타입 공간의 로그 또는 루트 연산은 무엇입니까?

나는 최근 에 계산의 두 가지 이중성 : 부정 및 분수 유형을 읽고있었습니다 . 용지의 종류 의미 부여 합계 유형 및 제품 유형 확장 a - b과 a/b.

덧셈과 곱셈과는 달리 지수, 대수 및 루팅에 대한 역수는 1이 아니라 2가됩니다. 함수 타입 (a → b)이 타입 이론 지수 인 경우, 타입 a → b(또는 b^a)이 타입 logb(c)또는 타입을 갖는 것은 무엇을 의미 a√c합니까?

대수와 근을 유형으로 확장하는 것이 합리적입니까?

그렇다면이 분야에 어떤 연구가 있었으며 그 영향을 이해하는 방법에 대한 좋은 지침은 무엇입니까?

Curry-Howard 서신이 도움이 될 수 있기를 바라면서 논리를 통해 이것에 대한 정보를 찾으려고했지만 아무 소용이 없습니다.

— 이프 리
소스

답변:

A 형 기본에 로그가 의 정확히을 할 때 . 즉, 는 의해 주어진 위치에서 요소 의 컨테이너로 볼 수 있습니다 . 실제로, 를 얻기 위해 를 어떤 전력 올려야 하는지를 묻는 문제입니다 . $C$ $X$ $P$ $C \cong P\to X$ $C$ $X$ $P$ $P$ $X$ $C$

이 작동하도록 합리적 여기서 의미 대수 존재마다 펑,이고 $\mathop{log}F$ $F$ . 경우 $\mathop{log}\!_X(F\:X)$ 이면 확실히 $F\:X\cong \mathop{log}F\to X$ 이므로 컨테이너는 요소 이외의 흥미로운 점을 알려줍니다. 모양을 선택한 컨테이너에는 로그가 없습니다. $F\:1\cong 1$

위치 집합 측면에서 생각할 때 익숙한 대수 법칙

\begin{array}{rcll} 엘 영형 지 (케이 1) & = & 0 & 빈 용기에 위치가 없음 \\ 엘 영형 지 나는 & = & 1 & 하나, 하나의 위치에 대한 컨테이너 \\ 엘 영형 지 (에프 \times 지) & = & 엘 영형 지 에프 + 엘 영형 지 지 & 용기 쌍, 위치 선택 \\ 엘 영형 지 (에프 \cdot 지) & = & 엘 영형 지 에프 \times 엘 영형 지 지 & 컨테이너 컨테이너, 위치 쌍 \end{array}

$\begin{array}{rcl@{\qquad}l} \mathop{log} (\mathop{K}1) &=& 0 & \mbox{no positions in empty container}\\ \mathop{log} I &=& 1 & \mbox{container for one, one position}\\ \mathop{log} (F\times G) &=& \mathop{log}F+\mathop{log}G & \mbox{pair of containers, choice of positions} \\ \mathop{log} (F\cdot G) &=& \mathop{log}F\times\mathop{log}G & \mbox{container of containers, pair of positions} \end{array}$

우리는 또한 얻는다 여기서 $\mathop{log}\!_X(\nu Y. T) = \mu Z. \mathop{log}\!_X T$ 바인더 아래의즉,일부 코 데이터의 각 요소에대한경로는 로그를 반복하여 유도 적으로 정의됩니다. 예 : $Z=\mathop{log}\!_XY$

l o g S t r e a m = l o g_{X} (ν Y . X \times Y) = μ Z . 1 + Z = N a t

$\mathop{log}\mathop{Stream} = \mathop{log}\!_X(\nu Y. X\times Y) = \mu Z. 1 + Z = \mathop{Nat}$

미분은 우리에게 one-hole 문맥으로 유형을 알려주고 로그는 우리에게 위치를 알려주므로, 우리는 연결을 기대해야합니다.

F 1 ≅ 1 \Rightarrow l o g F ≅ \partial F 1

$F\:1\cong 1 \;\Rightarrow\; \mathop{log}F\cong \partial F\:1$

모양을 선택할 수없는 경우 위치는 요소가 문지르는 원홀 컨텍스트와 동일합니다. 더 일반적으로, 항상해당 모양 내의 요소 위치와 함께 모양의 선택을 나타냅니다. $\partial F\:1$ $F$

나는 뿌리에 대해 덜 말할 것이지만, 비슷한 정의에서 시작하여 코를 따를 수 있습니다. 유형의 로그를 더 많이 사용하려면 Ralf Hinze의 "메모 기능, 다항식!"을 확인하십시오. 실행해야합니다 ...

— 돼지 세공인
소스

Da Man 자신의 대답. 코너에 오신 것을 환영합니다!

— Andrej Bauer

흠, 나는 루트 유형이 무엇인지 알고 싶습니다. 왜냐하면 그들은 가상의 주민 수를 가진 유형이 필요하기 때문입니다. 내가 틀리지 않으면 나는 당신의 대답을 받아 들일 것이지만, 당신이 뿌리에 대해 자세히 설명 할 시간이 있다면 대단히 감사하겠습니다.

— efrey 2014 년

이것이 어떻게 Taylor 시리즈 ln (1 + x)와 관련이있을 수 있습니까?

— yatima2975

대수와 지수를 사용하면 Napier 객체를 어떻게 구성해야 합니까? (가정으로의 객체 예 e등이 ∂e = e)

— Rhymoid

나는이 라인을 추구하는 어떤 작업에 대해서도 모른다. 그러나 잠시 동안이 가설에 이르게되었다. 지수 유형의 "루트"가 단지 공동 도메인이 아니라 지수의 "로그"가되지는 않을 것이다. 도메인 만?

— 마크 하만
소스

그렇습니다. 직감은 좋지만 결론은 잘못되었습니다. 루트 연산과 로그 연산은 (co) 도메인 자체가 아니라 코 도메인이나 도메인을 각각 "반전"할 때 얻는 것입니다. 문제는 우리가 반전이란 무엇을 의미하며 그것이 생성하는 이진 타입 연산은 무엇입니까?

— efrey

x^{y}

$x^y$

y

$y$

x

$x$

x

$x$

y

$y$

죄송합니다. 용어가 완전히 명확하지 않았습니다. "루트는 무엇이고, 로그 함수를 적용한 결과는 무엇입니까?"라는 질문은 아닙니다. 응원 수술이 무엇인지 궁금합니다. 대수를 찾는 작업은 무엇입니까? 경우 →expenentiation이며, 어떤 루트 작업 아래의 두 가지 유형입니다. 대수 연산에서 두 가지 유형이 있습니다. "논쟁을 뒤집다"라는 말은 여기서 설명 할 시간이없는 것입니다. 감사합니다.

— efrey

내가 링크 한 논문은 유형 a - b과 유형에 대한 의미를 제공합니다 a / b. 나는 연산 로그와 루트를 줄이는 결과에 관심이 없지만 이진 유형 연산자로서의 의미를 이해합니다.

— efrey