시험관 문제 (SAT 결정 인스턴스 / 응답의 균일 생성)

코스의 조교는 어려운 시험 문제를 (결정 론적으로) 생성하는 프로그램을 작성했습니다. 이제 해당 답변을 생성하는 프로그램을 작성하려고합니다. 심사관의 문제는 이것이 항상 가능 여부를 묻습니다 심사관의 추측은 가정, 그 상태, , 그것은 것입니다 하지 : 문제와 함께 오는 자신의 해결책을 오는 것보다 쉽습니다.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

보다 공식적으로 은 입력 에서 크기 의 부울 공식을 다항식 시간으로 생성 하는 결정적인 튜링 머신이라고 하자 . 이러한 모든 에 대해 입력 에서 이 만족스러운 할당과 " 이면 " "을 출력 하는 결정적 다항식 시간 튜링 기계 이 있는지 알고 싶습니다. 그렇지 않으면 "$M$$1^n$$n$$M$$M'$$1^n$$1$$M(1^n)$$0$

라고 가정하면 이 질문에 이미 질문했거나 답변 했습니까? 대답하지 않으면 어떤 종류의 추가 가정 ( 예 : 단방향 함수?)이 결과에 영향을 줄 수 있습니까? 위의 내용을 제외하고, "추론"은 "답변"TM이 항상 존재하지는 않지만 직감은 무엇입니까?$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

감사!

당신이 묻는 질문은 단항 NP = 단항 P와 동등하며, 이는 패딩에 의해 NE = E와 같습니다.

제목에서, 아마도 입력에 대한 분포가 "하드"가되도록 입력 / 출력 쌍을 생성 할 수 있는지 물어볼 수 있습니다. 이를 수행 할 수있는 가능성은 P NP와 단방향 함수 사이에 있습니다.$\ne$

제한된 계산 모델에서는 이것이 가능하다는 것이 알려져 있습니다. 예를 들어 AC 이하 의 패리티 또는 다수 함수에 대한 입력 / 출력 쌍을 생성 할 수 있습니다. 분포의 복잡성을 참조하십시오 .$^0$

질문 : 수식을 생성하십시오. 합니까 속하며 ? { M ( 1 n ) ∣ n ∈ N ∧ M ( 1 n ) ∈ S A T } $M\in \mathsf{PF}$$\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$$\mathsf{P}$

$succinctSAT \in \mathsf{E} \implies$ 예 :

부터 다항식 시간으로 공식 생성에 대한 가정은 공식을 간결하게 제공 할 수 있음을 의미합니다 . 시간에 만족도를 결정하려고합니다 .$1^n$$n^{O(1)}$

주어진 에서 다항식 시간에서 을 찾을 수 있습니다. . 그런 다음 는 과 사용하여 비트로 간결하게 표시 할 수 있습니다 . 의 알고리즘을 사용 하여 시간에이를 결정할 수 있습니다.$\varphi = M(1^n)$$n$$|\varphi|$$\varphi$$\lg n+O(1)$$M$$n$$succintSAT$$\mathsf{E}$$2^{O(\lg n)} = n^{O(1)}$

예 :$\implies succinctSAT \in \mathsf{E}$

하자 ST는 주어진 회로 에서 단항 , 간결하여 인코딩 된 문자열 계산 그것이 수식하고 있다면, 반환 결과 그렇지.$M \in \mathsf{PF}$$C$$M$$C$$\bot$

한다고 가정 에 속한다 . 를 풀기 위해 주어진 간결한 공식을 단항으로 쓴 다음 가정을 사용하여 해결합니다.$\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$$\mathsf{P}$$succinctSAT$

질문 : 인스턴스가 단단하도록 대해 다항식 인스턴스 인스턴스 솔루션 쌍으로 생성 할 수 있습니까 ?$SAT$

인스턴스는 항상 예라고 말하는 알고리즘이나 항상 아니오라고하는 알고리즘으로 해결할 수 있으므로 인스턴스 자체가 (이론적으로) 쉽지 않기 때문에 인스턴스가 어렵다는 것이 의미하는 바를 명확히해야합니다. 균일 성을 부여 하여이 문제를 해결하려고 한 것 같습니다. 공격자에게 공개되지 않은 일부 정보없이 암호화 용어로 생각하면 공격자가 프로토콜을 시뮬레이션 할 수 있으므로 나머지 계산을 숨길 필요가 없습니다.

인스턴스 솔루션 쌍을 생성하는 다항식 시간 알고리즘이 있다고 가정하십시오. 대적은 알고 있다면 답을 찾기 위해 동일한 알고리즘을 사용하여 과 발견 공식에서 어려운 일이 아니다. 보다 합리적인 방법은 무작위로 선택된 비밀 키를 사용하여이 문제를 해결하고 경도 조건을 확률 적으로 완화하는 것입니다. 다항식 시간 알고리즘은 비밀 키를 몰라도 높은 확률로 솔루션을 찾을 수 없습니다.$n$$n$

거기 효율적인 (결정적) 알고리즘 같은 주어진 무작위로 선택된 , 포화 인스턴스 쌍 생성 그 대답 되도록 없이 효율적인 (확률 / 불균일) 대적 알고리즘 는 무시할 수없는 확률 로 에 의해 생성 된 SAT 인스턴스를 올바르게 풀 수 있습니까?$A$
$k \in \{0,1\}^n$
$\varphi_k$$w_k$
$D$
$A$

더 공식적으로

거기 되도록 모든 등이 모든 및 $A\in \mathsf{PF}$$D \in \mathsf{P/poly}$$SAT(A(k)_1) = A(k)_2$$k$

$$\mathsf{Pr}_{k \in \{0,1\}^n} \{ D(A(k)_1) = SAT(A(K)_1) \} < \frac{1}{poly(n)}$$

에서 를 쉽게 찾을 수있는 것처럼 그러한 함수가 단방향 함수로 바뀔 수 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러면 계산하여 답을 찾을 수 있습니다 .φ k A ( k ) $k$$\varphi_k$$A(k)_2$

반면에 는 일방 함수입니다. 는 다항식 시간으로 계산할 수 있기 때문에 를 다항식 회로로 표현할 수 있습니다 (그리고 모든 게이트에 새로운 변수를 도입하고 계산의 정확성을위한 조건을 국부적으로 적용하여 공식으로 바꿀 수 있습니다) Tsien의 번역에서와 같이). 를 매개 변수로 고려 하고 결과 수식을 로 표시 . 를 만족 하는 가 있는지 물어볼 수 있습니다 . 무시할 수없는 확률로 이러한 인스턴스를 해결하는 다항식 시간 알고리즘 은 일방 함수f ( x ) = y f y φ f , y ( x ) x φ f , y ( x ) S A T f $f$$f(x)=y$$f$$y$$\varphi_{f,y}(x)$$x$$\varphi_{f,y}(x)$$SAT$$f$. 그러나 이것은 적이 공식을 만족시킬 수 있는지 여부뿐만 아니라 증인을 찾아야한다는 사실을 사용합니다 (그러나 우리는 의 하드 비트를 사용 하여이 문제를 해결할 수 있다고 생각합니다 ).$f$

증거 복잡성 생성기 에 대한 Jan Krajicek의 저서 "무작위 변수로 강제 실행", 2011 년 29 장 및 30 장을 참조하십시오 .