경계 카디널리티 경계 주파수 세트 커버 : 근사 경도

다음 제한 사항의 최소 집합 적용 범위 문제를 고려하십시오 . 각 집합은 최대 요소를 포함 하고 유니버스의 각 요소는 최대 f 개의 세트 에서 발생 합니다.$k$$f$

• 예 : 이고 f = 2 인 경우 최대 차수가 4 인 그래프의 최소 정점 커버 문제와 같습니다.$k = 4$$f = 2$

하자 ( K , F ) > 1 발견되도록 최대 값 ( K , F ) 파라미터와 최소 세트 커버 문제 -approximation K 및 F 것은 NP-어렵다.$a(k,f) > 1$$a(k,f)$$k$$f$

• 예 : ( Berman & Karpinski 1999 ).$a(4,2) \ge 1.0128$

질문 : 에서 알려진 가장 강한 하한을 요약 한 참조가 있습니까? 특히 k 와 f 가 작지만 f > 2 인 경우 구체적인 값에 관심이 있습니다.$a(k,f)$$k$$f$$f > 2$

세트 커버 문제의 제한된 버전은 종종 축소에 편리합니다. 일반적으로 및 f 값을 선택할 때 약간의 자유가 있으며 , ( k , f ) 에 대한 추가 정보 는 가장 강한 경도 결과를 제공하는 올바른 값을 선택하는 데 도움이됩니다. 참조는 여기 , 여기 , 그리고 여기에서 시작 지점을 제공하지만, 정보가 다소 오래된 및 단편된다. 더 완벽한 최신 소스가 있는지 궁금합니다.$k$$f$$a(k,f)$

$(\Delta,k)$$(k,f)$$k$$\Delta$$k$$f$$\Delta$$k$

$\varepsilon > 0$$\Delta$

• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\leq k$
• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\geq k-1-\varepsilon$ Lev.에 의해 언급 된 바와 같이, (Dinur et al., 2004) .
• 고유 한 게임 추측이 참이면 으로 타이트합니다 (Khot & Regev, 2008) .$\sup_\Delta \{a(\Delta,k)\} \geq k-\varepsilon$

무시 하고$k$

• $\sup_k\{ a(\Delta,k) \}\leq \Delta$ (사소한).
• $\sup_k\{ a(4,k) \}\geq 2-\varepsilon$ (Holmerin, 2002)

두 매개 변수를 결합한 유일한 결과는

• $a(\Delta,k) \leq k - (1-o(1))\left(\frac{k(k-1)\ln\ln\Delta}{\ln(\Delta)}\right)$ 를 들어 고정 또는 천천히 성장 (Halperin, 2002)$k$$k$$\Delta$

이 문제와 (약한) 독립 세트 문제 사이에 관련이 있지만 근사 성 측면에서 이들이 어떻게 관련되어 있는지 확실하지 않습니다. 여기에서 시작하여이를 조사하는 것이 좋습니다. [PDF] .

제임스 왕의 대답, 표기법과 같이 사용하여 의 정점 커버의 최고의 다항식 시간 근사 최대 수준의 -uniform의 하이퍼 그래프 , 우리는 또한이$a(\Delta,k)$$k$$\Delta$

(1)$a(\Delta,k) \leq \ln \Delta + O(1)$

세트 커버 욕심 근사 알고리즘에서 : 최대 정도의 하이퍼 그래프의 정점 커버 이하인 크기의 세트와 세트 커버 문제와 동일 그리 디 알고리즘은 기껏 근사 비율을 갖고있는, , 여기서 은 고조파 함수입니다.$\Delta$$\Delta$$H_\Delta$$H_n = 1 + 1/2 + \ldots 1/n \leq \ln n + O(1)$

에서 이 논문 나는 것을 보여

(2)$\sup_k \{ a(\Delta ,k) \} \geq \ln \Delta - O(\ln\ln \Delta)$

의 감소에서 파라미터를 변경함으로써 아닌 한 .$P=NP$

만약 당신이 그것을 아직 찾지 못했다면; 최근 검색에서 찾은 경계도 정점 커버의 가장 최근 경도 결과는 Chlebik & Chlebikova입니다 (예 : 입방 그래프의 약 1.01 경도).

이것은 매우 귀하의 질문에 대답하지 않지만, 아마도 그것은 도움이 될 수 있습니다 -이 논문은 [Dinur 등. 2004] f> 2를 다루지 만 k를 고치지 않는 것 같습니다.