로그 순위 추측 사용이 실제보다 순위가 높은 이유는 무엇입니까?

통신 복잡성에서 로그 순위 추측은

c c (M) = (\log r k (M))^{O (1)}

$cc(M) = (\log rk(M))^{O(1)}$

여기서 은 의 통신 복잡도 이고 은 실수에 대한 (행렬) 의 순위입니다 . $cc(M)$ $M(x,y)$ $rk(M)$ $M$

그러나 계급 방법을 사용하여 하한 을 사용 하는 경우 편리한 모든 필드에서 를 사용할 수 있습니다 . 왜 로그 랭크 추측이 실수보다 rk로 제한됩니까? 0이 아닌 특성의 필드 에서 에 대한 추측이 해결 됩니까? 그렇지 않다면 관심이 있거나 에 대해 에 대해 특별한 것이 있습니까? $cc(M)$ $rk$ $rk$ $rk$ $\mathbb{R}$

— 아르 템 카즈 나체 예프
소스

BTW

을 이진수로 제한해야한다고 생각합니다 . 그렇지 않으면 사소한 반례를 만들 수 있습니다.

M

$M$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov

이

이 아닌 경우 사소한 반례로 무엇을 의미 합니까?

M

$M$

0 / 1

$0/1$

— T ....

예를 들어, 문제는 "내 번호를 추측합니다", 즉 Alice는

숫자가 있고 Bob은이 숫자 를 출력해야합니다. 통신 복잡성은

이지만 매트릭스의 순위는

입니다.

{1, \dots, N}

$\{1, \ldots, N\}$

\log N

$\log N$

1

$1$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov 내 번호를 정확하게 추측 할 수 있습니까? 특성 매트릭스를 시각화 할 수 없습니다. Alice는

를 가지고 Bob은

가지고 , 함수

는 무엇인가?

x

$x$

y

$y$

f (x, y)

$f(x,y)$

랭크

정의?

M

$M$

1

$1$

— T ....

함수는

여기서

와

는

비트 벡터입니다. 통신 복잡성의 정의가

의 값을 전적으로 프로토콜 사본 (Kushilevitz-Nisan의 정의)에 의해 결정해야하는 경우 복잡도는

입니다.

f (x, y) = x

$f(x, y) = x$

x

$x$

y

$y$

n

$n$

f

$f$

n

$n$

— Sasho Nikolov

추측은 이상으로 실패합니다 . 봐 , 및 . 통신 복잡성은 지만의 랭크 이상의 인 내적의 선형성에 의해,. $\mathbb{F}_2$ $M(x, y) = \langle x, y \rangle \bmod 2$ $x, y \in \{0, 1\}^n$ $\Omega(n)$ $M$ $\mathbb{F}_2$ $n$

— 사쇼 니콜 로프
소스