그래프의 사이클 수

몇 사이클 $C_k$ $(k \geq 3)$ 에있다 $n$ 그래프에 사이클이없는 정점 그래프 $C_m$ $(m>k)$ .

예를 들어 $n=5$ , $k=3$ 그래프는 최대 2 개입니다 $C_3$ 그래서 $G$ 없어요 $C_k (k > 3).$

나는 생각하고 있습니다 $O(n)$ 위의 조건을 만족하는 사이클이 있습니다.

어떤 사람이 나를 도울 수 있습니까?

graph-theory graph-algorithms

— 쿠마르
소스

정점에 의한주기에 대해 이야기하고 있습니까? 분리 사이클?

— Igor Shinkar

대답은 패리티에 따라 다를 수 있습니다

m - k

$m-k$ . 예를 들어, 5주기의 균형 잡힌 폭발을 고려하십시오. 이 그래프에는 6주기가 포함되어 있지 않지만 포함되어 있습니다.

Θ (n^{5})

$\Theta(n^5)$ 유도 된 5 사이클.

— Igor Shinkar

@ IgorShinkar 나는 "의 최대 수는 얼마입니까?

k

$k$ 사이클

n

$n$ 없는 정점 그래프

m

$m$ -주기

m > k

$m > k$ ? "그래서

m

$m$ 매개 변수, 그것은 보편적으로 정량화 것하지 않습니다

— Sasho 니콜 로프

나는 당신이 유도주기 (구멍)에 대해 이야기한다고 가정합니다. 최소 숫자를 원하면 반드시 빈 그래프 인 0입니다. 최대 수를 원하면 k = 3의 경우 n ^ 3입니다 (완전한 그래프 고려).

— Yixin Cao

@YixinCao k = 3의 경우, 'n'꼭짓점이있는 완전한 그래프를 고려하면 길이가 3보다 큰주기를 갖게됩니다. 그래프에 포함되지 않아야하는 길이 k의 최대 개수주기를 그래프에서 찾고 있습니다. k보다 긴 길이의 사이클

— Kumar

답변:

아니다 $O(n)$ 그렇지 않으면 $k=3$ . 에 대한 $k$ 완전한 이분 그래프에서 사이클의 최대 길이 $K_{n,k/2}$ 이다 $k$ , 길이 수 $k$ 사이클은 $(\frac{k}{2}-1)! n^{k/2}=\Theta(n^{k/2})$ . 예를 들어 $K_{2,n}$ 4 차의 2 차 수를 가지지 만 4보다 긴주기는 없습니다.

반면에, 일정한 경계 $k$ 가장 긴주기의 길이에서 실제로 삼각형의 수는 $O(n)$ . 깊이있는 첫 번째 검색 트리에서 각 가장자리는 두 끝점의 아래쪽에서 최대 조상으로 이동합니다. $k-1$ 물러서서 나무의 어떤 잎도 기껏해야 정도 $k-1$ 그리고 최대에 속한다 $\binom{k-1}{2}$ 삼각형. 이제 잎과 유도를 제거하십시오.

— 데이비드 엡스타인
소스

네, 맞습니다 :)

— virgi

작은 값을 확인하기 위해 짧은 clingo 프로그램을 작성했습니다 (최대 7 개의 정점 그래프를 신속하게 처리 할 수 있습니다.

나는이 테이블을 얻었다

                            n (vertices)
                         3   4   5   6   7

                      3  1   1   2   2   3

                      4      3   3   6  10

k (cycle length)      5         12  12  12

                      6             60  60

                      7                360

프로그램은 다음과 같습니다.

num(1..n).
is_sym_order(empty,0).
ncontains(empty,K) :- num(K).
is_sym_order(cons(K,empty),1) :- num(K).
last(cons(K,empty), K) :- num(K).
is_sym_order(cons(K,S),M+1) :- is_sym_order(S,M), ncontains(S,K), last(S,L), K > L.
ncontains(cons(K,S), J) :- J != K, ncontains(S,J), is_sym_order(cons(K,S),_).
last(cons(K,S), L) :- last(S,L), is_sym_order(cons(K,S),_).
sec_last(cons(A,S),A) :- is_sym_order(cons(A,S),2).
sec_last(cons(K,S), SL) :- sec_last(S,SL), is_sym_order(cons(K,S),_).
is_sub_order(cons(A,S), M) :- A > SL, sec_last(S,SL), is_sym_order(cons(A,S), M).

vertex(1..n).
{is_edge(V,W)} :- vertex(V), vertex(W), V < W.
sym_edge(V,W;W,V) :- is_edge(V,W).

is_path(cons(V,empty)) :- vertex(V).

is_path(cons(A,cons(B,S))) :- is_path(cons(B,S)), sym_edge(A,B), is_sym_order(cons(A,cons(B,S)),_).
is_cycle(cons(A,S)) :- is_path(cons(A,S)), is_edge(V,A), last(S,V), is_sub_order(cons(A,S),M), M >= k.

:- is_cycle(S), is_sub_order(S,M), M > k.
prim_cycle(S) :- is_cycle(S), is_sub_order(S,k).
:~ not is_cycle(S), is_sub_order(S,k).[1,S]

num_cycs(C) :- C = #count{is_cycle(S):is_cycle(S)}.
#show is_edge/2.
#show num_cycs/1.
#show prim_cycle/1.

— dspyz
소스