회로 하한에 대한 참조

전문

인터랙티브 증거 시스템과 Arthur-Merlin 프로토콜은 1985 년 에 Goldwasser, Micali 및 Rackoff 및 Babai에 의해 도입되었습니다 . 처음에는 전자가 후자보다 강력하다고 생각되었지만 Goldwasser와 Sipser 는 동일한 전력을 가지고 있음을 보여주었습니다. 언어 인식과 관련하여). 따라서이 글에서는 두 가지 개념을 서로 바꿔서 사용할 것입니다.

$IP[k]$ 를 $k$ 라운드로 대화 형 증명 시스템을 인정하는 언어의 클래스 라고 합시다 . Babai는 임을 증명했습니다 $IP[O(1)] \subseteq \Pi_2^P$. (상대적인 결과.)

처음에는 끝없는 라운드 수가 IP의 힘을 증가시킬 수 있는지 여부는 알 수 없었습니다. 특히, 모순 된 상대성 이론 화가있는 것으로 나타났습니다 : Fortnow와 Sipser 는 일부 Oracle 경우 보유하고 있음을 보여주었습니다 . (따라서, 상대적 , IP [폴리] 의 수퍼 아니다 PH ).$A$$coNP^A \not\subset IP[poly]^A$$A$$IP[poly]$$PH$

한편, 다음 논문은 :

Aiello, W., Goldwasser, S., and Hastad, J. 1986. On the power of interaction. In Proceedings of the 27th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (October 27 - 29, 1986). SFCS. IEEE Computer Society, Washington, DC, 368-379. DOI= http://dx.doi.org/10.1109/SFCS.1986.36

일부 오라클 $B$ 경우 $IP[poly]^B \not\subset PH^B$ 있습니다. (따라서 위에서 언급 한 것처럼 $IP[poly]^B \neq IP[O(1)]^B$ 는 후자가 \ Pi_2 ^ {P, B} 의 서브 클래스입니다 $\Pi_2^{P,B}$.

질문

Aiello, Goldwaseer 및 Hastad (위에 인용)의 논문은 다음과 같이 말합니다.

사용 된 기술은 [FSS], [Y] 및 [H1]에 사용 된 작은 깊이 회로에서 하한을 증명하기위한 기술의 확장입니다.

여기서 [FSS], [Y] 및 [H1]은 다음과 같습니다.

[FSS] Furst M., Saxe J. and Sipser M., "Parity, Circuits, and the Polynomial Time Hierarchy," Proceedings 22nd Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 1981, 260-270.

[Y] Yao A. "Separating the Polynomial-Time Hierarchy by Oracles," Proceedings of 6th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 1985, 1-10.

[H1] Hastad J. "Almost optimal lower bounds for small depth circuits," Proceedings of 18th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 1986, 6-20.

나는 그 논문이 매우 오래되었고 따르기가 매우 어렵다는 것을 알았다. 나는 Arora & Barak의 책 14 장을 읽었 지만 분명히 필요한 모든 것을 다루지는 않습니다.

"회로 하한"에 대한 어떤 언급을 제안합니까?

(특히 설문 조사와 같은 참조가 필요합니다. 더 새롭고 많은 전문 지식이 필요하지 않은 것이 더 바람직합니다.)

당신이 원하는 것은 PARITY 함수를 계산하는 회로에 대한 지수 하한을 이해하기위한 좋은 참조 입니다.$AC^0$

지금 당신은 당신이 실제로 증거를 이해하고 싶거나 설문 조사 기사가 설명하는 방식으로 사물을 높은 수준으로 이해하고 있는지 언급하지 않았습니다.

내가 최근에 읽고 좋아하는 설문 조사 기사는 Boppana와 Sipser의 " 유한 함수의 복잡성 "입니다.

실제로 앉아서 증거를 이해하려면 스위칭 인용법 ([FSS], [Y] 및 [H1]에 인용 된 논문에 표시됨) 또는 Razborov-Smolensky를 기반으로 증거를 읽을 수 있습니다. 증명.

스위칭 레마를 사용하는 증거를 위해 Håstad 's Ph.D. 이 분야에 익숙하지 않은 경우 따라하기 어려운 논문은 잘 읽습니다. Allan Heydon의 "회로 복잡성 소개 및 Håstad의 증명에 대한 안내"에서 증명을 더 잘 설명합니다. 그것의 유일한 문제는 온라인에서 찾을 수 없으며 하드 카피가 있다는 것입니다. 회로 복잡성에 익숙하지 않다면 정말 좋습니다.

Razborov-Smolensky 접근 방식의 경우 Google을 사용하면 강의 노트를 얻을 수 있습니다. 나는 Sanjeev Arora , Madhu Sudan 및 Kristo ff er Arnsfelt Hansen의 세 강의 노트에서 하한을 이해했다 .

Hastad의 논문에서 Switching Lemma의 설명을 따르기가 어렵다면 Paul Beame의 ``A Switching Lemma Primer '' 를 사용해보십시오 .Razborov (결정 트리를 명시 적으로 사용합니다. 스위칭 Lemma의 일부 애플리케이션에서)

이 책은 액세스 할 수있는 경우 하한을 설명하는 데 유용합니다.

Heribert Vollmer의 회로 복잡성 소개 .

방금 읽었으며 "소개"는 회로 복잡성에 대한 매우 심층적 인 치료법입니다. 3 장의 회로 하한을 증명하기위한 모든 (가장 인기있는) 기술을 자세히 설명합니다.

보다 최근의 참조는 Stasys Jukna의 Boolean Function Complexity 입니다. 초안의 pdf를 얻으려면 전자 메일을 보내거나 양식을 작성하면됩니다.

오래되었지만 여전히 좋은 참고 문헌은 Boppana와 Sipser 의 유한 함수의 복잡성 설문 조사 입니다. 이 설문 조사는 다른 출처에 비해 매우 읽기 쉽습니다.

또 다른 좋은 참고 자료는 Clote와 Kranakis의 Boolean Functions and Computation Models 입니다.

나는 전문가는 아니지만 청서 ( http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Functions/ ) 에 흥미로운 정보가있을 것입니다 .

1997 년 Allender의 논문도 있습니다 : 새 천년이 오기 전의 회로 복잡성

에마누엘레 비올라는 서적 한계에 대한 많은 결과를 포함하는 " 작은 깊이의 힘에 관한 책"을 출판했습니다 .

이 책의 예비 버전은 여기 에서 찾을 수 있습니다 .