다항식 시간에서 로그 스페이스 분리

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결정 론적 로그 스페이스 ( $L$ ) 에서 결정 가능한 모든 문제 는 최대 다항식 시간 ( $P$ )으로 진행 된다는 것이 분명합니다 . $L$ 과 사이에는 복잡한 클래스가 많이 $P$ 있습니다. 예로는 $NL$ , $LogCFL$ , $NC^i$ , $SAC^i$ , , . 라고 널리 알려져있다 . $AC^i$ $SC^i$ $L \neq P$

내 블로그 게시물 중 하나에서 를 증명하는 두 가지 접근법 (해당 추측과 함께)을 언급했습니다 $L \neq P$ . 이 두 가지 접근 방식은 분기 프로그램을 기반으로하며 20 년 간격입니다! 이 다른 접근 및 / 또는 분리 향해 있는가 추측 $L$ 으로부터 $P$ 사이의 중간 등급 분리 (또는) $L$ 및 $P$ .

cc.complexity-theory lower-bounds space-bounded

— 시바 킨 탈리
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TM 실행 시퀀스 의이 문제 압축 과 관련 이 있다고 생각하십시오

— vzn

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회로 깊이 하한은 (등가 식 크기 하한)는 아마도 가장 자연스러운 방법이다 : 수퍼 - $\log^2(n)$ 의 깊이가 문제에 대한 하한 $\mathsf P$ 분리 할 $\mathsf P$ 으로부터 $\mathsf L$ 및 Karchmer-Wigderson 통신 복잡도 기술 월 그것을위한 자연스런 사람이 되십시오.

— 노암
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자연적인 증거 장애물이 여기서 문제가되지 않습니까? 왜 그런지 궁금합니다.

— Suresh Venkat

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그렇습니다. 이러한 증거는 "비 자연적"이어야 할 것 같습니다. 그러나 내가 이해하는 한 블로그 게시물에 언급 된 다른 접근 방법이 필요할 것입니다.

— Noam

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[1]은 비트 크기가 그래프의 크기와 비교하여 충분히 크지 만 (아직 선형 인) 최소 비용 흐름의 경우 하한을 입증하고, 더 작은 입력에 대해 동일한 하한을 보일 수 있음을 증명 비트 크기는 (따라서 )를 의미합니다. 이것은 회로 깊이 하한 (= 수식 크기 하한)을 증명한다는 점에서 Noam의 대답과 동일하지만 Karchmer-Wigderson 게임과는 매우 다른 방향으로 보입니다. $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$

보다 상세하게 [1]은 다음을 나타낸다. 종이에서와 같은 표기법을 사용하여 은 최소 비용 흐름 언어를 나타냅니다. 비트 스트링으로 인코딩 된 정수를 사용 하여 일부 대해 의 서브 세트 로 표시된 버텍스 그래프에서 최소 비용 흐름 언어를 생각할 수 있습니다. . 하자 의 모든 벡터의 집합을 나타내고 $L$ $n$ $L(n)$ $\mathbb{Z}^{k(n)}$ $k(n) = \Theta(n^2)$ $B(a,n)$ $\mathbb{Z}^{k(n)}$ 여기서, 각 정수 좌표 최대 비트 사이즈 갖는다 . 함수 주어 (우리가 어떤 기능 어떤 이상 지정할 것이다), 우리는 말할 분리형 내에서 점의 경우, 은 정확히 $an$ $f(x_1, \dotsc, x_k)$ $f$ $L(n)$ $B(a,n)$ $L(n) \cap B(a,n)$ 되도록 . $\vec{x} \in B(a,n)$ $f(\vec{x}) = 1$

발의안 [1, 발의안 7.3] 이 에서 되는 경우 은 크기가 인 행렬 (복합) 선형 조합입니다 의 , 및 그 다음, $L(n)$ $B(a,n)$ $\det(M(\vec{x}))$ $M$ $\leq 2^{n/d}$ $x_1, \dotsc, x_k$ $a < 1/(2d)$ . $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$

비트 바운드 과 크기 바운드 사이의 관계 는 여기서 중요합니다. 같은 논문에서 그는 다음과 같이 보여 주었다. $an$ $2^{n/d}$

정리 [1, 정리 7.4] 앞의 명제의 가설은 충분히 큰 비트 바운드 됩니다. $a$

위 정리의 증거는 일부 헤비 해머를 블랙 박스로 사용하지만 그렇지 않은 경우 기본입니다 (참고 : "초등" " 쉬운 "). 즉, 실제 반 대수 품종의 연결 구성 요소 수에 Milnor-Thom 경계를 사용합니다 (Ben-Or에서 실제 계산 트리 모델의 요소 구별 / 정렬에 대한 하한을 증명하기 위해 사용하는 것과 동일한 경계), Collins 분해 ( )에 대한 효과적인 정량화 제거 , 일반적인 입장 주장 및 기타 몇 가지 아이디어 를 입증하는 데 사용됩니다 . 그러나 이러한 모든 기술은 관련된 다항식의 정도에만 의존하기 때문에 위의 제안 (실제로 [1, Prop. 7.5]은 다항식을 구성 함)에서와 같이 를 증명하는 데 사용할 수 없습니다 . $\neq$ $\mathbb{R}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$ 와 동일한 정도의 그러한 위 명제로 실패 대신 ). 이러한 상황을 분석하고 학위를 넘어선 속성을 찾는 것이 GCT의 영감 중 하나였습니다. $g$ $\det$ $g$ $\det$

[1] K. 멀 물리. 비트 연산없이 병렬 모델에서 하한 . SIAM J. Comput., 28 (4), 1460–1509, 1999

— 조슈아 그로 호프
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내 친구 야고보가 나에게이 실이 오래 전부터 다시 태어 났다고 말한 것은 나의 하루였습니다. 고마워

또한 L vs Log (DCFL) vs Log (CFL)와 관련된 흥미로운 참고 자료를 공유 할 것을 촉구했습니다. 좋은 하루 되세요!

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-14031-0_35#page-1

http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-10003-2_89?no-access=true

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-00982-2_42#page-1

http://www.researchgate.net/publication/220115950_A_Hardest_Language_Recognized_by_Two-Way_Nondeterministic_Pushdown_Automata

— 마이클 위 하르
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이 새로운 논문은 그의 블로그 에서 Luca Aceto가 ICALP 2014에서 EATCS 최고의 학생 논문으로 강조했으며 NL / P를 분리하는 새로운 방법을 가지고 있습니다.

교차점 비 비어있는 Wehar에 대한 경도 결과

우리는 Karakostas, Lipton, Viglas (2003)의 구성을 신중하게 재검토하여 DFA (결정적 유한 오토마타)에 대한 교차 비 비상 문제가 복잡성 등급 NL의 특징임을 보여줍니다. 특히, 이진 작업 테이프 알파벳으로 제한되는 경우, 교차점 마다 DFA에 대한 비강도가 공간에서 해결할 수 있지만 공간 에서 해결할 수 없는 상수 및 가 존재합니다 $c_1$ $c_2$ $k$ $k$ $c_1 k \log(n)$ $c_2 k \log(n)$ 공간. 우리는 DFA의 교차점이 아닌 공허함의 임의의 번호를 표시하도록 구성을 최적화하는 것은에서 풀 수없는 공간. 기능이 존재하는 경우 또한,등의 매 동안 그에 대한 교차 비 공허함 DFA의은에 풀수시간 후, P ≠ NL. 상수가 존재하지 않는 경우 등 모든 동안 그에 대한 교차 비 공허함DFA의에서 풀수 $o \left( \frac{n}{\log(n) \log(\log(n))} \right)$ $f(k) = o(k)$ $k$ $k$ $n^{f(k)}$ $c$ $k$ $k$ $n^c$ P는 NL보다 큰 공간 복잡성 클래스를 포함하지 않습니다.

— vzn
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