결정 요인과 행렬 곱셈-알고리즘 복잡성과 산술 회로 크기의 유사점과 차이점

행렬식과 행렬 곱셈의 알고리즘 복잡성과 회로 복잡성 사이의 관계를 이해하려고합니다.

은의 행렬식 것이 알려져 행렬 일 수 계산 에 의 시간, 최소 시간은 임의의 두 개의 곱 데 필요한 행렬. 행렬식의 최고의 회로 복잡도는 깊이 에서 다항식 이고 깊이 3에서는 지수임이 알려져 있습니다. 그러나 상수 깊이에 대한 행렬 곱셈의 회로 복잡도는 다항식입니다.$n\times n$$\tilde{O}(M(n))$$M(n)$$n\times n$$O(\log^{2}(n))$

알고리즘 관점에서 행렬식 계산이 행렬 곱셈 과 유사 하다는 것이 알려진 반면 행렬식과 행렬 곱셈의 회로 복잡도에 차이가있는 이유는 무엇 입니까? 구체적으로, 왜 회로 복잡도가 깊이 에서 지수 갭을 갖는가 ?$3$

아마도 설명은 간단하지만 보이지 않습니다. '엄격한'에 대한 설명이 있습니까?

다음 사항도 살펴보십시오. 결정 요인에 대해 알려진 가장 작은 공식

다양한 작은 복잡성 클래스에 대한 회로 값 문제 및 부울 공식 평가를 고려하십시오. 그것들의 결정적인 순차적 시간 복잡성은 우리가 아는 한 유사하지만 회로 복잡성 관점과는 매우 다릅니다. 한 모델에서 특정 유형의 리소스에 대한 유사성이 다른 모델의 다른 리소스에 대한 유사성을 의미하지는 않습니다. 하나의 문제는 병렬 계산을 이용하고 다른 하나는 병렬 계산을 이용할 수 없지만 순차적 인 시간 복잡도는 동일 할 수 있습니다.

모델과 자원에 따른 두 가지 문제의 복잡성 사이에서 더 강력한 관계를 언제 기대할 수 있습니까? 이들이 해당 모델의 리소스를 존중하는 양방향으로 강력하게 축소 된 경우.

편집 : 곱셈은 서브 지수 크기 깊이 3 회로를 가지고 있습니다. 결정자에 대해 이러한 종류의 하한을 증명하면 이 아니고 N C 2 와 분리 되지 않았 음을 알 수 있습니다.$\mathsf{NL}$$\mathsf{NC^2}$

산술 설정의 차이로 인해 행렬 곱셈이 본질적으로 결정 요인보다 훨씬 더 병렬 작업이라는 것을 알 수 있습니다. 다시 말해, 두 문제의 순차적 복잡성은 밀접한 관련이 있지만, 병렬 복잡성은 서로 가깝지 않습니다.

관련 논문은 Csanky의 고속 병렬 행렬 역전 알고리즘 으로 , n × n 행렬 의 결정자를 계산 하는 산술 복잡도 (즉, 결정자를 계산하는 산술 회로의 깊이)가 O ( log n을 만족함 을 증명합니다. ) ≤ D ( n ) ≤ O ( log 2 n ) . 내가 아는 한, 이것들은 여전히이 문제에 대한 가장 잘 알려진 경계입니다. 이것은 사소한 깊이 -3 과 비교되어야합니다$D(n)$$n\times n$