실제 다항식으로 낮은 수준의 랜덤 함수

실수 다항식으로서의 학위가 최대 균일하게 임의의 부울 함수 을 샘플링하는 (합리적인) 방법이 있습니까? $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $d$

편집 : Nisan과 Szegedy 는 의 함수가 최대 좌표 에 의존 한다는 것을 보여 주었 으므로 라고 가정 할 수 있습니다 . 우리가 임의의 부울 함수를 선택하는 경우 1) 한편 : 나 볼과 같은 문제는 다음과 좌표는 다음 정도 근접하는 것, 훨씬 초과 . 2) 반면에, 우리가 최대 의 각 계수 를 무작위로 선택하면 함수는 부울되지 않습니다. $d$ $d2^d$ $n \leq d2^d$ $d2^d$ $d2^d$ $d$ $d$

그래서 문제는 :이 두 가지 문제를 피하는 저급 부울 함수를 샘플링하는 방법이 있습니까?

randomness boolean-functions bounded-degree

— 이고르 신카
소스

만약 실제 함수 정도의 실제 다항식의 제한 싶은가 0-1 입력하거나이를 그 싶은가 IFF 진짜 다항식 의 최대 ? 또는 다른 것?

d

$d$

f (x) = 1

$f(x) = 1$

p (x) > 0

$p(x) > 0$

p

$p$

d

$d$

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow 저는 푸리에 확장도가 라는 함수를 원합니다 . 이것이 첫 번째 옵션입니다.

d

$d$

— Igor Shinkar

당신의 모델은 무엇입니까? 푸리에 확장을 출력 하려면 샘플링 된 함수를 기록하는 데 시간 이 걸리 거나 가 걸립니다 . 가요 고정 상수?

2^{n}

$2^n$

n^{O (d)}

$n^{O(d)}$

d

$d$

— MCH

질문에 더 자세한 내용을 추가했습니다.

— Igor Shinkar

@MCH (제로 가중치가 레벨보다 높은 ) 인 함수 가 좌표 이상에 의존 할 수 없습니다 . 이것은 Nisan과 Szegedy에 의한 결과입니다. 의 특별한 경우를 생각해보십시오 . 이 경우 함수는 (최대) 1 좌표에 의존한다는 것을 알고 있습니다.

d

$d$

d

$d$

d 2^{d}

$d2^d$

d = 1

$d=1$

— Igor Shinkar

다음은 사소한 시도를 능가하는 알고리즘입니다.

다음은 알려진 사실입니다 (O'Donnell의 책에서 1.12 연습). $f:\{-1,1\}^n\to\{-1,1\}$ 이 다항식으로 차수 $\le d$ 를 갖는 부울 함수 인 경우 모든 푸리에 계수 의 $f$ , 의 정수배 . Cauchy-Schwarz와 Parseval을 사용하면 최대 0이 아닌 푸리에 계수와 $\hat{f}(S)$ $2^{-d}$ $4^d$ $\sum_{S}{|\hat{f}(S)|}\le 2^{d}$ .

이것은 샘플링 방법을 제안합니다-

임의의 음이 아닌 정수를 선택 모든 세트에 대해 최대 크기 , 합계 최대 . $a_S$ $S\subseteq[n]$ $d$ $\le 4^d$
하자 $f(x) = \sum_{S}{\frac{a_S}{2^d} \chi_S(x)}$ .
$f$ 가 부울 인지 확인하십시오 . 그렇다면 $f$ 반환하십시오 . 그렇지 않으면 $1$ 로 돌아갑니다 .

모든 차수 $\le d$ 다항식 $f$ 대해 1 단계에서 정확히 하나의 임의의 정수를 선택하면 다항식 $f$ 가 생성됩니다 . 특정 차수 $\le d$ 다항식 을 얻을 확률 은

1 / (\binom{(\binom{n}{\leq d}) + 4^{d}}{4^{d}}) = 1 / O (n / d)^{d 4^{d}} .

$1/\binom{\binom{n}{\le d}+4^d}{4^d} =1/O(n/d)^{d4^d}.$ 따라서, 우리는 기껏이 프로세스를 반복 할 필요가

O (n / d)^{d 4^{d}}

$O(n/d)^{d4^d}$ 정지 전에, 기대의 시간.

3 단계를 수행하는 방법을 보여줍니다. $A = \bigcup\{S:a_S\neq 0\}$ 정의 할 수 있습니다 . 확인 $|A| \le d 2^d$ (모든 부울 함수에 대해 Nisan-Szegedy가 보유해야 함) 그리고 의 변수에 가능한 모든 할당에 대해 $f$ 를 평가 합니다. 시간 에서 수행 할 수 있습니다 . Gur와 Tamuz는이 작업에 대해 훨씬 빠른 무작위 알고리즘을 제공하지만이 부분이 시간 복잡성을 지배하지 않기 때문에 충분합니다. $A$ $2^{d 2^d}$

전체적으로 알고리즘은 시간 에서 $\le d$ 다항식 의 랜덤 샘플을 생성합니다. $O(\frac{n}{d})^{d4^d}$ . $n \le d2^d$ 라고 가정하면 시간 복잡도는 $2^{O(d^2 4^d)}$ 입니다.

훨씬 더 빨리 후 (이 경우에 특정 정도 걸릴 확률 완전히 랜덤 함수를 샘플링하지만 이것은 샘플링 알고리즘 다항식 시간이 아니다 $\le d$ 다항식은 $1/2^{2^n}$ ).

— 아비 쉐이 탈
소스

좋은! 실제로 이것은 whp (wrt

)가 낮은 함수가 의존 할 수있는 최대 좌표 수를 출력 하는 알고리즘을 제공합니다 . 충분히 큰

를 취하고 많은 함수를 샘플링하고 각 함수에 대해 영향력있는 좌표의 수를 계산하십시오. 보이는 최대 값을 출력하십시오.

d

$d$

n = 10 d 2^{d}

$n = 10d2^{d}$

— Igor Shinkar