평등 대신 양성 테스트

Alice와 Bob은 n 비트 문자열을 가지고 있으며 통신이 거의없는 동안 동일한 지 확인하려고합니다. 표준 무작위 솔루션은 n 비트 문자열을 차수 다항식으로 취급 한 다음 보다 큰 필드에서 무작위로 선택된 몇 가지 요소에 대해 다항식을 평가하는 것 입니다. 이 걸립니다 통신을. $n$ $n$ $O(\log |F|)$

대신에 문자열에 대한 사전 식 순서를 고치고 어떤 문자열이 "더 큰"인지 결정하려고한다고 가정하자. 이는 문자열이 다른 가장 왼쪽 비트를 찾는 것과 같다.

이 작업을 수행하기 위해 비슷한 임의의 프로토콜이 있거나 알려진 하한이 있습니까? 이것은 다항식의 양성 테스트와 관련이있는 것 같습니다.

사전 식 순서가 가장 눈에 띄는 것 같다 동안 PS, I는 다른 순서 부와 벌금을 해요 : 내가 관심이 목적을 위해, 우리 모두의 필요가 어떤 순서.

communication-complexity property-testing

— 수레 쉬 벤 카트
소스

표준 무작위 솔루션이 비트의 임의의 선형 조합을 선택하고 결과 패리티를 전송하는 것으로 생각했습니다 .O 통신 만 필요 합니까?

O (1)

$O(1)$

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow 나는 그것이 무작위의 본질에 달려 있다고 생각합니다-공공 또는 민간. 언급 한 프로토콜은 공개 임의성을 사용합니다.

— Sasho Nikolov

비교를 위해 결정 론적 복잡성이 이므로 사소한 프로토콜이 최적 이라고 언급 할 가치가 있습니다. 이것은 결정 론적 / 정확한 솔루션과 무작위 솔루션 사이에 기하 급수적 인 격차를 제공하여 (적어도 의사 소통 복잡성에서) 무작위성이 실제로 도움이 될 수 있음을 보여줍니다.

n + 1

$n+1$

— András Salamon

음 ... 네 오답을주지 않는 알고리즘에 필요한 통신량은 얼마이며, 모든 입력 쌍에 대해 최대 1/2 확률로 해당 입력 쌍에 MAYBE를 제공합니까?

$\:$

아마는 것을 언급 할 가치가

보다 큰 통신 - 원형의 복잡도가

특정 예로는 선형이고

, 참조 arxiv.org/abs/cs/0309033 . 그것은 좋은 종이입니다 :)

k

$k$

Ω (n^{1 / k} k^{- 2})

$\Omega(n^{1/k}k^{-2})$

k = 1

$k=1$

— Marc Bury

답변:

이것은 통신 복잡성에서 더 큰 문제로 알려져 있습니다. 통신 복잡성이 인 알고리즘이 존재합니다 (Nisan-Kushilevitz 도서의 운동 3.18). $O(\log n)$

편집 : 알고리즘은 Nisan으로 인한 것입니다 (10 페이지) : http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.57.6891&rep=rep1&type=pdf

그것은 @Sasho Nikolov가 제안한 접근법을 사용합니다 --- 비교를 위해 일정한 오류로 동등성 테스트를 사용하여 이진 검색을 실행합니다. 이는 Feige, Peleg, Raghavan 및 Upfal의 "잡음 이진 검색 알고리즘"을 사용하여 쿼리를 사용하여 수행 할 수 있습니다 . http://cs.brown.edu/~eli/papers/SICOMP23FRPU.pdf $O(\log n)$

(명시 적이 지 않은) 개인 무작위성 프로토콜을 얻으려면 Newman의 결과를 적용 할 수 있습니다 : http://pdf.aminer.org/000/933/113/private_vs_common_random_bits_in_communication_complexity.pdf

— Grigory Yaroslavtsev
소스

\log n

$\log n$

O (1)

$O(1)$

O (\log n \log \log n)

$O(\log n \log \log n)$

O (1 / \log n)

$O(1 / \log n)$

O (\log \log n)

$O(\log \log n)$

@SashoNikolov 좋아, 나는 이것과 같은 것이 "잡음 이진 검색"으로 사용될 수 있다고 생각한다. 이것은 등분

— Grigory Yaroslavtsev

진실. 나는 각 비교가 작은 일정한 확률로 잘못된 결과를 줄 수있는 이진 검색을 의미했습니다. 나는이 논문이 필요한 결과를 제공한다고 생각한다. dl.acm.org/citation.cfm?id=100230

— Sasho Nikolov

토론을 답변으로 옮겼습니다.

— Grigory Yaroslavtsev

더하기의 통신 복잡성을 참조하십시오 .

$O(\log n)$

— 마누
소스