평균보다 훨씬 더 많은 절에 변수 쌍이 표시되지 않는 3CNF 수식의 경우에도 Gap-3SAT NP가 완전합니까?

이 질문에서 3CNF 공식은 각 절이 정확히 세 개의 고유 한 변수를 포함하는 CNF 공식을 의미 합니다. 상수 0의 경우 < 의 <1, 갭 - 3SAT _의는 다음과 같은 약속의 문제이다 :

갭 - 3SAT _의
인스턴스 , • 3CNF 공식 φ.
그렇습니다 약속 : φ는 만족합니다.
약속 없음 : 진실 할당 은 φ 조항 의 일부 이상을 만족하지 않습니다 .

유명한 PCP 정리 [AS98, ALMSS98를] 상태로 등가 방법 중 하나는 상수가 존재한다는 것이다 0 < S <1 갭 - 3SAT되도록 _들 NP-완료된다.

우리는 모든 고유 한 변수 쌍이 최대 B 절에 나타나면 3CNF 공식이 B 단위로 묶여 있다고 말합니다 . 예를 들어, 3CNF 공식 ( x ₁ ∨ x ₂ ∨ x ₄ ) ∧ (￢x ₁ ∨￢x ₃ ∨ x ₄ ) ∧ ( x ₁ ∨ x ₃ ∨￢x ₅ )은 쌍으로 묶여 있지만 쌍으로 묶지 않습니다 1 예를 들어 쌍 ( x ₁ , x ₄ )이 둘 이상의 절에 나타나기 때문에 -bounded .

질문 . 수행 상수 존재 B ∈ℕ, > 0 및 0 < S <1 갭 - 3SAT되도록 _들 NP 완전에도 페어 인 3CNF 식입니다 B는 -bounded 적어도 구성 ² 절, N 변수의 개수는 얼마입니까?

쌍으로 묶인 경계는 O ( n ² ) 절만 있음을 분명히 나타냅니다 . 절 수에 대한 2 차 하한과 함께 평균보다 현저히 더 많은 절에 고유 변수 쌍이 나타나지 않는다고 대략적으로 말합니다.

갭 - 3SAT 들어, 알려져있다 성긴 경우가 어렵다 : 상수 존재 0 < S <1 갭 - 3SAT되도록 _들 에도 각 변수는 정확히 5 회 [Fei98]를 발생 3CNF 수식 위해 NP-완료된다. 한편, 조밀 한 경우에는 용이 : 맥스 3SAT는 Ω (함께 3CNF 수식하는 학부모 교사 인정 N ³ ) 별개의 절 [AKK99, 따라서 갭 - 3SAT _의 모든 정수 0 P이 경우는 < s <1. 질문은이 두 경우의 중간에 대해 묻습니다.

상기 질문은 원래 양자 계산 복잡성,보다 구체적으로 얽힌 프로 버 ( MIP ^* (2,1) 시스템)를 갖는 2- 프로 버 1- 원 대화 형 증명 시스템에 대한 연구에서 발생했다 . 그러나 그 질문은 그 자체로 흥미로울 수 있다고 생각합니다.

참고 문헌

[AKK99] Sanjeev Arora, David Karger 및 Marek Karpinski. NP- 하드 문제의 조밀 한 인스턴스에 대한 다항식 시간 근사 방식. 컴퓨터 및 시스템 과학 저널 , 58 (1) : 193–210, 1999 년 2 월. http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1998.1605

[ALMSS98] Sanjeev Arora, Carsten Lund, Rajeev Motwani, Madhu Sudan 및 Mario Szegedy. 증명 검증 및 근사 문제의 경도. ACM의 전표 , 45 (3) : 501–555, 1998 년 5 월. http://doi.acm.org/10.1145/278298.278306

[AS98] Sanjeev Arora 및 Shmuel Safra. 확률 적 증거 검증 : NP의 새로운 특성. ACM 저널 , 45 (1) : 70–122, 1998 년 1 월. http://doi.acm.org/10.1145/273865.273901

[Fei98] Uriel Feige. 세트 커버를 근사화하기위한 임계 값 ln n ACM 저널 , 45 (4) : 634–652, 1998 년 7 월. http://doi.acm.org/10.1145/285055.285059

cc.complexity-theory sat approximation-hardness

— 이토 츠요시
소스

@ 츠요시 :

과

사이의 다른 중간 경우에 대해 알려진 것이 없다고 가정해서 맞 습니까?

m = O (n)

$m = O(n)$

m = Ω (n^{3})

$m = \Omega(n^3)$

— András Salamon

@ András : 중간 사례에 대한 이전 결과는 알지 못하지만 다음 사례의 NP- 완전성에 대한 증거라고 생각합니다. (1) 페어 제한,

절이지만 간격이 없습니다. (2) 간격 이 있으면 임의의 상수 d <3에 대해

절이 반드시 짝을 이루는 것은 아닙니다. (3) 임의의 상수 d <2에 대해 갭 (pair)으로 제한되는

절. (1)의 증거는 [Fei98]의 간단한 축소입니다. (2)의 증거는 Ailon과 Alon 2007 의 결과의 일부를 사용합니다 . (3)의 증거는 확장기를 사용합니다.

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

Ω (n^{d})

$\Omega(n^d)$

Ω (n^{d})

$\Omega(n^d)$

— 이토 츠요시

@ 쓰요시 : 당신의 논문을 읽기를 기대합니다.

— András Salamon

당신은 건전성 필요한 경우 대답을하지 마십시오하지만 방법은 m 조항의 임의의 3CNF이 문제를 보여주는 여기에 성공할 수 시켰음을 증명하는 경우에 내가 확인 할 것은 적어도 쉬운

7/8에 가까운 수 있습니다. 이 이상의 일단이 작품의 성공

절 반 임의 모델로 확장되었습니다 (부드럽게 3CNF을 반박에 Feige FOCS 07 참조). 그러나 Tsuyoshi는

의 경우조차도 여전히 NP-hard이므로이 작업이 관련이 없음을 보여줍니다.

s

$s$

n^{1.5}

$n^{1.5}$

n^{1.9}

$n^{1.9}$

— 보아스 바락

Boaz는 모든 변수를

사본으로 교체 한 다음 모든 절을

절로 교체하여 원래 절의 각 변수를 가능한 모든 방법으로 사본 으로 대체하여 항상 3SAT의 인스턴스를 "밀도 화"할 수 있습니다 . 이를 통해 이전과 동일한 절의 절을 만족할 수 있지만 n 개의 변수 및 m 절에서 nM 변수 및

절로 이동하므로 발생 횟수에 대한 추가 제한없이

변수와

절이 있는 수식에서도 건전성

M

$M$

M^{3}

$M^3$

m M^{3}

$mM^3$

7 / 8 + ϵ

$7/8 + \epsilon$

N

$N$

N^{2.999}

$N^{2.999}$

— 루카 Trevisan

완전한 대답은 아니지만 희망적으로 닫습니다. 이것은 위의 Luca의 의견과 매우 유사합니다. I 대답 적어도 존재 상수가 수행 할 것으로 판단 B ∈ℕ, > 0, 0 < S <1 갭 - 3SAT되도록 _들 NP 완전에도 페어 와이즈 인 3CNF 식입니다 B는 -bounded 및 구성 적어도 임의의 상수를 들면, 절 . $an^{2-\epsilon}$ $\epsilon$

증거는 다음과 같습니다. 간격-3SAT 고려 인스턴스 에 변수에있는 대부분의 5 시간에 각 변수가 나타납니다. 질문에서 말한 것처럼 이것은 NP 완료입니다. $_s$ $\phi$ $N$

이제 다음과 같이 새 인스턴스 를 만듭니다 . $\Phi$

모든 변수가 에 , 갖는 변수 . $x_i$ $\phi$ $\Phi$ $n$ $y_{ij}$
각 인덱스의 세트 , 및 와 , 절 한 쌍의 보유 , 및 . 그들이 그 확인 이후 비교 조항 이러한 참조 것 하면 그들이 만족하고 있습니다. $i$ $a$ $b$ $a\neq b$ $\Phi$ $y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{ib}$ $y_{ib}∨￢y_{ia}∨￢y_{ia}$ $y_{ia} = y_{ib}$
모든 절 들어 변수에 작용하는 , 및 모든 위해 및 , 등가 절 포함 로 대체 , 로 대체 및 는 로 대체됩니다 (여기서 추가는 모듈로 ). 이를 상속 된 절이라고합니다. $\phi$ $x_i$ $x_j$ $x_k$ $a$ $b$ $\Phi$ $x_i$ $y_{ia}$ $x_j$ $y_{jb}$ $x_k$ $y_{k(a+b)}$ $n$

변수의 총 개수는 입니다. 참고 에는 비교 항목과 $m = nN$ $\Phi$ $2Nn^2$ 상속 된 조항, 총 $\frac{5}{3}Nn^2$ 절. 촬영우리가및 조항의 총 개수 $\frac{11}{3}Nn^2$ $n = N^k$ $m = N^{k+1}$ . 우리는 받아이므로. $C = \frac{11}{3}N^{2k+1} = \frac{11}{3}m^{2-\frac{1}{k+1}}$ $k = \epsilon^{-1} - 1$ $C \propto m^{2-\epsilon}$

다음으로, 는 쌍으로 8- 한계 (비교 절에서 최대 2 개, 상속 된 절에서 최대 6 개)입니다. $\Phi$

마지막으로, 가 만족스럽지 않으면, 적어도 절이 만족되지 않는다. 지금, 만일 임의위한 그 다음 적어도 절을 만족한다. 고정 대해 상속 된 절 세트에서 충족되지 않은 절 을 충족시키기 위해 변수 , $\phi$ $(1-s)N$ $y_{ia} \neq y_{ib}$ $a,b$ $n-1$ $(1-s)N$ $a,b$ $y_{:a}$ 와 는 이상 달라야합니다 $y_{:b}$ $y_{:(a+b)}$ 위치,이상 $\frac{1-s}{5}N$ 비교 만족할 수없는 절. 이것은와의 모든 선택에 대해 유지되어야하므로 적어도 $\frac{1-s}{5}N(n-1)$ $a$ $b$ 비교 절은 충분한 상속 된 절이 충족되도록 전체적으로 만족스럽지 않은 상태로 남아 있어야합니다. 그러나 모든 비교 절이 만족되는 다른 극단을 보면 $\approx \frac{1-s}{5}Nn^2 = \frac{3(1-s)}{11}C$ 절이 만족스럽지 않습니다. 따라서로 갭이 유지됩니다 (감소하더라도) $(1-s)Nn^2 = (1-s)m^{\frac{2k+1}{k+1}} = (1-s)C$ . $s' = \frac{4+s}{5}$

상수는 이중으로 점검해야합니다.

— 조 피츠 시몬스
소스

고마워요, 조 이것이 명확하지 않은 경우 죄송하지만이 질문에서 각 절의 세 변수가 모두 고유해야하므로 작성되는 비교 절을 사용할 수 없습니다. 익스팬더 그래프를 사용하는 동일한 사실 (갭이있는 Ω (n ^ (2−ε)) 절)에 대한 증거가 있지만 익스팬더를 사용하지 않고 증명할 수 있다면 매우 관심이 있습니다.

— 이토 쓰요시

y_{i a} \lor ￢ y_{i b} \lor ￢ y_{i (a + b)}

$y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$

y_{i a} \lor ￢ y_{i b} \lor y_{i (a + b)}

$y_{ia}∨￢y_{ib}∨y_{i(a+b)}$

￢ y_{i a} \lor y_{i b} \lor ￢ y_{i (a + b)}

$￢y_{ia}∨y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$

￢ y_{i a} \lor y_{i b} \lor y_{i (a + b)}

$￢y_{ia}∨y_{ib}∨y_{i(a+b)}$

ϵ

$\epsilon$

k = k (n)

$k = k(n)$

자세한 내용은 나중에 자세히 살펴볼 것이지만 a, b 및 (a + b)를 사용하는 아이디어는 효과가있는 것 같습니다. 이것은 확장기를 명시 적으로 다루지 못하게해야합니다. 감사!

— 이토 쓰요시

문제 없어. 도움이 될 수있어서 다행입니다.

— Joe Fitzsimons