기하 복잡성 이론에 대한 Wikipedia 스타일의 설명

전문가가 아닌 사람이 이해할 수있는 Mulmuley의 GCT 접근법에 대한 간결한 설명을 제공 할 수 있습니까? 주제에 대한 Wikipedia 페이지 에 적합한 설명 (현재 스텁).

동기 부여 : 저는 모의 이론에서 연구원 인 내 친구와 함께 Democritus 이후 Scott Aaronson의 저서 Quantum Computing을 "동독"하고 있습니다. 이 책의 서문에서 Aaronson은 GCT를 "컴퓨터 과학의 문자열 이론"이라고 부릅니다. 끈 이론가 인 내 친구는이 주장에 흥분하고 GCT가 무엇인지 물었다. 그 시점에서 나는 그의 질문에 대한 Wikipedia-ready 답변이 없다는 것을 부끄럽게 깨달았습니다.

cc.complexity-theory gct

— 알레산드로 코센 티노
소스

아마도 대답은 하나를 만드는 것입니다 :). 또는 적어도 시작하십시오.

— Suresh Venkat

스텁을 만드십시오-모든 것을 직접 쓸 필요는 없습니다 :).

— Suresh Venkat

@Kaveh : 물론 두 필드 사이에는 직접적인 관계가 없습니다! 실제로 Scott은 어떤 의미에서 GCT가 TCS의 문자열 이론인지를 설명합니다 (이는 이론 물리학 및 컴퓨터 과학 분야의 사람들이 완전히 다른 질문에 대한 접근법을 각각 어떻게 인식하는지에 대한 메타 인수입니다). 나는 내 질문을 일으킨 원인을 설명하기 위해 이야기를보고했지만 두 필드가 관련되어 있다는 것을 의미하지는 않았습니다.

— Alessandro Cosentino 2016 년

관련 질문 : Mulmuley의 GCT 프로그램

— Kaveh

또한 볼 이 보여주기 위해 Mulmuley-Sohoni GCT 접근 방식을 사용하는 방법 어려운 알려진 복잡성 분리를? 그리고 하 한계를 생성하기위한 Mulmuley-Sohoni 기하학적 접근은 어떻게 Razborov-Rudich 의미에서 자연적 증거의 생성을 피합니까? 과 자연 증명에 Constructivity과 기하학적 복잡성

— vzn

답변:

위키 백과 기사 (다른 기사가 다른 수준의 전문 지식을 목표로하는 것으로 보임) 나 정확히 무엇을 찾고 있는지 확실하지 않습니다. 여기에 시도가 있지만 피드백에 열려 있습니다.

기하학적 복잡성 이론은 복잡성 의 고유 한 대칭과 연구중인 함수의 추가 대칭을 활용하여 컴퓨팅 함수 (예 : 다항식) 의 계산 복잡성 을 연구 할 것을 제안합니다 .

이전의 많은 접근 방식과 마찬가지로 궁극적 인 목표는 함수 를 입력으로 취하는 다항식 가 있음을 보여줌으로써 두 개의 복잡성 클래스 를 분리하는 것입니다 (예 : 그 계수의 벡터에 의해)하도록 모든 기능을 소멸 그러나 몇몇 기능에 증발하지 않는 . $\mathcal{C}_{easy}, \mathcal{C}_{hard}$ $p$ $f$ $p$ $f \in \mathcal{C}_{easy}$ $g_{hard} \in \mathcal{C}_{hard}$

첫 번째 핵심 아이디어 (cf. [GCT1, GCT2])는 대칭을 사용하여 함수 자체를 구성하는 것이 아니라 위의 와 같은 다항식에 의해 캡처 된 이러한 함수 의 ( 대수 기하학 ) 속성 을 구성하는 것 입니다. 이것은 그러한 를 찾기 위해 표현 이론 을 사용할 수있게한다 . 표현 이론과 대수 기하학과 관련된 비슷한 아이디어는 이전에 대수 기하학에서 사용되었지만 내 지식으로는 결코 이런 식으로 결코 사용되지 않았습니다. $p$ $p$

두 번째 핵심 아이디어 (참조. [GCT6])는 결과 표현 이론 문제에 대한 조합 (및 다항식 시간) 알고리즘을 찾은 다음 이러한 알고리즘을 역 엔지니어링하여 이러한 가 존재 함 을 보여줍니다 . 이것은 선형 프로그래밍 (알고리즘)을 사용하여 순수한 조합 문을 증명 하는 정신에서 취할 수 있습니다 . $p$

실제로, [GCT6]은 위의 표현 이론 문제를 정수 프로그래밍 문제로 줄이고, 결과 IP가 LP 완화에 의해 해결됨을 보여주고, 최종 LP에 대한 조합 알고리즘을 제공 한다고 제안한다 . [GCT6]의 추측은 Littlewood-Richardson 계수에 대한 역 엔지니어링 알려진 결과, 표현 이론에서 유사하지만 쉬운 문제로 스스로 동기를 부여합니다. LR 계수의 경우 Littlewood-Richardson 조합 규칙 이 먼저 적용되었습니다. 나중에 Berenstein과 Zelevinsky [BZ]와 Knutson과 Tao [KT] (친숙한 개요는 [KT2] 참조)는 LR 계수에 대한 IP를 제공했습니다. Knutson과 Tao는 포화 추측을 증명했으며, 이는 IP가 LP 완화에 의해 해결됨을 의미합니다 ([GCT3, BI] 참조).

[GCT5]의 결과는 Noether 's Normalization Lemma 를 명시 적으로 비 랜더 마이징 하는 것이 다항식 아이덴티티 테스트 의 블랙 박스 Derandomization의 복잡성 이론에서 악명 높은 공개 문제와 본질적으로 동일하다는 것을 보여준다. 이것이 더 큰 프로그램에 들어가는 방법은 대략 (이 경우 결정자가 완전한 클래스 )에서 사라지지 않는 함수 대한 명시 적 근거를 찾는 것입니다. 대수 기하학의 다른 설정에서 발생했듯이 표현 이론에서 원하는 문제에 대한 조합 규칙을 도출하는 데 사용됩니다. 여기서 중간 단계 는 정규화에서 사라지지 않는 대한 기초를 찾는 것 입니다. $p$ $\mathcal{C}_{easy}$ $p$ $\mathcal{C}_{easy}$ 는 건설적으로 더 좋은 대수적 다양성입니다. 다시 말해서 DET에 대한 Noether의 정규화 렘마를 무작정 화합니다.

복잡성과 기능의 대칭의 예

예를 들어, 함수 의 복잡성-대부분의 복잡한 복잡성 개념에 대해 변수 순열하면 변경되지 않습니다 일부 순열 . 따라서 순열은 복잡성 자체의 대칭입니다. 대수 회로 복잡도와 같은 복잡성 개념의 경우 변수의 모든 비가역 선형 변화는 대칭입니다. $f(x_1, \dotsc, x_n)$ $f(x_{\pi(1)}, \dotsc, x_{\pi(n)})$ $\pi$

개별 기능에는 추가 대칭이있을 수 있습니다. 예를 들어, 결정 대칭성 갖는다 모든 행렬들에 대한 되도록 . (이것에 관해 내가 조금이라도 알아 낸 것으로부터, 이것은 물리학에서 자발적인 대칭 파괴 현상과 유사하다는 것을 모은다 .) $\det(X)$ $\det(AXB) = \det(X^{T}) = \det(X)$ $A,B$ $\det(AB) = 1$

일부 최근 진행 상황 [이 섹션은 확실히 불완전하고 기술적 인 부분이지만 완전한 계정에는 수십 페이지가 필요합니다 .... 최근 진행 상황을 강조하고 싶었습니다.]

Burgisser와 Ikenmeyer [BI2]는 0에서 0이 아닌 다중 도로 표현을 사용하는 한 GCT 프로그램에 따라 행렬 곱셈 에서 하한을 나타 냈습니다 . Landsberg and Ottaviani [LO]는 대수 속성을 구성하는 표현 이론을 사용하여 표현 곱셈이나 조합 규칙을 사용하지 않고 표현 곱셈의 경계 순위에서 본질적으로 의 가장 낮은 하한값 을 나타 냈습니다. $\frac{3}{2}n^2$ $2n^2$

Littlewood-Richardson 계수 이후의 다음 문제는 Kronecker 계수 입니다. 이것들은 결국 GCT에서 발생하는 표현 이론 문제에 도달 할 것으로 의심되는 일련의 문제와 매트릭스 곱셈 및 영구 대 결정에 대한 GCT 접근법의 다중성에 대한 경계로 더 직접적으로 나타난다. 크로네 커 계수에 대한 조합 규칙을 찾는 것은 표현 이론에서 오랫동안 열린 문제입니다. Blasiak [B]는 최근에 하나의 고리 모양의 크로네 커 계수에 대한 조합 규칙을 제시했습니다.

Kumar [K]는 라틴 정사각형 열 (참조 : Huang-Rota 및 Alon-Tarsi 참조)을 가정하여 0이 아닌 다중 도로 결정자의 좌표 링에 특정 표현이 나타나는 것으로 나타났습니다. ]). 따라서 이러한 표현은 0 대 0이 아닌 다중도에 기초하여 결정자와 영구자를 분리하는 데 사용될 수 없지만, 다중도 사이의보다 일반적인 불평등에 의해 영구적과 결정자를 분리하는 데 여전히 사용될 수 있습니다.

참고 문헌 [B] J. Blasiak. 하나의 고리 모양에 대한 크로네 커 계수. arXiv : 1209.2018, 2012.

[BI] P. Burgisser와 C. Ikenmeyer. Littlewood-Richardson 계수의 양성을위한 최대 흐름 알고리즘. FPSAC 2009.

[BI2] P. Burgisser와 C. Ikenmeyer. 기하 복잡도 이론을 통한 명시 적 하위 경계. arXiv : 1210.8368, 2012.

[BZ] AD 베렌 슈타인과 AV 젤 레빈 스키. 및 인접 표현의 외부 대수 스펙트럼에 대한 3 중 다중도 . $\mathfrak{sl}(r+1)$ J. 대수 조합. 1 (1992), no. 1, 7–22.

[GCT1] KD Mulmuley 및 M. Sohoni. 기하 복잡성 이론 I : P 대 NP에 대한 접근 및 관련 문제. SIAM J. Comput. 31 (2), 496–526, 2001.

[GCT2] KD Mulmuley 및 M. Sohoni. 기하 복잡성 이론 II : 계급 간 임베딩에 대한 명백한 장애물을 향하여. SIAM J. Comput., 38 (3), 1175-1206, 2008.

[GCT3] KD Mulmuley, H. Narayanan 및 M. Sohoni. 기하 복잡성 이론 III : Littlewood-Richardson 계수의 비 소멸 결정. J. 대수 조합. 36 (2012), no. 1, 103 ~ 110 쪽.

[GCT5] KD 멀 물리. 기하 복잡성 이론 V : 다항식 아이덴티티 테스트의 블랙 박스 디 랜더 마이 제이션과 Noether의 정규화 Lemma의 디 랜덤 화 사이의 동등성. FOCS 2012, 또한 arXiv : 1209.5993.

[GCT6] KD 멀 물리. 기하 복잡도 이론 VI : 양성을 통한 뒤집기. , 2011 년 1 월 시카고 대학교 컴퓨터 공학부 기술 보고서.

[K] S. Kumar. 결정 요인의 궤도 폐쇄에 의해 뒷받침되는 표현에 대한 연구. arXiv : 1109.5996, 2011.

[LO] JM Landsberg와 G. Ottaviani. 행렬 곱셈의 경계 순위에 대한 새로운 하한. arXiv : 1112.6007, 2011.

[KT] A. Knutson과 T. Tao. 텐서 제품 의 벌집 모델 . 포화 추측의 증거. $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ 제이 아 메르 수학. Soc. 12 (1999), no. 4, 1055–1090.

[KT2] A. Knutson 및 T. Tao. 넓어짐과 은자 행렬의 합. 공지 사항 Amer. 수학. Soc. 48 (2001), no. 2, 175–186.

— 조슈아 그로 호프
소스

Wikipedia에 적합한 수준에 대한 첫 문장을 다시 작성하십시오. 짧은 대답은 가능한 한 간단하지만 더 간단하지는 않습니다. 특히 Wikipedia 기사의 시작 부분은 주제에 대한 해시를 만들지 않고 독자가 작성할 수있는만큼 광범위한 독자를 대상으로 작성해야합니다. 나중에 부품이 더 기술적으로 될 수 있습니다. 자세한 내용은 Wikipedia 지침 en.wikipedia.org/wiki/WP:TECHNICAL을 참조하십시오 (아마도 모든 기사가 이러한 목표를 달성하는 것은 아닙니다.)

— David Eppstein

좋은 아이디어는 en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory 와 비슷한 수준을 목표로 삼을 수 있습니다. 다소 부드럽게 시작하지만 훨씬 더 기술적 으로 발전합니다 .

— Mugizi Rwebangira

CS의 비전문가들이 이해할 수있는 설명을 찾고 있었는데, 다른 분야 (특히 물리학)의 과학자들입니다. 당신의 대답은이 필수 조건을 완벽하게 충족시킵니다. 감사!

— Alessandro Cosentino

Wikipedia 페이지에 추가하지 않겠습니까?

— saadtaame

나는 최근 Mathoverflow 관련 질문에 대한 답변을 https://mathoverflow.net/questions/277408/what-are-the-current-breakthroughs-of-geometric-complexity-theory

이 사이트는 아마도 더 좋은 장소 일 것이므로 아래의 대답을 간단히 반복하겠습니다. 요셉이나 디모데에 대한 언급은 그 MO 질문에 대한 다른 게시물에 관한 것입니다.

하자 일반 수 행렬 도 주어진 동차 다항식 결정자. 하자 되는 소요 서브 매트릭스를 영구적으로 유지하고 의 다른 동종 다항식을 만들기 위해 선호하는 선형 형식을 곱합니다 ( 대신 항목을 사용할 수도 있음 ). 이 수정을 패딩 이라고 합니다. 그런 다음 숫자를 정의하십시오 $X=(X_{ij})_{1\le i,j\le n}$ $n\times n$ $F_1(X)={\rm det}(X)$ $n$

F_{2} (X) = (X_{n n})^{n - m} \times p e r m [(X_{i j})_{1 \leq i, j \leq m}]

$F_2(X)=(X_{nn})^{n-m}\times {\rm perm}\left[(X_{ij})_{1\le i,j\le m}\right]$

m \times m

$m\times m$

n

$n$

X_{11}

$X_{11}$

X_{n n}

$X_{nn}$

c (m) = min {n | n \geq m a n d \bar{G \cdot F_{2}} \subset \bar{G \cdot F_{1}}}

$c(m)=\min\{\ n\ |\ n\ge m\ \ {\rm and}\ \ \overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}\ \}$ 여기서 되고 차원 아핀 공간에 작용하는 여기서 생명과 궤도 Zariski 폐쇄된다. 이 영역 또는 Valiant 's Hypothesis ( 의 복잡한 버전)에서 큰 추측은 이 다항식보다 빠르게 성장 한다는 것 입니다.

G

$G$

G L (n^{2})

$GL(n^2)$

n^{2}

$n^2$

X

$X$

\bar{G \cdot F_{i}}

$\overline{G\cdot F_i}$

P \neq N P

${\rm P}\neq{\rm NP}$

c (m)

$c(m)$

m

$m$

이제 인 경우 의심스러운 등가 변형 맵 이 궤도 폐쇄의 좌표 링의 부분 사이의 . 따라서 게임은 다중도 방해 의 존재 , 즉 다중성이 만족시키는 돌이킬 수없는 표현 의 존재를 증명함으로써 비해 불충분하게 크지 않다는 것을 보여 주려고한다. $\overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}$ $G$

C [\bar{G \cdot F_{1}}]_{d} ⟶ C [\bar{G \cdot F_{2}}]_{d}

$\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d\longrightarrow \mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d$

d

$d$

n

$n$

m

$m$

λ

$\lambda$

{m u l t}_{λ} (C [\bar{G \cdot F_{1}}]_{d}) < {m u l t}_{λ} (C [\bar{G \cdot F_{2}}]_{d})

${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)<{\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)$ 또는 이상 수준에서

{m u l t}_{λ} (I [\bar{G \cdot F_{1}}]_{d}) > {m u l t}_{λ} (I [\bar{G \cdot F_{2}}]_{d}) .

${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)>{\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_2}]_d)\ .$

낙관적 접근 방식은 발생 방해 가 있음을 표시하려고 시도하는 것입니다 . 즉, 는 및 . 이 희망은 디모데가 언급 한 뷔 르지 세르, 이켄 마이어, 파 노바의 연구에 박차를 가하고 있습니다. 그러나 다중성 방해의 가능성은 여전히 열려 있습니다. $\lambda$ ${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)=0$ ${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)>0$

Mulmuley의 접근 방식은 이러한 다중도의 계산을 위해 표현 이론에서 사용 가능한 모든 도구를 활용하여 이러한 다중성 장애물의 존재를 증명하는 것입니다. 개인적으로, 나는이 접근법의 팬이 아니었다. 19 세기의 불변 이론을 어느 정도 깊이 연구 한 결과, 그 시대의 명백한 도구를 사용하여 궤도 분리 문제에 접근하는 것이 더 자연스러운 것 같습니다. Gorchow의이 기사 도 비슷한 방향 을 가리키는 것 같습니다 (요셉이 언급 한 세 번째 기사가 같은 맥락에 있다고 생각합니다). 고전 언어 ( Turnbull 또는 Littlewood 참조 )에서는 사라지는 혼합 된 수반 자를 명시 적으로 구성 $F_1$ 에는 없습니다 . 또한 초 다항식 성장 속성을 확립하기 위해 이를 무한정 자주 수행해야한다 ( ). 이와 같은 수반은 돌이킬 수없는 표현 에 대한 선호 모델 에서 변수 의 다항 대수에 대한 특정 등변 량 맵 과 동일 합니다 (Grochow는 분리 모듈 이라고 부름 ). 19 세기의 불변의 이론가들은 그러한 대상을 생성하는 두 가지 방법, 즉 제거 이론과 도식 대 수법을 가졌다 . $F_2$ $m$ $G$ $\lambda$ $n^2$ $X$

과 가 의 동작에 따라 이진 형태 인 아주 좋은 예 ( 이 MO 질문 참조 )는 및 분리 수반 자 (여기서는 실제로 공변량)는 일반 이분법 의 Hessian입니다. 대해 (동일하게 ) 지만 대해서는 지지 않습니다. $F_1$ $F_2$ $G=SL(2)$

F_{1} (x, y) = x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + 16 y^{4}

$F_1(x,y)=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4$

F_{2} (x, y) = 16 x^{4} - 24 x^{3} y + 12 x^{2} y^{2} - 2 x y^{3} .

$F_2(x,y)=16x^4-24x^3y+12x^2y^2-2xy^3\ .$

F

$F$

H (F) (x, y) = \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}} - {(\frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y})}^{2} .

$H(F)(x,y)=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}-\left( \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y} \right)^2\ .$

x, y

$x,y$

F = F_{1}

$F=F_1$

F = F_{2}

$F=F_2$ . 이 경우, Hessian은 2 차 대칭의 아핀 공간을위한 좌표 링에 2 차 대칭 파워 (기본 2 차원 표현)에 의해 주어질 수없는 등변 량 맵 형태로 볼 수 있습니다.

따라서 GCT에 대해 가능한 초 최적 "계획"에는 다음 단계가 포함됩니다.

1) 많은 수의 동시 발생자를 생성하는 방법을 찾으십시오.

2) 에 대한 소멸 후보를 명시 하고 그 재산을 증명하십시오. $F_1$

3) 사라지지 않는다는 것을 보여 주십시오. $F_2$

1 단계) 원칙적 으로 에 대한 1 차 기본 정리 에 의해 해결 되지만 불일치가 있습니다. 결정자는 에 대한 불변 이론에서 자연적인 대상 (행에 작용 대신 열 . 하나의 불변 이론의 기본 빌딩 블록을 표현하여 불일치 복구를 시도 할 수있다 에 대한 하나의 관점에서 (볼 이 MO 질문에 유사한 감소 문제에 대한 발 에 ). $GL(n^2)$ $GL(n)\times GL(n)$ $GL(n^2)$ $GL(n^2)$ $GL(n)\times GL(n)$ $SL(n(n+1)/2)$ $SL(n)$

단계 2)에 적합한 후보자를 추측하는 것은 나에게 어렵다. 일부 다중성 가 0이 것을 미리 알고 분명히 도움이됩니다. 그럼에도 불구하고 단계 3)에 수반되는 부수적 인 소멸의 증거를 미루고 연기 할 수 있지만, 어쨌든 그보다 더 많은 것을 보여 주어야합니다. 그러한 올바른 후보자가 사라 사실을 보여 주면 파울리의 배제 원칙 (비대칭과의 대칭 비교), 높은 색채 수 속성 또는 단순히 '공간 부족'이라고 부를 수 있다는 주장으로 쉽게 수 있습니다. ${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)$ $F_1$

그러나 가장 어려운 부분은 3) 단계라고 생각합니다. 예를 들어, Ikenmeyer와 Royle 의 논문 "오타 비 아니의 3 차 3 변의 16,051 수식" 에서 추측은 컴퓨터 검색을 통해 이루어졌지만, 올바른 후보를 사용하면 에 대한 소멸 이 비교적 쉽게 설명 될 수 있습니다 그래프의 전역 적 특성으로 인해 색도의 예가 약간 클 수 있습니다. 우리 기사에서 3) 단계의 유사체는 무차별 컴퓨터 계산에 의해 이루어졌으며 우리는 왜 그것이 사실인지에 대한 단서가 없습니다. 단계 3)와 관련된 문제는 예증이다 알론 Tarsi - 추측 (볼 이 MO 질문 과 이것을 $F_1$ 너무). 제 생각에는 Valiant의 추측 전에 그러한 종류의 질문 ( 4 가지 색상 정리 는 Kauffman과 Bar-Natan으로 인한 축소를 통해이 유형입니다)에 진전을 가져야합니다.

문제는 GCT의 혁신에 관한 것입니다. 내 생각 이 문서 가 정확한 값에 대한 합리적인 추측 제안 이후 LANDSBERG 및 Ressayre하여도 약간의 관심을받을 권리가 있다 훨씬 더 간단한 문제에서 명시적인 "1 단계, 2), 3) 접근"에 대한 개념 증명 이이 기사 에서 Bürgisser와 Ikenmeyer에 의해 제공되었다는 점에 유의 하십시오 . 마지막으로, GCT에 대한 자세한 내용을 보려면 Landsberg의 "Geometric 복잡도 이론 : 지오 미터 소개"를 검토하는 것이 좋습니다 . $c(m)$

(\begin{matrix} 2 m \\ m \end{matrix}) - 1 .

$\left(\begin{array}{c}2m\\ m \end{array}\right)-1\ .$

추신 : 저는 비관론이 현장에서 '리만 가설 (Riemann Hypothesis)'인 Valiant Hypothesis에만 해당한다고 덧붙여 야합니다. 물론, 아기를 목욕물로 버리고 GCT를 거부해서는 안됩니다. 왜냐하면 지금까지이 추측을 증명하지 못했기 때문입니다. 이 영역에는 진보가 이루어지고 더 많은 진보가 예상되는 접근 가능한 문제가 많이 있습니다. 특히 Grochow의 위에 언급 된 기사와 Landsberg의 검토를 참조하십시오.

— 압델 말렉 압 세람
소스

-4

GCT는 복잡도 이론의 한계를 입증하기위한 연구 프로그램으로, 과도하게 추상화되어 위키피디아 스타일의 요약 / 요약을 무시하는 방식이지만 TCS 군중을위한 훌륭한 조사가 가능합니다. [2] [3] [4] (그리고 위키 백과는 위키 백과 항목에 가장 적합한 장소입니다). 그것은 Mulmuley에 의해 2000 년대 초에 공식화되었으며, TCS / 복잡성 이론에서 유래하지 않은 고급 수학 (대수 기하학)을 사용하고 적용하여 복잡성 이론에서 비교적 새롭고 매우 고급입니다.

이 접근법은 일부 기관에 의해 유망하지만 다른 당국에 의해 너무 복잡한 것으로 간주된다. 즉, 그것이 알려진 표준 "장벽"을 극복 할 수 있는지 여부는 입증되지 않았고 논쟁의 여지가있다. (이러한 의미에서 그것은 소위 Kuhnian "패러다임 전환"의 일부 징후를 보인다.) Mulmuley조차도 수십 년간의 추가 개발 후에 현실적으로 성공하지 못할 수도 있다고 제안했다. 복잡한 이론 분야의 권위자 인 Fortnow의 회의적인 의견은 다음과 같습니다. [1]

거대한 산을 고려하면 산 꼭대기에 도달하고 싶습니다. 케탄이 와서 산을 오르는 데 필요한 도구를 만드는 방법을 가르쳐 줄 것이라고 말했다. 한 달 동안 공부하는 데 어려움이 있으며 실제로 이러한 도구는 산을 오르기에 충분하지 않습니다. 그것들은 향상되어야하며 이러한 개선은 평생 일어나지 않을 것입니다. 그러나 다른 사람들이 지금부터 몇 세기 동안 어떻게 산을 올라갈 지 배우고 싶지 않습니까?

[1] P Fortnow 블로그 와 다른 NP를 증명하는 방법

[2] P 대 NP Regan에 대한 Mulmuley-Sohoni 접근 방식 이해

[3] P 대 NP 및 기하학적 복잡성 이론 멀 뮬리

[4] P 대 NP 문제 멀뮬 리에 대한 GCT 프로그램

— vzn
소스

또한 참조 기하학적 복잡성 이론을 : 대한 소개 기하학 JM LANDSBERG

— vzn