임의의 게이트 세트에 대한 회로 하한

1980 년대에 Razborov는 계산을 위해 기하 급수적으로 많은 AND 및 OR 게이트를 필요로하는 명시 적 모노톤 부울 함수 (예 : CLIQUE 함수)가 있음을 유명하게 보여주었습니다. 그러나 부울 도메인 {0,1}에 대한 기본 {AND, OR}은 보편적으로 부족한 흥미로운 게이트 세트의 한 예일뿐입니다. 이것은 내 질문으로 이어진다.

회로 크기의 지수 하한이 알려진 (단락에 대한 깊이 또는 다른 제한이없는) 모노톤 게이트와 흥미롭게 다른 다른 게이트 세트가 있습니까? 그렇지 않다면, 라즈 보 로프의 모노톤 회로 결과가 그렇지 않았기 때문에 자연 증거 장벽을 돌파 할 필요가없는 그러한 하한에 대한 그럴듯한 후보 인 다른 게이트 세트가 있습니까?

그러한 게이트 세트가 존재한다면, 확실히 k≥3의 k-ary 알파벳 위에있을 것입니다. 그 이유는 이진 알파벳보다

(1) 모노톤 게이트 ({AND, OR})

(2) 선형 게이트 ({NOT, XOR}) 및

(3) 범용 게이트 ({AND, OR, NOT})

기본적으로 Post의 분류 정리에서 다음과 같이 흥미로운 가능성을 소진합니다. (이진 경우 0과 1의 상수는 항상 무료로 사용할 수 있다고 가정합니다.) 선형 게이트를 사용하면 모든 부울 함수 f : {0,1} ⁿ → {0,1}입니다. 계산 가능한 것은 선형 크기 회로에 의해 계산 될 수 있으며; 물론 우리는 자연적인 증거와 다른 무서운 장벽에 맞서고 있습니다.

다른 한편으로, 예를 들어 3 또는 4 기호 알파벳 이상의 게이트 세트를 고려하면 더 넓은 가능성 세트가 열리고 적어도 내 지식으로는 이러한 가능성이 완전히 매핑되지 않았습니다. 복잡성 이론의 관점에서 (내가 틀렸다면 나를 정정하십시오). 가능한 게이트 세트는 보편적 대수학에서 "클론"이라는 이름으로 광범위하게 연구된다는 것을 알고 있습니다. 해당 분야의 결과가 회로 복잡성에 어떤 영향을 미치는지 알 수 있도록 해당 문헌에 더 정통하기를 바랍니다.

어쨌든 우리가 고려하고자하는 유한 알파벳보다 게이트 세트 클래스를 단순히 확장하면 증명을 위해 다른 극적인 회로 하한이 있다는 것은 의심의 여지가없는 것 같습니다. 내가 틀렸다면 이유를 말해주세요!

(Suresh가 제안한대로 주석에서 이동했습니다. 주석에서 일부 오류가 수정되었습니다.)

좋은 질문을 해준 Scott에게 감사합니다.

Scott은 하한의 어려움에 대한 이유가 부울 경우 제한된 작동 언어 일 수 있다고 제안하는 것 같습니다. 대부분의 회로를 보여주는 Shannon의 계산 논증은 표현 가능한 표현력과 셀 수없이 많은 회로 사이의 간격에 의존해야합니다. 알파벳에 3 개 이상의 기호가 있으면이 차이가 사라지는 것 같습니다.

알파벳 크기 2 (부울 경우)의 경우 복제 격자는 셀 수없이 무한하며 Post 's lattice 라고 합니다.

Post의 격자는 부울 경우에 대한 몇 가지 흥미로운 연산 기반이있는 이유를 분명히합니다.

알파벳 크기가 3 이상인 경우 클론의 격자는 계산할 수 없습니다. 또한, 격자는 사소한 격자 정체를 만족시키지 않으므로 격자에 대한 완전한 설명을 제공하는 것은 불가능한 것으로 보인다. 알파벳 크기 4 이상인 경우 클론의 격자는 실제로 모든 유한 격자를 하위 격자로 포함합니다. 따라서 알파벳에 3 개 이상의 기호가있을 때 고려해야 할 수많은 흥미로운 연산 기반이 있습니다.

• Bulatov, Andrei A., 클론 격자에 의해 만족되는 조건 , Algebra Universalis 46 237–241, 2001. doi : 10.1007 / PL00000340

Scott은 추가로 물었습니다 : 상수를 무료로 사용할 수 있다고 가정하면 클론의 격자는 계산할 수 없습니까?

대답은, 예를 들어보십시오

• Gradimir Vojvodić, Jovanka Pantović 및 Ratko Tošić, 단항 함수를 포함하는 클론의 수 , NSJOM 27 83–87, 1997. ( PDF )
• J. Pantović, R. 토시 치, 그리고 G. Vojvodić, 세 요소 세트에 기능적으로 완전한 대수의 기수 , 대수 유니버설 (38) 136-140, 1997 년 도이 : 10.1007 / s000120050042

분명히 이것은 이전에 출판되었습니다 :

• Ágoston, I., Demetrovics, J. 및 Hannák, L. 모든 상수를 포함하는 클론의 수에 대해 Coll. 수학. Soc. János Bolyai 43 21–25, 1983.

좋은 구체적인 진술은 다음과 같습니다.

• A. Bulatov, A. Krokhin, K. Safin 및 E. Sukhanov, 클론 격자의 구조 에서 : "일반 대수 및 이산 수학"편집자 : K. Denecke 및 O. Lueders, 27–34. Heldermann Verlag, 1995 년 베를린. ( PS )

$k \ge 3$$\mathcal{L}_k$$2^{\aleph_0}$

마무리하기 위해 회로 하한에 비 부울 복제본을 사용하는 작업에 대해서는 알지 못합니다. 이것은 더 깊이 조사 할 가치가있는 것 같습니다. 클론의 격자에 대해 알려진 것이 거의 없기 때문에, 발견되기를 기다리는 흥미로운 작업 기반이있을 수 있습니다.

클론 이론과 컴퓨터 과학 사이의 더 많은 연결은 아마도 보편적 대수학을 연구하는 수학자에게 큰 관심이 될 것입니다. Peter Jeavons가 대수학이 구속력있는 결과와 대수의 속성으로 변환 될 수있는 방식으로 구속 조건 언어와 연관 될 수 있음을 보여 주었을 때 이런 종류의 상호 작용의 이전 예가 나왔습니다. Andrei Bulatov는 도메인 크기가 3 인 CSP의 이분법을 증명하기 위해 이것을 사용했습니다. 다른 방법으로, 컴퓨터 과학 응용의 결과로 길들이기 합리 이론에 대한 관심이 부흥되었습니다. 클론 이론과 비 부울 회로 복잡성 사이의 연결에서 무엇을 따를 지 궁금합니다.

이것은 Suresh가 제안한 것처럼 주석에서 옮겨졌습니다.

$f:{0,1}^n \rightarrow {0,1}^n$$\Omega(\frac{n^2}{\log(n)})$

편집하다. 또한 계수 인수를 사용하여 대부분의 함수가 보다 큰 복잡성을 가지고 있음을 알 수 있습니다.$\frac{n^2}{\log(n) * c}$$c$

$\Omega(n log n)$$\Omega(n^{3/2})$

편집 2. 주요 장애물은 내가 아는 한 선형 게이트에 대해서도 비선형 하한을 증명하는 방법이 없다는 것입니다 (선형 하한의 경우 게이트 제거를 사용할 수 있음). -선형 경계). 선형 대수학의 일부 방법이 실제로 도움이되어야합니다. 따라서 후보자를 찾는 것은 좋지만 어쨌든 몇 가지 새로운 방법이 필요합니다.

1. $\{0,1\}$$a$$Z_3^n=\{0,1,2\}^n$$\min(x,y)$f ( a ) = 0 a 0 2 a 1 2 n / $xy\mod{2}$$f(a)=0$$a$$0$$2$'에서의 최소한의 수이고 집. 그는 (MIN / XOR 이상의) 모든 회로는 를 계산하기 위해 약 게이트가 필요하다는 것을 보여줍니다 . 그러나 그것은이었다! 물론 산술 회로의 것을 제외하고는 더 큰 결과가 있지만 유한 한 영역으로가는 더 나은 결과를 알지 못합니다. 그러나 회로의 경우에만-더 큰 도메인으로가는 분기 프로그램의 경우 하한 작업이 다소 쉬워집니다. $a$$1$$2^n/\sqrt{n}$$f$

2. XOR 게이트가있는 회로에서. 여기서 깊이 의 경우조차도 널리 열려 있습니다. 명시 선형 변환에 대한 높은 하한 위에 형태가 . A는 같이 결합 증명 상수에 대한 에도 깊이, 만 XOR 게이트가 허용되는 경우에도, 도전이다., Y = A는 X G F ( 2 ) N 로그 3 / 2 N N 1 + C C > 0 $2$$y=Ax$$GF(2)$$n\log^{3/2}n$$n^{1+c}$$c>0$$2$