결정 가능성을 알 수없는 간단한 문제

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학부 수학 전공을 목표로 연설을 준비하고 있으며 그 일부로서 결정 성 개념에 대해 논의하고 있습니다. 현재 결정 불가능하거나 결정 불가능한 문제에 대한 예를 드리고자합니다. 그러한 문제가 많이 있지만, 지금까지 좋은 사례로 눈에 띄는 것은 없습니다.

결정 가능성이 열려있는 설명하기 쉬운 문제는 무엇입니까?

computability decidability

— 레브 레이 진
소스

26

Collatz Problem은 결정 가능성이 열려있는 설명하기 쉬운 문제입니다. Collatz 문제의 일반화는 결정 불가능한 것으로 나타났습니다. math.mit.edu/~poonen/papers/sampler.pdf mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html

— Mohammad Al-Turkistany

2

아마도 당신은 또한이 멋진 "트릭"을 보여줄 수 있습니다 : 짝수 를 반복 하고 어떤 소수에 대해 를 확인 하는 작은 프로그램 작성 ( "goldbach"라고 부를 수 있음) 그리고 부정적인 경우에 멈춰 ... "이 프로그램의 정지 문제가 결정 가능한지 모르겠습니다!"라고 말합니다. :-). 그것은 수 이론 문제와 정지 문제 사이의 강한 상관 관계를 보여줍니다.

n_{i} \geq 5

$n_i \geq 5$

n_{i} = p_{j} + p_{k}

$n_i = p_j + p_k$

p_{j}, p_{k} < n_{i}

$p_j, p_k<n_i$

— Marzio De Biasi

8

이것들은 훌륭해 보이지만 결정 가능성 개념은 특정 인스턴스 하나에 만 적용되지 않습니다. 두 경우 모두 대답은 고정 된 예 / 아니오입니다.

— 레프 레이 진

6

@MarzioDeBiasi, 이것은 정지 문제와 수 이론 사이의 "강한 상관 관계"가 아닙니다. "깨지기 쉬운 위젯이 존재하지 않음"형태의 추측은 깨지기 쉬운 것이 결정 가능하고 위젯이 재귀 적으로 열거 가능한 한 깨지기 쉬운 위젯이있는 경우 정지하는 프로그램으로 전환 될 수 있습니다. 그러한 프로그램의 존재는 정지 문제와 위젯 이론 사이의 가장 간단한 연결 일뿐입니다.

— David Richerby

2

@DavidRicherby : 상당히 설득력있는 :-). 나는 단지 몇 비트의 코드로 정지 문제를 해결하는 것이 오랜 수학 수학 추측을 해결하는 것에 해당한다는 사실 (나를 위해 놀랐다)을 찾으려고 노력했다. 그래서 "나를 위해 약한 상관 관계가 있지만, 놀라운"와 "강한 상관 관계"를 교체해야는 :-) :-)

— MARZIO 드 BIASI

91

2x2 행렬 의 행렬 사망률 문제 . 즉, 2x2 정수 행렬 M ₁ , ..., M _k 의 유한 목록이 주어지면 , 모든 0 행렬을 생성하기 위해 M _i 를 임의의 순서로 (임의로 많은 반복으로) 곱할 수 있습니까?

(3x3 사례는 결정할 수없는 것으로 알려져 있습니다. 물론 1x1 사례는 결정 가능합니다.)

— 스콧 애런 슨
소스

6

epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/1.9781611974782.12 Igor Potapov와 Pavel Semukhin은 최근 이것이 결정 가능한 것으로 나타났습니다.

— Chao Xu

4

@ChaoXu : 그 종이는 단수 행렬이 아닌 것 같습니다 .

2

@RickyDemer 당신은 맞습니다, 제 실수입니다.

— Chao Xu

57

업데이트 : 내가 여기서 언급 한 문제는 이제 결정 불가능한 것으로 알려져 있습니다! http://arxiv.org/abs/1605.05274 또한, 논문은 바로이 대답을 읽고 영감을했다. :)

수학을 많이하는 청중의 프로그래머는 "이 유형이 암묵적으로 해당 유형으로 변환 될 수 있는가?"라는 질문에 놀랄 수 있습니다. Java 5, C # 4 및 Scala 2에서 결정 가능한 것으로 알려져 있지 않습니다.

자세한 내용은 Andrew Kennedy 및 Benjamin Pierce의 논문 "다양한 공칭 하위 유형 결정 가능성"을 참조하십시오 . 이 논문은 이들 언어의 타입 시스템에 대한 추가적인 제한의 예를 제공하는데,이 시스템에서 공칭 서브 타이핑은 결정 불가능하거나 결정 불가능한 것으로 알려져있다.

흥미롭게도, 일반 공분산과 반공 분산이 C #에 추가되기 전에이 논문이 잘 작성되었지만 저자들은 언어가 향하고있는 방향을 정확하게 예상했습니다. (이것은 놀랍지 않습니다. 저자는 C #에 분산을 추가 할 때 활용했던 CLR의 분산에 대한 기본 지원을 설계했습니다!

— 에릭 리퍼 트
소스

7

@vzn : Microsoft C # 컴파일러를 무한 재귀로 만들 수 있습니다. : 주제에 내 문서를 참조 blogs.msdn.com/b/ericlippert/archive/2008/05/07/...

— 에릭 Lippert의

3

@ vzn : Java 컴파일러가 잘못 작동하게하는 방법이 있지만 세부 정보를 모르겠습니다.

— Eric Lippert

2

@vzn Scala의 언어 유형은 Turing 완료이므로 Scala의 유형 검사기가 반복 될 수 있습니다. 자세한 내용은 여기 를 참조 하십시오 . Haskell도 마찬가지입니다 . 나는 C #과 Java에 대해 잘 알고 있지 않아서 Repective Type-Checker를 반복 할 수 있는지 알 수 있습니다.

— Martin Berger

3

@vzn : 또한 관심이있을 수 있습니다. 컴파일러에서 임의의 SAT 문제를 강제로 해결할 수 있기 때문에 C # 3의 과부하 해상도는 적어도 NP-HARD입니다. blogs.msdn.com/b/ericlippert/archive/2007/03 / 28 /…

— Eric Lippert

7

@vzn : 마지막으로 "이것은 다소 학문적인가?"라는 질문입니다. 물론 그렇습니다. 질문은 "결정 가능한 것으로 알려져 있습니까?" 본질적으로 학문적 질문입니다. 이러한 경우는 실제 업무용 코드에서 발생하지 않습니다. 엔지니어링 관점에서이 질문의 중요성은 보안에 있습니다 . 적대적인 제 3자가 코드 를 실행하여 실행하기 전에 분석하면 코드 자체가 나쁜 행동을 일으킬 수 있습니까? 우리가 인터넷에있는 상황입니다. 적대적인 제삼자가 귀하의 브라우저에 JavaScript를 보냅니다.

— Eric Lippert

47

이성에 대한 힐베르트의 열 번째 문제 : "이 다항식에 합리적인 해법이 있습니까?"

— 보리스 부크
소스

1

고마워-열린 곳으로 연결되는 링크가 있습니까?

— 레프 레이 진

1

www-math.mit.edu/~poonen/papers/subrings.pdf (두 번째 단락)를 참조하십시오 . 에서 해설 기사도있다 www-math.mit.edu/~poonen/papers/aws2003.pdf은

— 보리스 Bukh

이 문제가 Hilberts 10th 문제와 동일하지 않은 이유와 동일한 증거가 적용되지 않는 이유에 대한 스케치 / 개요 설명을 보는 것도 도움이됩니다.

— vzn

2

vzn : 유리수에 대한 방정식은 (분모를 소거하기 위해 곱하면) 정수에 대한 방정식의 특별한 경우로 볼 수 있습니다. 따라서 문제는 힐버트의 10 번째 문제의 특별한 사례가 이미 결정 불가능한지 여부입니다. 기존 증명에 의해 생성 된 Diophantine 방정식에는 필요한 특수한 형태가 없습니다.

— Scott Aaronson

1

@vzn 미묘한 이유 중 하나는 대부분 (아마도) 증명 전략이 Mazur의 추측에 위배되기 때문입니다. 자세한 내용은 Boris Bukh의 첫 번째 링크 1 페이지를 참조하십시오.

— David E Speyer

29

초기 값과 함께 선형 반복의 문제는 0 값을 취합니까?

두 참조 :

http://terrytao.wordpress.com/2007/05/25/open-question-effective-skolem-mahler-lech-theorem/

http://www.cs.ox.ac.uk/joel.ouaknine/publications/positivity12.pdf

— 매그너스 찾기
소스

3

이제 Wikipedia에서 : en.wikipedia.org/wiki/Skolem_problem

— David Eppstein

23

결정 가능성을 알 수없는 간단한 문제는 다음과 같습니다 (여전히 열려 있다고 생각합니다).

무한 체스 :

$Z \times Z$

$n$ $n$

또 다른 간단한 문제는 유한 초기 구성에서 Langton의 개미 동작입니다 .

유한 한 지원으로 Langton의 개미 행동 :

평면의 정사각형은 검은 색 또는 흰색으로 다양하게 표시됩니다. 우리는 임의로 하나의 정사각형을 "개미"로 식별합니다. 개미는 걸리는 각 단계에서 4 가지 기본 방향으로 이동할 수 있습니다. 개미는 아래 규칙에 따라 움직입니다.

흰색 사각형에서 오른쪽으로 90 ° 회전하고 사각형의 색을 뒤집어 한 단위 앞으로 이동
검은 사각형에서 왼쪽으로 90 ° 회전하고 사각형의 색을 뒤집어 한 단위 앞으로 이동

입력 : 평면과 개미 위치의 유한 구성 (흑백);
질문 : 개미는 항상 되풀이되는 무한한 "고속도로"를 끝내는가?

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

무한한 지원을 위해 문제를 결정할 수 없습니다. A. Gajardo, A. Moreira 및 E. Goles, Langton 개미의 복잡성 참조

— 마르 치오 데 비아시
소스

20

Collatz Problem은 결정 가능성이 열려있는 설명하기 쉬운 문제입니다. 기본 산술 연산의 간단한 반복이 포함됩니다.

$f(n)=\mathsf{\{}$ $n/2$ $3n+1$

$n_0$

흥미롭게도 Collatz 문제의 일반화는 결정 불가능한 것으로 나타났습니다.

참고 문헌 :

1- 확실한 문제 : 표본 추출기, BJORN POONEN

2- Weisstein, Eric W. "콜라 츠 문제" MathWorld--Wolfram 웹 리소스에서.

3- 3X + 1 문제 : 개요 , Jeffrey C. Lagarias

— 모하마드 알-투르 키스 타니
소스

13

엄밀히 말해, 특정 질문에 대한 대답은 단순히 "예"또는 "아니오"이므로 결정하기 어렵습니다. 반면에 특정 번호가 Collatz 번호인지 여부를 판단하는 것은 결정 불가능할 수 있습니다.

— Lev Reyzin

@LevReyzin 감사합니다. 문제를 해결하기 위해 편집했습니다.

— Mohammad Al-Turkistany

이 답변이 포함되어 기쁘고 다른 모든 주요 공개 수 이론 문제가 다른 의견 / 답변과 마찬가지로 공식화 될 수 있음을 제안 하고이 기본 링크가 이론적 공동체가 탐험하지 않은 중추적 인 다리 이론에 가깝다고 생각합니다.

— vzn

여기에 많은 참조가있는보다 TCS /

— 임시

17

주어진 모양이 평면을 타일링 할 수 있는지 여부를 결정할 수 있는지 여부는 알 수 없습니다 .

— 조셉 오루크
소스

16

연결성 쿼리 포함 의 결정 가능성은 20 년 이상 열려 있습니다. 이를 해결하는 것은 데이터베이스 이론에서 획기적인 것입니다.

$Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $I$ $Q_2$ $I$

에 결합하는 쿼리 하나를 사용하고, 존재 적 정량화 술어를 함께 연결 할 수 있습니다. SQL 용어에서, 결합 쿼리는 "="및 "AND"를 사용하지만 하위 쿼리 나 집계는 사용하지 않는 SELECT-FROM-WHERE 쿼리입니다. 이것은 아마도 가장 일반적인 종류의 데이터베이스 쿼리이며 대부분의 검색 엔진 쿼리를 포함합니다.

$I$ $Q_1$ $Q_2$

$\ne$

$(N,+,\times)$ $(N,+,\times)$

광범위한 문헌과 엄격한 치료법에 대한 지침은 일부 사람들의 ToDS 논문 (프레스)을 참조하십시오.

$Q$ $R$ $Q$ $Q \text{ AND } R$ $Q$

— 안드라 살 라몬
소스

여기의 관련 기사 .

— Martin Berger

1

@MartinBerger : ToDS 버전에는 위에서 언급 한 NP-hardness 증거가 포함되어 있으며 완전한 증거가 있으며 공개적으로 액세스 할 수 있습니다 (공간 부족으로 인해 CQ 조합에 대한 자료는 생략 됨). dx.doi.org/10.1145/2556524

— Salamon

15

3에서 6 사이의 고정 된 타일 수에 대한 Post의 통신 문제

설명하기가 쉽지는 않지만 매우 "유쾌한"설명이 있으며 직관 수준의 대화에 적합합니다.

— 숄
소스

13

일반화 된 별-높이 문제 : "보완이 허용 된 정규식을 사용하여이 정규 언어를 표현하려면 얼마나 많은 Kleene 별 중첩이 필요합니까?"

우리는 항상 1을 반환하는 알고리즘 (별표가없는 언어 인 스타 프리 언어의 경우 0 제외)이 올바른지조차 알지 못합니다.

— 데니스
소스

10

오토마타 이론의 문제.

$D$

$x$ $D$ $x$ $x$ $L(D) \cap Primes$

의견 : 원래 Jeffrey Shallit의 stackexchange 답변에서이 문제를 들었습니다. 그것에 대한 언급이 있으면 알려주십시오. 감사합니다!

관련 게시물:

(1) DFA에 대해 남아있는 문제가 있습니까?

(2) https://cs.stackexchange.com/questions/48084/determining-if-infinite-binary-language-dfas-contain-at-least-1-prime

C. Bright, R. Devillers 및 J. Shallit의 "소수의 소수 요소"

— 마이클 위 하르
소스

7

간격에 대한 반복 맵 ( 여기 에서 설명 ) :

(매그너스 찾기가 제안한 문제와 매우 관련됨)

$F$ $x$ $x$ $x$ $F(x)$ $F(F(x))$ $F$ $x$ $F$

$F$ $x$ $y$ $x$ $y$

$F$

$F$ $x$ $y$ $x$ $F$

참조 : Asarin 2011 .

— 니콜라스 페린
소스

2

다음과 같이 적어도 3 개의 논문에서 활용되는이 질문을 연구하는 상당히 자연스러운 방법 / 각도 인 것 같습니다.

$TM(k,l)$ $k$ $l$ $k,l$ $k,l$

결과는 다음 참조 중 일부와 같이 그리드에 표시 될 수 있습니다. 또한 중간 영역에서 일부 (해결되지 않은) 기계가 일부 입력에 대한 Collatz 추측을 시뮬레이션 할 수 있다는 것이 실제로 알려져 있습니다.

그러므로 여기에서 작동하는 현상과 같은 "전 이점" 은 분명히 있지만 계산 가능 영역 내에서는 아니지만 계산 가능과 계산 불가능 사이의 특이한 의미가 있습니다.

— vzn
소스

드 몰의 심판 PDF이 글을 쓰는 시점에서 arxiv에서 나를 위해 다운로드 할되지 않은 PS, 그것은 중단

— vzn

-3

$2^8$

또한 "근거리 부재"또는 "상대적으로 TM 완료로 해결 된 공개 질문"의 예로서 Wolfram 2,3 기계는 2007 년 $ 25K 상금으로 보편적으로 입증되었습니다 . 이 콘테스트는 2007 년 5 월에 발표되었고 콘테스트는 2007 년 10 월에 우승자 Smith를 발표했습니다 .

— vzn
소스

-10

가장 개방적인 문제를 결정 불가능한 문제에 매핑하는 상당히 자연스러운 방법이 있습니다. 대부분의 미해결 문제는 일반적으로 입증 할 수 있거나 입증 할 수없는 것으로 알려져 있지 않습니다.

웹에서 P 대 NP 문제 의 결정 불가능성에 대한 비공식적 인 혼란이 있으며 , 이는 결정적인 문제가 아니므로 결정 불가능성에 대해 이야기하는 것은 기술적으로 정확하지 않습니다. 그러나 다른 한편으로는 다음과 같이 결정 불가능 성과 확률 사이에 밀접한 / 자연적인 연관성이있는 것 같습니다.

예를 들어

$L$ $x$ $O(n^x)$

이 언어는 결정할 수 있습니까? 그것은 기본적으로 P 대 NP 문제와 본질적으로 (확실하지 않은) 확률과 밀접한 관련이 있고 (실제로 동일하더라도) 결정 성이 열려있는 언어에 관한 질문입니다.

P 대 NP는 "간단한 설명"으로서 TM의 개념 , Big O 런타임 표기법 , 비결정론 (비결정론 , TCS의 가장 기본적인 개념 중 일부) 만 학부 수준에서 가르치거나 영재 고등학생이 이해할 수있었습니다.

실제로 NP vs P / Poly도 개방적이며 동일한 방식으로 결정성에 관한 열린 질문에 매핑 될 수 있으며, 이는 NP 완료를 인식하기위한 최소 (모노톤?) 회로의 성장에 대한 상당히 간단한 문제라고 할 수 있습니다. 문제 (예 : 파벌).

— vzn
소스

3

L

$L$

x

$x$

L = \emptyset

$L = \emptyset$

x

$x$

Θ (n^{x})

$\Theta(n^x)$

L

$L$

L

$L$

\neq

$\ne$

2

정수를 계산할 수 없다고 말하는 것은 말도 안됩니다. 그리고 나는 제외 된 중간의 원칙이 그 진술이 입증 가능한지에 영향을받지 않는다고 생각합니다.

— Sasho Nikolov

5

답변을 수정하거나 댓글 남기기를 중지하십시오. 나는 이러한 질문들을 보았지만, 당신이 그들 자신의 답변을 완전히 엉망으로 만들기 위해 그들 또는 그들에게 주어진 답변을 사용할 수 없다면, 또는 당신이 원하지 않는 경우, 다른 커뮤니티를 트롤해야 할 수도 있습니다.

— Sasho Nikolov

5

요컨대, ZFC의 P 대 NP 문제의 해결 또는 공식적인 독립성에 관계없이 대답의 문제는 사소하게 결정 가능합니다. 또한 유명한 추측의 진실에 따라 결정 불가능하거나 사소하게 결정 가능한 문제를 만드는 것은 귀여운 운동에 지나지 않습니다. (지금까지 완전히 실패한 것입니다.) .

— Sasho Nikolov