효율적인 정확성과 효율성 증명없이 건설적으로 효율적인 알고리즘

효율적인 알고리즘 (다항식 시간) 의 자연스러운 예를 찾고 있습니다.

정확성과 효율성은 건설적으로 입증 될 수 있지만 (예 : 또는 ) $PRA$ $HA$
효율적인 개념만을 사용한 증거는 알려져 있지 않습니다 (즉, 우리는 또는 에서 정확성과 효율성을 입증하는 방법을 모릅니다 ). $TV^0$ $S^1_2$

인공적인 예를 직접 만들 수 있습니다. 그러나 나는 흥미로운 자연 사례, 즉 자신을 위해 연구 된 알고리즘을 원합니다.이 유형의 질문에 대답하기 위해 만들어지지 않았습니다.

— 카베
소스

아마도 알고리즘이 쉬운 오토마타 이론의 어떤 것이지만 그것이 작동한다는 것을 보여주기 위해서는 어떤 것의 모든 부분 집합을 고려해야합니까?

— Andrej Bauer

다항식 시간 우선 성 검사는 어떻습니까? 그 증거는

안에

어려울 정도로 복잡 할 것 같습니다 .

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Andrej Bauer

@Neel, 실제로 Emil의 논문 " 약한 비둘기 구멍 원리와 무작위 계산 "은 확률 알고리즘 공식화에 관한 것입니다. 이들 중 일부를 공식화하는 데 필요한 주요 공리는

또는

일부가 아닌 대략적인 계수 인 것으로 보입니다 . 나는

과

결정 론적 폴리 타임 사례를 고수하는 것이 더 간단하다고 생각합니다 .

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Kaveh

추신 : 알고리즘의 정확성 / 효율성이 이러한 이론에서 입증 가능하지 않다는 것을 증명할 수 있거나 적어도 이론에서 실현 불가능하다고 생각되는 진술과 동등하다는 것이 더 흥미로울 것입니다. 그러나 그것을 요구하는 것은 아마도 우리가 현재 알고있는 것과 너무 많은 것입니다.

— Kaveh

@Neel, 사건의 정확한 확률을 알 필요가 없으므로 일반적으로 확률을 특정 유리수와 비교하기 만하면되기 때문에 대부분의 관련 확률은 1 차 시스템에서 수행 할 수 있습니다.

— François G. Dorais

답변:

이것은 Andrej의 대답과 동일하지만 자세한 내용이 있습니다.

Krajicek와 Pudlak [ LNCS 960, 1995, pp. 210-220 ]은 가 표준 모델에서 소수를 정의 하는 속성이고 $P(x)$ $\Sigma^b_1$

S_{2}^{1} ⊢ \neg P (x) \to (\exists y_{1}, y_{2}) (1 < y_{1}, y_{2} < x \land x = y_{1} y_{2})

$S^1_2 \vdash \lnot P(x) \to (\exists y_1,y_2)(1 < y_1, y_2 < x \land x = y_1y_2)$ 다항식 시간 인수 분해 알고리즘이 있습니다. 기본 테스트를위한 NP 알고리즘이 기본적으로 그러한

공식을 생성하기 때문에 이것은 많은 예를 제공합니다 . 특히, AKS 원시성 테스트는 이러한 공식을 제공합니다 (

언어로 적절하게 캐스트 될 때 ). 크라이 젝 (Krajicek)과 푸들 락 (Pudlak)의 논문은 이런 종류의 암호화 관련 예제를 더 많이 제공하지만 AKS와 관련 발전을 몇 년 앞선 것입니다.

Σ_{1}^{b}

$\Sigma^b_1$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— 프랑수아 G. 도레
소스

이 예는 Kaveh가 요구하는 것보다 계층 구조가 약간 낮지 만 정수 분할 및 Hesse, Allender 및 Barrington의 반복 곱셈에 대한 균일 한 알고리즘 의 건전성 이 해당하는 것으로 증명 될 수 있는지 여부는 공개적인 문제입니다 이론 . $\mathrm{TC}^0$ $\mathit{VTC}^0$

논쟁은 매우 초등 적이며 에서 공식화하는 데 문제가 없어야 하지만 과 관련하여 닭과 계란 문제가 있습니다 기능을 많이 사용합니다. 계산 기능은 알고리즘에 의해 제공됩니다. $\mathit{TV}^0$ $\mathit{VTC}^0$ $\mathrm{TC}^0$

$\left(\frac an\right)$

$p$ $\left(\frac ap\right)=1$ $a$ $p$

$S^1_2$

다항식에 대한 비 환원성 테스트 및 인수 분해 알고리즘 (주로 유한 필드 및 합리적)에 대한 또 다른 클래스 예가 제공됩니다. 이것들은 페르마의 작은 정리 또는 그 일반화 (다른 것들 중에서)에 항상 의존하기 때문에, 적절한 산술 이론에서 공식화 할 수없는 것으로 알려져있다. 일반적으로 이러한 알고리즘은 랜덤 화되지만 결정 론적 다항식 시간 예의 경우 Rabin의 비 환원성 테스트 또는 Tonelli–Shanks 제곱근 알고리즘 (입력의 일부로 2 차 비 잔류가 필요하도록 공식화 됨)을 취할 수 있습니다 .

— Emil Jeřábek은 Monica를 지원합니다
소스

AKS 소수 판별법은 위키 백과 믿을 수 있다면 좋은 후보처럼 보인다.

그러나 그러한 예를 찾기가 어려울 것으로 예상됩니다. 기존의 증명은 분명히 경계 산술에서 수행되지 않도록 표현 될 것이지만, 다소 노력을 기울이면 경계 산술에 "적응 가능"할 것입니다 (보통 더 많음).

— 안드레이 바우어
소스

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

이 잔뜩 더 많은 예제를 제공 크라이첵과 Pudlak에 의해 훌륭한 논문은 다음과 같습니다 karlin.mff.cuni.cz/~krajicek/j-crypto.ps

— 프랑수아 G. Dorais

@ François, 왜 답변을 게시하지 않습니까? :)

— Kaveh

그래서, 나는 운이 좋은 초기 추측을하는 데 가장 높은 지지율을 얻는 반면, 다른 사람들은 실제로 무슨 일이 일어나고 있는지 알고 있습니다. 수학은 MTV와 같습니다.

— Andrej Bauer