증명

Razborov 의 연설 에서 호기심 많은 작은 진술이 게시됩니다.

FACTORING이 어렵다면, 에서 Fermat의 작은 정리는 증명할 수 없습니다 $S_{2}^{1}$.

란 무엇 $S_{2}^{1}$이며 왜 현재 증명이 $S_{2}^{1}$ 없는가?

$S^1_2$ , 크게 유도 스키마 제한함으로써 얻어지는 약 공리 이론이다 제한된 연산의 이론아노 산술. 이논문은 Sam Buss가 그의논문에서 정의한 이론 중 하나이며, 다른 일반적인 참고 문헌에는 Hájek의 V 장과 Pudlák의1 차 산술의메타 수학, Krajíček의“경계 산술, 명제 논리 및 복잡성 이론”,핸드북의 버스 제 2 장이 포함됩니다.증명 이론, Cook and Nguyen의증명 복잡성에 대한 논리적 기초.

$S^1_2$

Fermat Little Theorem의 모든 알려진 증거는 지수 크기의 객체를 사용하거나, 경계 세트의 크기를 정확하게 계산하는 데 의존합니다 (예를 들어, Toda의 정리로 인해 다항식 계층 구조에서 경계 수식으로 정의 할 수 없음).

$S^1_2$$S^1_2$$S^1_2$$a$$p$$p$$k$$a^k\equiv1\pmod p$ .

이것이 FLT의 결과라는 것은 사실이지만 실제로는 FLT보다 훨씬 약한 진술입니다. 특히,이 진술은 약한 비둘기 구멍 원리를 따르며, 이는 경계 산술의 하위 시스템에서 입증 될 수있는 것으로 알려져 있습니다 ( 보다 강하지 만 ). 따라서, 크라이첵과 Pudlák의 인수 쇼는 인수 분해가 용이하지 않는 약한 비둘기 집 원리를 증명하지 않으며, 그러한 조건부 분리 제공으로 바운딩 산술 계층 구조의 다른 수준에서를 말할 .$S^1_2$$S^1_2$$S^1_2$$T^2_2$

대조적으로, 실제 FLT는 풀 바운드 산술 에서 증명할 수없는 것처럼 보이지만 이것은 암호화와 관련이 없습니다. 내 논문 Abelian 그룹과 이차 잔류 물에서 약한 산술로 관련 토론을 찾을 수 있습니다 .$S_2=T_2$