음수가 아닌 데이터가있는 0-1 프로그램에 대한 정확한 지수 시간 알고리즘

순진 알고리즘을 능가하는 다음 문제에 대한 알려진 알고리즘이 있습니까?

입력 : 행렬 $A$및 벡터 (여기서 의 모든 엔트리 는 음이 아닌 정수임).$b,c$$A,b,c$

출력 : 최적 솔루션 ~ .$x^*$$\max \{ c^T x : Ax \le b, x \in \{ 0,1\}^n \}$

이 질문은 이전 질문 0-1 프로그래밍 에 대한 정확한 지수 시간 알고리즘 의 세련된 버전입니다 .

A의 0이 아닌 계수의 수가 n의$A$ 선형 이면 2 ^ n 미만의 시간 에이 문제를 해결하는 알고리즘이 있습니다 .$n$$2^n$

작동 방식은 다음과 같습니다. 우리는 최적화 문제와 해당 의사 결정 문제 사이의 표준 연결을 사용합니다. 테스트하는 솔루션이 존재하는지 여부를 여기서 및 , 우리가 결정 문제를 형성 할 것이다 : 우리는 제한 조건을 인접한다 매트릭스에 , 테스트 어떤하는지 존재 같은 그런 및 . 특히, 새로운 매트릭스 형태 것이다 취하여 하고 함유 여분 행 가산 , 우리는 형성 할 고려하여$x$$Ax\le b$$c^T x \ge \alpha$$c^T x\ge \alpha$$A$$x$$Ax \le b$$-c^T x \le -\alpha$$A'$$A$$-c^T$$b'$$b$ 사용하여 추가 행에 인접합니다 . 우리는 결정 문제를 얻는다 : 와 같은 있는가? 이 결정 문제에 대한 답은 이상의 원래 최적화 문제에 대한 해결책이 있는지 알려줍니다 . 또한 이전 질문 에 대한 답변 에서 설명한 것처럼 0이 아닌 계수 의 수가 에서 선형 인 경우 (그리고 그렇지 않은 경우의 수가 아닌 경우 )이 결정 문제는 시간 이내에 해결할 수 있습니다. 제로 계수는 에서 선형입니다 ). 이제 에서 이진 검색을 사용할 수 있습니다$-\alpha$$x \in \{0,1\}^n$$A' x \le b'$$\alpha$$2^n$$A'$$n$$A$$n$$\alpha$ 미만의 시간 에 최적화 문제를 해결합니다 .$2^n$

이 답변의 이전 버전을 디버깅하는 데 도움을 준 AustinBuchanan과 Stefan Schneider에게 감사드립니다.

최소화 문제 를 고려하면 다음 축소는 시간 대한 는 SETH를 반증합니다. 재구성은 의도 된 문제 (최대화 버전)에 대해 동일한 결과를 입증합니다.$\min_y \{c^T y : Ay \ge b, y \in \{ 0,1\}^n \}$$O(2^{\delta n/2})$$\delta <1$

변수 갖는 CNF-SAT 의 인스턴스 가 주어지면 두 개의 변수 SAT 인스턴스의 각 변수 에 대해 . 평소와 같이 은 됩니다. 그런 다음 모든 변수$\Phi = \wedge_{i=1}^m C_i$$\{x_j \}_{j=1}^n$$y_j, \overline{y}_j$$x_j$$(x_1 \vee \overline{x}_2 \vee x_3)$$y_1 + \overline{y}_2 + y_3 \ge 1$$x_j$ SAT 인스턴스의 에 대해 구속 조건 . 목표는 을 최소화하는 것입니다 . 는 IP의 목적은 것 토 인스턴스 IFF에 만족할 수있다.$y_j + \overline{y}_j \ge 1$$\sum_{j=1}^n (y_j + \overline{y}_j)$$n$

수정 해 주신 Stefan Schneider에게 감사드립니다.

업데이트 : CNF-Sat처럼 어려운 문제 에서 저자는 SET COVER를 시간 , 에서 해결할 수 없다고 추측합니다 . 여기서 은 세트 수를 나타냅니다. true이면 시간 에서 내 문제를 해결할 수 없음을 나타냅니다 .$O(2^{\delta n})$$\delta <1$$n$$O(2^{\delta n})$

내가 말할 수있는 지금까지, 세스 가정 내 문제는 시간에 해결할 수없는 2로 업데이트 가 있기 때문에, 표시되었습니다 (크기의 접지 세트와 세트를 치는 것을 )이 될 수 없습니다 시간 에서 해결되었습니다 .$O(2^{\delta n})$$n$$O(2^{\delta n})$