구간 목록 사이의 모노톤 바이 젝션

다음과 같은 문제가 있습니다.

입력 : 간격 와 의 두 세트 (모든 엔드 포인트는 정수임). 쿼리 : 모노톤 bijection 있습니까? $S$ $T$
$f:S \to T$

bijection은 와 에 설정된 포함 순서로 모노톤 입니다. $S$ $T$

\forall X \subseteq Y \in S, f (X) \subseteq f (Y)

$\forall X\subseteq Y \in S, \ f(X) \subseteq f(Y)$

[여기서 반대 조건이 필요하지 않습니다. 업데이트 : 반대 조건이 요구 된 경우, 즉, 가 해당 포함 된 posets의 동형 테스트 금액 때문에,이는이 (PTIME에있을 것입니다 주문 치수 MOHRING 의해 PTIME에 의해 구성 2), 순서 집합의 계산식으로 취급 용이 한 클래스 , 정리 5.10, P. 61. $\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$ ]

문제에 : 주어진 경우, 우리가 효율적으로 확인할 수 모노톤 전단 사 함수이다. $\mathsf{NP}$ $f$

이 문제에 대한 다항식 시간 알고리즘이 있습니까? 아니면은 -hard? $\mathsf{NP}$

이 문제는 일반적으로 주문 차원 2 의 두 주어진 포즈 사이에 모노톤 bijection의 존재로 표현 될 수 있습니다 .

이 질문 에 대한 답변에서 영감을 얻은 축소를 사용 하면 치수가 제한되지 않은 경우 문제가 hard 라는 것을 알고 있습니다. 그러나 치수가 제한 될 때 축소가 작동하는지 확실하지 않습니다. $\mathsf{NP}$

또한 치수가 2가 아닌 임의의 상수로 묶일 때 다루기 쉬움에 대해 알고 싶습니다.

— a3nm
소스

S

$S$

I_{1}, I_{2}, . . ., I_{n}

$I_1,I_2,...,I_n$

n + 1

$n+1$

I_{i} \subseteq I_{j}

$I_i \subseteq I_j$

(I_{j} \to I_{i})

$(I_j \rightarrow I_i)$

I_{i} \subseteq I_{j_{1}}, . . ., I_{j_{m}}

$I_i \subseteq I_{j_1},...,I_{j_m}$

| I_{j_{1}} | = | I_{j_{2}} | = . . . = | I_{j_{m}} |

$|I_{j_1}|=|I_{j_2}|=...=|I_{j_m}|$

(I_{j_{k}} \to I_{i})

$(I_{j_k} \rightarrow I_i)$

T

$T$

간격은 비교할 수없는 여러 간격에 포함될 수 있습니다. 예를 들어 [2, 3]이 [1, 3] 및 [2, 4]에 포함되어 있으므로 트리 구성이 트리가 아닌 방향성 비순환 그래프를 생성한다고 생각합니다. 두 개의 DAG가 동형인지 확인하는 것이 일반적으로 NP-hard라고 생각합니다.

— a3nm

당신이 맞습니다, 위의 접근 방식이 올바르지 않습니다!

— Marzio De Biasi

\forall X, Y, X \subseteq Y \Leftrightarrow f (X) \subseteq f (Y)

$\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$

@ MohammadAl-Turkistany : Marzio의 답변에 대한 의견에서 cf 토론

— a3nm

다음은 역 조건이없는 문제가 NP-hard임을 증명하려는 시도입니다.

$S$

 [S]  +-a-+ +-b-+
      +---c-----+  c<a, c<b (here < is interval inclusion)

$T$

 [T]  +-x-+      f(a)=x, f(b)=y, f(c)=z
      +-y---+    
      +-z-----+  z<x, z<y OK

$3m$ $A = \{a_1,a_2,...,a_{3m}\}$ $B$ $m$ $A_1,...,A_m$ $A_i$ $B$

이라고 가정하자 $max = \sum a_i + 3m$

$S$ $3m$ $BI_i$ $3*max$ $max$ $BI_i$ $a_i$ $L$ $BI_i$ (그림에서 파란색 선).

$T$ $L$ $m$ $G_j$ $G_j$ $B$

간격 포함을 유지하는 S와 T 사이에 (S에서 T 로의 한 방향으로) 사절이 있다고 가정하십시오.

$max$ $BI_{j_1},BI_{j_2},BI_{j_3}$ $S$ $G_j$ $BI_{j_k}$ $G_j$

비슷한 방식으로 bijection이 있으면 원래의 단항 3- 파티션 문제에 해결책이 있음을 증명할 수 있습니다.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오 단항 3 파티션 문제 축소 예 $m=2, A = \{3,3,2,2,2,2\}, B = 7$

참고 : 주석에서 관찰 된 바와 같이, S 및 T에서의 청색 간격 L은 감소에 필수적이지 않다.

$I_i \subseteq I_j$ $(I_j \rightarrow I_i)$

— 마르 지오 데 비아시
소스

그렇습니다. 정말 감사합니다. (단지 : 감소 간격을 만들기 위해 파란색 간격이 필요하지 않습니다.)이 감소가 효과가 있는지 의심 할만한 이유가 없으면 곧 받아 들일 것입니다.

— a3nm

@ a3nm : 예.하지만 그림을 그린 후에 발견했습니다 :-). 나는 여전히 감축에 숨겨진 오류가 없다는 것을 100 % 확신하지 못합니다 (더욱이 2 주 만에 단항 3 파티션을 사용하는 NP- 완전 증거를 찾는 것은 두 번째입니다 ...- 매우 이상합니다 :-)

— Marzio De Biasi

아니, 옳은 것 같습니다 : 3 파티션에 대한 솔루션은 분명히 간격 문제에 대한 솔루션을 제공합니다. 이제 간격 문제에서 3 파티션으로 넘어갑니다. 간격 매핑은 반드시 마커 간격 때문에 빨간색 간격을 빨간색 간격으로 매핑합니다. 동일한 수의 빨간색 간격이 있으므로 매핑에 의한 이미지의 간격이 빨간색입니다. 마커는 오른쪽 빨간색 간격에 매핑됩니다 (그렇지 않으면 자손이면서 최소 임). 이제 빨간색이 빨간색으로 매핑되고 마커가 예상대로 매핑되면 숫자가 일치해야하므로 올바른 파티션이 있습니다. 나는 그것이 의미가 있다고 생각합니다!

— a3nm

@ a3nm : 나는 당신이 대답을 받아 들인 것을 보았습니다. 공동 논문을 작성하기에 충분히 흥미로운 결과라고 생각하십니까?

— Marzio De Biasi

T

$T$

f

$f$