그래프의 평균 거리 계산의 복잡성

하자 연결된 그래프의 평균 거리를$\rm{ad}(G)$$G.$

계산하기위한 하나의 방법 의 요소이다 합하여 의 거리 행렬 적절 합을 스케일링.$\rm{ad}(G)$$D(G),$$G$

출력 그래프가 트리 인 경우 평균 거리를 선형 시간으로 계산할 수있는 것으로 알려져 있습니다 (B.Mohar, T.Pisanski-그래프의 위너 인덱스 계산 방법 참조). 트리 너비가 제한된 그래프에 대해서도 빠른 알고리즘이있는 것으로 보입니다.

따라서 흥미로운 질문은 를 아는 것이 도움이되는지다시 말해$D(G).$

2 차 시간 내에 를 계산할 수 있습니까?$\rm{ad}(G)$

내가 알고 싶은 것은 이것이 불가능한 이유에 대한 이론적 인 하한이 있는지 여부입니다.

edge 및 꼭짓점이 있는 그래프에서도 상수 대해 시간에 ad (G)를 계산 하면 강력한 지수 시간 가설 (SETH)이 있음을 의미합니다. )가 잘못되었습니다. SETH는 Impagliazzo, Paturi 및 Zane'01에 의해 정의되었으며 변수 에 대한 CNF-SAT 에는 시간 알고리즘이 없음을 나타냅니다.$O(n^{2-\delta})$$\delta>0$$\tilde{O}(n)$$n$$n$$O(2^{(1-\varepsilon)n})$

이것을 증명하기 위해, 최근에 우리는 (이차 그래프의 지름과 반경에 대한 빠른 근사 알고리즘, Liam Roditty, V. Vassilevska Williams. STOC'13.)에서 증명했습니다. 시간이면 SETH가 false입니다. 증명은 CNF-SAT의 축소를 통해 이루어집니다. 동일한 감소를 사용하여 이차 시간에 ad (G)를 계산하면 감소의 그래프에서 평균 거리가 (여기서 및 이므로 SETH가 거짓임을 나타냅니다. CNF-SAT 인스턴스가 만족스럽지 않고 만족스러운 할당이있는 경우보다 많으면 축소 인스턴스의 노드 및 에지 수입니다.$2-M/{N\choose 2}$$N$$M$