계산의 기하학적 해석

물리학에서 나는 기하학적 관점에서 많은 문제를 조사하도록 훈련되었습니다. 예를 들어, 역학 시스템 등에서 매니 폴드의 차등 기하학. 컴퓨터 과학의 기초를 읽을 때, 나는 항상 기하학적 해석을 찾으려고 노력합니다. 재귀 적으로 열거 가능한 집합에 대한 그럴듯한 기하학적 해석처럼 수식) 또는 숫자 정렬을위한 간단한 알고리즘의 아름다운 기하학적 결과. 나는 전문가가 아니지만 기하학적 복잡성 이론에 대한 설문 조사를 읽었으며 확실히 흥미로운 프로그램이지만 Turing Machine, Lambda Calculus의 역학 또는 ( (특정 문제가 아닌) 계산 가능한 세트. 이러한 물체에서 기하학적 구조를 찾는 것이 절망적 인 일입니까, 아니면 복잡한 결과를 기대할 수 있습니까? TCS를 기하학적으로 처리하는 공식이 있습니까?

컴퓨터 프로그램의 시맨틱은 세 가지 구별되는 (그리고 명백하게 호환되지 않는) 방식으로 기하학적으로 이해 될 수 있습니다.

• 가장 오래된 방법은 도메인 이론을 통하는 것 입니다. 도메인 이론의 직관은 종료와 비 종료의 비대칭 성에서 비롯됩니다.

  프로그램을 확장 적으로 처리 할 때 (즉, 내부 구조가 아닌 I / O 동작 만 볼 때) 프로그램이 중지되었음을 유한 시간 내에 확인할 수 있습니다. 중지 될 때까지 기다리십시오. 그러나 프로그램 이 중지 되지 않았 음 을 확인할 수 는 없습니다. 대기 시간이 길어도 대기 시간보다 몇 단계 더 실행되는 정지 프로그램이 항상 있기 때문입니다.

  결과적으로 정지 및 루핑은 토폴로지 공간 ( Sierpiński space ) 을 형성하는 것으로 볼 수 있습니다 . 이것은 (Scott 토폴로지를 통해)보다 풍부한 관찰 개념으로 승격되어 프로그램을 토폴로지 공간의 요소로 해석 할 수 있습니다. 이러한 공간은 일반적으로 전통적인 관점에서 상당히 놀랍습니다. 도메인은 일반적으로 Hausdorff가 아닙니다.

  이 아이디어에 대해 내가 아는 최고의 토폴로지 소개는 Steve Vickers의 짧고 접근성이 뛰어납니다 Logic을 통한 토폴로지 입니다. Peter Johnstone의 훨씬 더 강력한 Stone Spaces에 대한 일종의 예열로 이해 될 수 있습니다.

  온라인 강의 노트를 찾고 있다면 Martin Escardo 's 데이터 유형 및 고전 공간 합성 토폴로지를.

• 또 다른 견해는 동시성 이론에서 비롯됩니다. 동시 프로그램은 레이스 해결 방법에 따라 여러 개의 유효한 실행 (상태 순서)을 갖는 것으로 이해 될 수 있습니다. 그런 다음 일련의 실행은 공간으로 볼 수 있으며 각 가능한 상태 시퀀스는이 공간을 통과하는 경로로 이해됩니다. 그런 다음 대수 토폴로지 및 동종 학 이론의 방법을 적용하여 프로그램 실행에 대한 불변을 유도 할 수 있습니다.

  Nir Shavit과 Maurice Herlihy는이 아이디어를 사용하여 특정 분산 알고리즘의 불가능 성을 입증하여 2004 년 Gödel 상을 수상했습니다. (참조 비동기 계산의 위상 구조를 .) 에릭 Goubault는의 관련 아이디어를 설명하는 설문 조사 용지가 동시성 이론의 일부 기하학적 관점을 .

• 가장 최근에, 종속 유형 이론에서 동일성 유형의 구조는 동위 원소 이론에서 호모 토피 유형의 개념과 매우 밀접하게 일치하는 것으로 관찰되었습니다. 실제로 종속 유형 이론은 실제로 일종의 "합성 동성애 이론"! 블라디미르 보에 보츠 키 (Vladimir Voevodsky)는 호모 토피 이론을위한 새로운 미적분학을 개발하기 위해 수년을 보냈으며, CS 부서의 동료들이 이미 학부생들에게 가르치고 있음을 발견했다.

  호피 토피 유형 이론서 에 대한 코디의 링크를 참조하십시오 .

흥미롭게도이 세 가지 견해는 서로 양립 할 수 없거나 최소한 조정하기가 매우 어려워 보입니다. 종속 유형 이론은 전체 언어이므로 종료되지 않은 (및 Scott 토폴로지) 언어는 발생하지 않습니다. 또한 합류하므로 공간으로 계산하는 관점도 발생하지 않습니다. 유사하게, 도메인 이론의 관점에서 동시성을 공식화하는 것은 엄청나게 어려운 것으로 판명되었으며, 완전히 만족스러운 설명은 여전히 ​​열린 문제입니다.

그냥 그렇게 공교롭게도의 이론에서 최근 개발이 있었다 의존 유형 전통적으로 컴퓨터 프로그램에 대한 고정 불변을 나타내는 사용 유형, 위상 학적 공간, 또는 오히려으로 해석 될 수있는, 등가 클래스 등의 공백 ( 호모 토피 타입 ).

이것은 지난 몇 년 동안 강렬한 연구의 주제였으며, 이는 책 에서 완성되었습니다 .

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GCT는 알고 있지만 PRAM 계산의 하위 집합과 P를 구분하는 Mulmuley의 초기 작업 은 알지 못할 수 있습니다. PRAM 계산과 P는 공간을 조각하는 것으로 볼 수있는 방법에 대한 기하학적 아이디어를 사용합니다.

대수 의사 결정 트리 모델의 문제에 대한 많은 하한은 솔루션의 기본 공간 토폴로지에 대한 추론으로 줄어 듭니다 (Betti 번호는 관련 매개 변수로 표시됨).

어떤 의미에서, 최적화의 모든 것은 기하학적이다 : 선형 프로그램은 높은 차원에서 폴리 토프의 가장 낮은 지점을 찾는 것을 포함하고, SDP는 반정의 행렬의 공간에 대한 선형 함수 등이다. 여기서는 기하학 설계가 알고리즘 설계에 많이 사용됩니다.

이 주제에서 그래프의 특정 기능을 최적화하는 능력과 특정 규범 공간에 메트릭 공간을 포함시키는 능력 사이에는 길고 깊은 연결이 있습니다. 이것은 지금 방대한 문헌입니다.

마지막으로, 최근에는 최적화 문제를 해결하기위한 소위 "리프트 앤 프로젝트"메커니즘에 많은 관심이있어 왔으며, 이는 기본 지오메트리를 많이 사용하고 더 높은 차원 공간으로 들어갑니다. 대수 지오메트리의 개념 여기서 중요한 역할.

계산은 정보 처리에 관한 것입니다. 정보 및 정보 처리의 본질적인 특성은 자연적으로 위상 개념으로 이어지지 만 (도메인 이론에 대한 Neel의 답변 참조), 결과적인 위상 공간이 Hausdorff (또는 아닌 경향이 있기 때문에 이는 기하학적 인 특성이 아닙니다.$T_1$ )가 . 그것들은 어떤 의미에서 "지향적"이므로 현상을 설명하기 위해 지시 된 지오메트리를 생각해 내야 할 것입니다. 그리고 상황을 공감하는 트릭이 있습니다 (본질적으로 머리에 서 있습니다).

정보 처리 ( "계산"이라고도 함)와 지오메트리의 관계를 이해하는 한 가지 방법은 정보 처리가 지오메트리 보다 우선 한다는 것 입니다. 이 관점은 물리의 특정 부분에 익숙해야합니다. 예를 들어 상대성 이론에서 우리 는 시공간 의 인과 적 구조 (정보 처리)와 기하학적 구조를 연구 합니다. 많은 사람들이 후자를 전자보다 기본이라고 생각합니다.

이러한 연결은 지난 몇 년 동안 컴퓨터 과학의 정보 이론적 측면과 상대성 이론을 연결하려는 노력이 있었음을 알 수있었습니다. 사람들이 해결하고 싶었던 작업 중 하나는 시공간의 인과 구조 (시공간의 부분적인 순서)에서 시작하여 시공간의 토폴로지를 재구성하거나 가능하면 지오메트리를 재구성하는 것이 었습니다. 부분 순서에서 토폴로지를 복구하는 것은 도메인 이론이 잘 맞는 일종이므로 성공했습니다.

참고 문헌 :

• 공간, 시간 및 인과 관계 모델링을위한 전산 구조 , Dagstuhl Seminar 06341, August 20-25, 2006

• 주요 Martin과 Prakash Panangaden : 인과 적 구조와 측정을 통한 시공간 기하학

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질문을 창의적으로 해석하면 GCT 이외의 다른 가능성이 떠 오릅니다. 한 가지 방법은 매우 보편적 인 결정 불가능한 문제 (일명 튜링 완전성)를 찾는 것입니다.

• 비주기 비행기 및 펜로즈 타일링 타일링 . 비행기의 비 주기적 타일링이 있는지에 대한 질문은 결정 불가능하다는 것이 입증되었습니다.

• 셀룰러 오토마타 는 점점 물리학, 많은 관련 결정 불가능한 문제, 입증 된 TM 완료와 밀접한 관련이있는 것으로 나타 났으며 TM 계산 테이블로 자연적으로 해석됩니다.

• Fractals 같은 알고리즘 . 보다 개발되지 않은 (즉, 활발한 연구) 영역이지만 복잡한 점과 같은 다양한 결정 불가능한 질문$(x,y)$그것은에 만델 브로트 집합 ?

• 역학 시스템 (Hainry)의 결정 불가능 성 , 때로는 물리학과 밀접한 관련이 있습니다. 다이나믹 시스템은 일반적으로 다차원 기하학적 해석을합니다.

• 비주얼 프로그래밍 언어 . 프로그램은 다른 유형의 정점 (예 : 조건부, 산술 연산) 등을 가진 (지시 된?) 그래프 유형으로 볼 수 있습니다.