붕괴되어

다양한 복잡성 포함 클래스 다항식 계층의 각 레벨 사이에 포함되어- , , 및 . 더 나은 용어가 없으면 다항식 계층에서 와 사이의 중간 클래스 로이 클래스 와 다른 클래스를 참조합니다 . 이 질문의 목적 상, 그것이 포함 된 클래스라고 가정 $\Delta_i^{\text{P}}$ $\text{DP}$ $\text{BH}_k$ $\Sigma_i^\text{P} \cap \Pi_i^\text{P}$ $i$ $i+1$ $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ 그러나이 포함 및 / 또는 . 가능한 경우 포함하지 않기를 원합니다. 가 수준으로 붕괴되면 와 거의 같습니다 . $\Sigma_i^\text{P}$ $\Pi_i^\text{P}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ $\text{PH}$ ${i+1}^{th}$

또한, 다음을 정의한다 :
$\text{DP}_i = \left \{ L \cap L' : L \in \Sigma_i^\text{P} \text{ and } L' \in \Pi_i^{\text{P}} \right \}$

위의 클래스 ( 라고도 함 )의 일반화입니다 . 이 정의에서 는 과 같습니다 . 다른 cstheory.se 질문 에서 고려됩니다 . 그것은 쉽게 볼 그 모두 포함 및 . $\text{DP}$ $\text{D}^\text{P}$ $\text{DP}$ $\text{DP}_1$ $\text{DP}_i \subseteq \Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $\Sigma_i^\text{P}$ $\Pi_i^\text{P}$

참조 다이어그램 :

PH의 다이어그램

질문 :
다항식 계층 구조가 수준으로 축소 되지만 수준으로 축소 되지 않는다고 가정 하십시오 . 즉, 및 입니다. ${i+1}^{th}$ $i^{th}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P}=\Pi_{i+1}^\text{P}$ $\Sigma_{i}^\text{P}\neq\Pi_{i}^\text{P}$

이 중간 클래스들과 이하의 다른 클래스들 사이의 관계에 대해 더 말할 수 있습니까 ? 모든 컬렉션에 대해 가 임의로 선택된 수준으로 정확히 축소 되는 경우에만 클래스가 동등한 복잡성 클래스 컬렉션에 대한 스키마가 있습니까? $i+1$ $\text{PH}$

후속 조치와 마찬가지로 계층 구조가 이러한 중간 클래스 중 하나 (예 : ) 로 축소되었다고 가정합니다 . 선택한 클래스에 따라이 붕괴가 계속해서 아래쪽으로 확장되어야하는지, 아마도 수준 까지 유지되어야하는지 알고 있습니까? $\Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $i^{th}$

위의 질문은 Hemaspaandra 등의 논문에서 부분적으로 탐구되고 대답되었습니다. al :
다항식 계층 구조 내에서 하향 축소
누군가가이 백서에 언급되지 않은 추가 예를 알고 있거나 클래스가이를 달성하기 위해 어떤 조치를 취해야하는지에 대한 직관이 있습니까?

cc.complexity-theory polynomial-hierarchy

— mdxn
소스

나는 좋은 대답이 없지만 복잡한 정신으로, 좋은 대답을 얻기가 어려울 수 있음을 암시하는 대답이 있습니다. :).

$\mathsf{\Sigma_i P}$ $i+1$ $i$ $\mathsf{\Sigma_i P}$ $\mathsf{\Sigma_{i+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{i+1} P}=\mathsf{\Sigma_{i+1} P}$
$\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$ $k$
Ker-I Ko 는 레벨 을 레벨과 분리하는 오라클을 제공합니다 . 이 두 계층 구조가 서로 얽혀 있기 때문에 최소한 수준 사이에서 문제의 있는 붕괴에 대한 정보를 제공합니다 . $\mathsf{BPH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$
이 다음 참조는 잘못된 방향이지만 결과 및 해당 기술에도 관심이있을 수 있습니다. Chang과 Kadin 은 부울 계층 ( 의 두 번째 수준 아래 에 있지만 를 전체 계층으로 확장)이 번째 수준으로 축소되면 무너지는 것으로 나타 받는 통해 부울 계층 번째 레벨 . $\mathsf{PH}$ $\mathsf{DP}$ $k$ $\mathsf{PH}$ $k$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$

— 조슈아 그로 호프
소스

한다 가

Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P

$\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_k P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$

Δ_{k} P = Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k + 1} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P ?

$\mathsf{\Delta_{k} P}=\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}?$

— T ....

미안하지만 나는 맞습니까? 예 :

Σ_{k - 1}^{P} \cup Π_{k - 1}^{P} \subseteq Δ_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{p} \cap Π_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{P} \cup Π_{k}^{P}

$\Sigma_{k-1}^P\cup\Pi_{k-1}^P\subseteq \Delta_k^P\subseteq \Sigma_k^p\cap\Pi_k^P\subseteq \Sigma_k^P\cup\Pi_k^P$

P = Σ_{0}^{P} \cup Π_{0}^{P} = P \cup P \subseteq Δ_{1}^{P} = P \subseteq Σ_{1}^{p} \cap Π_{1}^{P} = N P \cap c o N P \subseteq Σ_{1}^{P} \cup Π_{1}^{P} = N P \cup c o N P \subseteq Δ_{2}^{P} = P^{N P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cap Π_{2}^{P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cup Π_{2}^{P} \dots

$P=\Sigma_{0}^P\cup\Pi_{0}^P=P\cup P\subseteq \Delta_1^P=P\subseteq \Sigma_1^p\cap\Pi_1^P=NP\cap coNP\subseteq \Sigma_1^P\cup\Pi_1^P=NP\cup coNP\subseteq \Delta_2^P=P^{NP}\subseteq\Sigma_2^P\cap\Pi_2^P\subseteq\Sigma_2^P\cup\Pi_2^P\dots$

— T ....