내부 정점 분리 된 홀수 길이 st 경로의 최대 수

하자 무향 그래프 간단하고 있도록 S , t ∈ V ( G는 ) 구별 꼭지점. 간단한 st 경로의 길이를 경로의 모서리 수로 설정하십시오. 각 경로의 길이가 홀수이고 각 경로 쌍의 정점 세트가 s와 t에서만 교차하도록 간단한 st 경로 세트의 최대 크기를 계산하는 데 관심이 있습니다. 즉, 내부적으로 정점 분리 된 홀수 길이 st 경로의 최대 수를 찾고 있습니다. 일치 또는 흐름 기반 기술로 계산할 수있는 다항식 시간이어야한다고 생각하지만 알고리즘을 만들 수는 없었습니다. 여기 내가 아는 바가 있습니다.$G$$s,t \in V(G)$

1. 홀수 길이에 대한 제한을 짝수 길이로 대체 할 수 있습니다. s에서 발생하는 모든 에지를 세분화하면 하나가 다른 것으로 변환되므로 실제로 문제에 영향을 미치지 않습니다.

2. 경로의 패리티에 제한이 없다면 Menger의 정리는 최대 흐름을 계산하여 얻을 수있는 답을 제공합니다.

3. 단지 주어진 정점 V 교차 페어 정점 이산 홀수 길이의 사이클의 최대 수를 결정하는 문제가 매칭 트릭 의해 다항식 시간 내에 계산할 수있다 :의 분리 된 조합과 같은 그래프 G '빌드 및 ( G - N G [ v ] ) , 동일한 정점의 두 사본 사이에 모서리를 추가합니다. 이 크기 그래프에서 최대 일치 값 | V ( G ) | − | N G [ v ] | + k 는 최대 홀수주기가$(G - {v})$$(G - N_G[v])$$|V(G)| - |N_G[v]| + k$ 는 k 이고; 이 구조는Hadwiger의 추측의 홀수 마이너 변형에 대한Lemma 11의 증거에 설명되어있습니다.$v$$k$

4. 그래프가 지시되면 단일 짝수 길이 st 경로의 존재에 대한 테스트는 이미 NP 완료된 것입니다.

5. 논문 Lapaugh와 Papadimitriou의 그래프와 그래프 에 대한 짝수 경로 문제는 관련이있을 수 있지만 불행히도 우리 도서관은 온라인 아카이브에 가입하지 않으며 종이 사본이 없습니다.

모든 통찰력은 대단히 감사하겠습니다!

먼저 그래프 , 두 개의 고유 정점 s , t ∈ V 및 정수 k가 주어질 때 s 와 t 사이에 k 개의 내부 정점 분리 홀수 길이 경로 가 있는지 여부를 결정하는 문제 는 다항식입니다. s 와 t 사이에 k 개의 짝수 길이 경로 가 있는지 여부를 결정하는 것과 같습니다 . 축소가 쉽습니다. 한 사례에서 다른 사례로 줄이려면 t에 인접한 각 모서리를 세분화하면됩니다 . G ' 하자$G=(V,E)$$s,t \in V$$k$$k$$s$$t$$k$$s$$t$$t$$G'$얻은 그래프입니다. 이어서 갖는 K 와 홀수 길이 정점 이산 경로 S 및 t IFF G를 ' 갖는 K 사이에도 길이 정점 이산 경로 S 및 t를 .$G$$k$$s$$t$$G'$$k$$s$$t$

따라서 이러한 문제 중 하나가 NP- 완료이면 다른 문제도 마찬가지입니다. 이제 Itai, Perl 및 Shiloach는 s 와 t 사이에 길이 5의 정점 분리 경로 가 존재하는지 여부를 결정하는 문제 가 NP- 완료 임을 보여줍니다 [ 길이 제약 조건을 갖는 최대 분리 경로를 찾는 복잡성 . Networks, Volume 12, Issue 3, page 277–-286, 1982]. 감소는 3SAT에서 발생하고 구성된 그래프에서 s 와 t 사이 의 홀수 길이 경로는 모두 정확히 5입니다. 따라서 정점-절연 홀수 길이 경로 문제는 NP- 완료에있어서 정점-절연 홀수 길이 경로도 마찬가지입니다.$k$$s$$t$$s$$t$

도움이 되었기를 바랍니다.

(답변은 아니지만 아직 주석을 달 수는 없습니다.) 위의 대답이 효과가 없다고 생각합니다. 경로가 정점 분리되지 않을 것이라고 보장하지 않기 때문입니다. 한 경로는 u '를 사용할 수 있고 다른 경로는 G'에서 사용할 수 있으며 G에서는 동일한 꼭지점 u를 사용합니다.