스 . 와이 [엑스], Γ^{'} ⊢ 엘 이자형 티 (엑스, 와이) = 피 나는 엔 {이자형}^{'} : 씨}

$\frac{\Gamma, x:X, y:Y[x],\; \Gamma' \vdash e' : C} {\Gamma, p:\exists x:X.\,Y[x],\; \Gamma' \vdash \mathsf{let}(x,y)=p\;\mathsf{in}\;e' : C}$

p

$p$

Γ^{'}

$\Gamma'$

C

$C$

\frac{Γ, 엑스 : 엑스, 와이 : 와이 [엑스], [(엑스, 와이) / 피] Γ^{'} ⊢ {이자형}^{'} : [(엑스, 와이) / 피] 씨}{Γ, 피 : \exists 엑스 : 엑스 . 와이 [엑스], Γ^{'} ⊢ 엘 이자형 티 (엑스, 와이) = 피 나는 엔 {이자형}^{'} : 씨}

$\frac{\Gamma, x:X, y:Y[x],\; [(x,y)/p]\Gamma' \vdash e' : [(x,y)/p]C} {\Gamma, p:\exists x:X.\,Y[x],\; \Gamma' \vdash \mathsf{let}(x,y)=p\;\mathsf{in}\;e' : C}$

— 닐 크리슈나 스와미
소스

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나는이 모든 답변을 정말로 즐기고 있습니다! 나는 에타의 실제 문제인 프레드릭의 대답에 암시적인 "내성 검사 (introspection)"(용어에 가치가 있다는 것을 알 수있는 능력)라는 개념이 있다고 생각한다.

— 코디

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Richard Garner는 Martin-Löf (APAL 160 (2009)) 형식 이론의 종속 제품의 강점에 대한 적용 vs funsplit에 대한 훌륭한 기사를 작성 했으며 funsplit 규칙의 상위 순서 특성에 대해서도 설명합니다. Peter Schroeder-Heister 's 자연 공제의 자연 확장 (JSL 49 (1984))).

$\Pi$

\frac{미디엄 : Π (ㅏ, 비)}{η (미디엄) : {나는 디}_{Π (ㅏ, 비)} (미디엄, λ 엑스 . 미디엄 \cdot 엑스)} (Π -소품- η)

$\frac{m : \Pi(A,B)}{\eta(m) : \mathsf{Id}_{\Pi(A,B)}(m, \lambda x . m\cdot x)} \qquad (\Pi\text{-Prop-$\eta$)}$

\frac{엑스 : ㅏ ⊢ 에프 (엑스) : 비 (엑스)}{η (λ (에프)) = 아르 자형 이자형 에프 엘 (λ (에프)) : {나는 디}_{Π (ㅏ, 비)} (λ (에프), λ (에프))} (Π -소품- η -Comp)

$\frac{x : A \vdash f(x) : B(x)}{\eta(\lambda(f)) = \mathsf{refl}(\lambda(f)) : \mathsf{Id}_{\Pi(A,B)}(\lambda(f), \lambda (f))} \qquad (\Pi\text{-Prop-$\eta$-Comp)}$

$\eta$ $(\Pi\text{-Prop-$\eta$-Comp})$

$\Sigma$ $\mathsf{split}$

$\eta(m) := \mathsf{refl}(m)$ $\eta$ $\eta$ $\eta$ $\Sigma$

— 프레드릭 노드 발 포스 버그
소스