TCS에서 근본적인 역할을하는 "관련되지 않은"수학의 예?

일반적으로 컴퓨터 과학에 적용되는 것으로 간주되지 않은 수학 정리가 컴퓨터 과학의 결과를 입증하는 데 사용 된 예를 나열하십시오. 가장 좋은 예는 연결이 명확하지 않은 것이지만 일단 발견되면 분명히 "올바른 방법"입니다.

이것은 고전 수학에 대한 TCS의 적용 이라는 질문의 반대 방향입니다 .

예를 들어, 다변량 미적분학의 Green 's Theorem을 사용하여 격리 이론 (이미 기술적 증거를 사용하여 알려진)을 다시 입증하는 "평면 그래프의 녹색 정리 및 분리"를 참조하십시오 .

다른 예는 무엇입니까?

Maurice Herlihy, Michael Saks, Nir Shavit 및 Fotios Zaharoglou는 2004 년 분산 컴퓨팅의 일부 문제 연구에서 대수 토폴로지를 사용 하여 Godel 상을 수상했습니다 .

몇 년 전 Noga Alon 및 Muli Safra와 공동 저술 한 작품의 예가 있습니다.

Noga는 대수 토폴로지 고정 소수점 정리를 사용하여 "목걸이 분할 정리"를 증명했습니다. t 유형의 비드가있는 목걸이가 있고 b 유형간에 일부를 분할하여 각 유형에서 동일한 수의 비드를 얻는 경우 ( b를 t로 나눈다 고 가정하면, 항상 (b-1) t 개의 장소에서 목걸이를 자르면됩니다.

우리는이 정리를 사용하여 Set-Cover 근사 경도를 증명하는 데 사용하는 조합 객체를 구성했습니다.

더 많은 정보는 여기에 있습니다 : http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest.html

돌이켜 보면 이것은 명백 할 수 있지만, 나는 Steele, Yao, Ben-Or의 Oleinik-Petrovsky / Milnor / Thom 정리 (베티 수의 실제 반대 수 세트에 묶임)를 적용한 것을 항상 좋아했습니다. 대수 결정 트리와 대수 계산 트리 계산의 경계.

내가 가장 좋아하는 결과 중 하나는 Lovasz의 Kneser 추측 증거 에서 위상 주장을 사용 하고 Kahn-Saks-Sturtevant 공격 에서 위상 ( 및 그룹 이론적 ) 방법을 사용하여 회피에 대한 강력한 Aandera-Rosenberg-Karp 추측에 대한 것입니다. .

유한 그룹의 표현 이론은 행렬 곱셈 에 대한 Cohn-Kleinberg-Szegedy-Umans 접근법에서 사용됩니다 . 그들은 특정 조건을 만족하는 대칭 그룹을 가진 아벨 리아의 화환 제품 패밀리가 존재하면 2 차 복잡성의 행렬 곱셈 알고리즘이 있음을 보여줍니다.

(대수 그룹의) 표현 이론은 Mulmuley와 Sohoni의 하한에 대한 기하학적 복잡성 이론 접근 에서도 나타납니다 . 이 접근 방식으로 새로운 복잡성 결과가 아직 입증되지 않았기 때문에 이것이 응용 프로그램으로 간주되는지는 아직 확실하지 않지만, 처음에는 완전히 무관 한 것처럼 보이는 두 영역간에 흥미로운 연결이 이루어졌습니다.

그러한 예가 많이 있습니다. 복잡성 이론을 처음 알게되었을 때, 다항식의 근 (예 : Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton Lemma)에 대한 기본 이론이 대화식 증명이 다항식 공간을 시뮬레이션 할 수 있는지에 대한 질문과 관련이 있다는 것이 놀랍습니다 ( ). 물론, 다항식의 이러한 특성은 이미 이전 작업에서 사용되어 왔으며, 오늘날 "다항식"계산의 사용은 복잡한 이론에서 상당히 표준이되었습니다.$IP = PSPACE$

근사 이론 (낮은 다항식과 같은 간단한 함수로 복잡하거나 부 자연스러운 실제 값 함수를 근사화하는 방법)은 회로 복잡도, 양자 쿼리 복잡도, 의사 난 수성 등에서 많은 용도로 사용되었습니다.

나는이 지역에서 도구의 멋진 응용 프로그램 중 하나에서 오는 생각 이 그들이 서명 기능이 낮은에 의해 근사 될 수 있다는 사실을 이용하여 복잡성 수준의 PP가 교차로에서 닫혀 있는지 보여 주었다 Beigel, Reingold 및 Spielman의 종이 -합리적인 기능.

Nisan과 Szegedy 및 Paturi 는 낮은 정도의 다항식으로 대칭 함수를 근사 할 때 하한을 나타 냈습니다 . 이 방법은 Quantum 쿼리의 복잡성 하한을 증명하는 데 자주 사용됩니다. 예를 들어 Scott Aaronson의 강의 노트를 참조하십시오 .

또 다른 아름다운 아이디어 : Minimax 원칙을 사용하려는 Yao의 아이디어와 혼합 게임이 균형 알고리즘 (본질적으로 선형 프로그래밍 이중성)을 가짐으로써 무작위 알고리즘의 하한을 보여줍니다 (대신 입력에 대한 분포를 결정 론적 알고리즘으로 구성).

고정 소수점 정리는 모든 곳에 있습니다 ...

그러나 어디에서나 나타나는 지오메트리의 놀라운 예는 효과적인 비교 결과입니다. 여기에서 요소 집합에 정의 된 부분 순서 가 주어지면 주어진 부분 순서와 호환되는 객체의 순열 집합을 고려하십시오. 문제는 다음에 할 가장 효과적인 비교를 선택하는 것입니다. 즉, 새로운 부분 순서와 호환되는 순열 수를 줄이는 비교는 무엇입니까 (물론이 단일 비교 결과에 따라 두 가지 가능한 부분 순서가 있습니다). 순열의 수를 일정한 인수로 줄이는 비교가 항상있는 것으로 알려져 있습니다 (따라서 정렬 할 수 있습니다O ( 로그 n ! $n$$O(\log n!)$비교). 이 사실의 증거는 고차원 폴리 토프의 기하학적 구조를 통합니다. 특히이 증거는 Brunn-Minkowski 불평등을 사용합니다. 이에 대한 좋은 설명은 이산 기하학 강의에 관한 Matousek 책 (12.3 절)에 있습니다. 원래의 증거는 여기 에서 Kahn과 Linial의 것 입니다.

이론적 컴퓨터 과학 에는 정보 이론 이 많이 사용 됩니다. 통신의 압축에 관한 작업, 예를 들어 Barak, Braverman, Chen 및 Rao의 비교적 최근의 작업, 그리고 그에 대한 참조), 그리고 훨씬 더 많은 작업.

Alon과 Naor는 Grothendieck의 불평등을 사용 하여 max-cut 문제에 대한 근사 알고리즘 을 증명했습니다 . 나는 그 주제에 대한 후속 연구가 있다고 생각하지만 나는 전문가가 아닙니다.

흥미롭게도 Cleve, Hoyer, Toner 및 Watrous는 동일한 정리를 사용하여 양자 XOR 게임을 분석했으며 Linial 및 Shraibman은 양자 통신 복잡성을 위해이 정리를 사용했습니다. 내 지식까지, Grothendieck의 불평등과 양자 물리학의 기초 사이의 관계는 85에서 Tsirelson에 의해 발견되었지만, 언급 한 두 가지 결과는 특히 컴퓨터 과학에 관한 것입니다.

좋은 예는 배 링턴의 정리입니다.

$f$$d$$f$$4^d$

$S_5$

뻔뻔한 플러그 : 내에서 선형 쿼리에 대한 약 최적의 차등 개인 메커니즘을 설계에서 등방성 추측 (그리고 일반적으로 볼록 형상)의 사용 작업 과 모리츠 하트 .

위의 Suresh의 질문에 부분적으로 대답하기 위해, 나는 원래의 질문이 "일반적으로 컴퓨터 과학에 적용되는 것으로 간주되지 않기 때문에"약간 까다로운 질문이라고 생각합니다. 원래 "관련되지 않은"것처럼 보일 수있는 이러한 기술 중 일부는 시간이 지남에 따라 "정상"이됩니다. 따라서 가장 성공적인 기술 (예 : Kahn-Kalai-Linial의 푸리에 분석, Linial-London-Rabinovich의 메트릭 포함)은 더 이상 올바른 답변이 아닙니다.

첨가제 조합론 / 수론은 추출기 문헌에서 많이 사용되었습니다. 첫 번째 사례는 Paley 그래프가 좋은 추출기로 사용될 수 있다는 점에서 비롯된 것으로 생각되며, 가산 수 이론에 대한 몇 가지 미해결 질문은 더 나은 것을 암시합니다. 내가 아는 가장 초기의 참고 자료는 Zuckerman 1990 (그의 논문 참조 )이지만, 지난 몇 년 동안 TCS와 추가 조합론 사이에서 흥미로운 부분이 활발한 분야였다. ( Davi의 유한 필드 Kakeya 추측 에 대한 주요 하이라이트 중 하나는 물론 수학에 대한 TCS의 기여이며 다른 방식은 아닙니다.) A- 프리 오리 어 왜 이런 종류의 수학 문제가 합계와 제품에 관한지는 분명하지 않습니다 CS에 중요합니다.

Sleator, Tarjan 및 Thurston 은 쌍곡선 지오메트리를 사용하여 n정점 및 회전 거리 2n-6를 가진 무한한 이진 검색 트리 쌍 패밀리가 있음을 증명했습니다 .

$o(k^2)$

$k^2$

그래프를 희소 화하는 데 사용되는 선형 대수 :

Joshua D. Batson, Daniel A. Spielman, Nikhil Srivastava : Twice-ramanujan 스파 저 파이어. STOC 2009 : 255-262.

이것은 셀 수도 있고 그렇지 않을 수도 있지만, 최근에는 ZFA (Zermelo-Fraenkel with atoms) 및 Fraenkel-Mostowski (FM) 세트 이론이 이름 바인딩을 사용하는 추상 구문 연구에 적용되었습니다. ZFA는 20 세기 초에 CH의 독립성을 증명 한 다음 잊어 버렸지 만 1990 년대 후반 두 명의 컴퓨터 과학자 (Gabbay와 Pitts)가 완전히 연결되지 않은 것을 연구하면서 다시 발견했습니다.

참조 이 예를 들어 설문 조사 용지를.

칸과 김의 그래프 엔트로피 적용은 부분 정보 (http://portal.acm.org/citation.cfm?id=129731)에 따른 분류에 적용됩니다. 그들은 이론적으로 최적의 (최대 상수) 비교 횟수를 수행하는 최초의 다항식 시간 알고리즘을 제공했습니다. 이 논문은 볼록 지오메트리, 그래프 엔트로피 및 볼록한 프로그래밍과 함께 몇 가지 고전적인 조합 인수를 사용하는 수학에서의 소규모 현장 학습입니다. 더 간단한 알고리즘이 있지만 그래프 엔트로피없이 분석하는 방법을 여전히 알고 있습니다.

숫자 이론은 RSA 및 기타 공개 키 암호화 체계를 개발하는 데 사용되었습니다.

가라 쓰바 곱셈의 발견은 놀랍습니다.