국제 드래프트를 올바르게 플레이하는 것은 NP-hard입니까?

다음은 NP-hard 문제입니까?

국제 초안에 대한 보드 구성이 주어지면 단일 법적 조치를 찾으십시오.$n\times n$

미국 체커 (일명 영어 draughts)에 해당하는 문제 는 다항식 시간으로 사소하게 해결 될 수 있습니다. 이 두 게임 사이에는 세 가지 주요 차이점이 있습니다.$n\times n$

첫 번째이자 가장 중요한 차이점은“비행 왕”규칙입니다. 체커에서, 왕은 인접한 상대방의 조각을 대각선 방향으로 2 단계 떨어진 빈 사각형으로 뛰어 넘을 수 있습니다 . 국제 드래프트에서 왕은 대각선을 따라 임의의 거리를 움직여 상대방의 조각을 임의의 거리만큼 뛰어 넘을 수 있습니다 .

체커에서와 같이 동일한 조각을 사용하여 한 번에 일련의 조각을 캡처 할 수 있습니다. 그러나 체커와 달리 국제 초안에서 캡처 한 작품은 전체 시퀀스가 ​​끝날 때까지 제거되지 않습니다. 캡처 한 조각이 같은 빈 사각형에 여러 번 뛰어 오거나 떨어질 수 있지만 상대방의 조각을 두 번 이상 뛰어 넘을 수는 없습니다.

마지막으로 체커와 국제 초안 모두 강제 캡처 규칙이 있습니다. 상대방의 조각을 캡처 할 수 있다면 반드시해야합니다. 그러나 여러 옵션이 여러 개있는 경우 규칙 규칙에 동의하지 않습니다. 체커에서는 최대 캡처 순서를 선택할 수 있습니다 . 즉, 캡처 피스가 더 이상 캡처 할 수 없을 때 끝나는 캡처 시퀀스를 선택할 수 있습니다. 국제 드래프트에서는 가장 긴 캡처 순서를 선택 해야 합니다 . 따라서, 내 문제는 해당 다음과 :

국제 초안에 대한 보드 구성이 주어지면, 반대편의 최대 수를 포착하는 움직임을 찾으십시오.$n\times n$

다음 문제가 NP- 완전하다는 것을 증명하는 것으로 충분합니다. (확실히 NP에 있습니다.)

왕만 포함 된 국제 초안 의 보드 구성을 감안할 때 한 명의 플레이어가 한 번에 상대방의 모든 조각을 캡처 할 수 있습니까?$n\times n$

해당 체커 문제는 다항식 시간으로 답변 될 수 있습니다. 이것은 재미있는 숙제 운동입니다. 문제는 Demaine, Demaine 및 Eppstein의 Phutball endgames 분석과 유사합니다 . 재미있는 숙제 연습에 대한 해결책이 논문 끝에 나타납니다. 해결책은 Frankel 등 의 FOCS 1978 논문에도 나와 있습니다. 그것은 체커를 최적으로 플레이하는 것이 PSPACE-hard임을 증명합니다. 체커가 실제로 EXPTIME-complete라는 Robson의 1984 증거 를 참조하십시오 .

자, 여기 축소가 있습니다. 결국 평탄성이 필요하지 않습니다. 또한, "법적 움직임을 찾으십시오"에 대해, 나는 결정 문제를 "이동 X는 합법적입니까?"라고 생각합니다.

먼저 조각 대신 대각선이 아닌 직각으로 움직이는 게임으로 작업 해 봅시다. 이 게임은 우리가 사용하지 않는 가장자리 속성을 제외하고 동등합니다 (드래프트 보드가 45도 회전 된 것을보십시오). 우리는 두 가지 가제트를 사용합니다 : 병합 / 분할 및 크로스 오버. http://www.hearn.to/draughts.pdf를 참조 하십시오 . 우리는 움직일 보드에 하나의 백인 왕이 있다고 가정합니다. (다른 조각은 많은 수의 조각을 캡처 할 수 없습니다.) 표시된 복도를 따라 이동하면서 길을 따라 검은 조각을 캡처합니다.

먼저, 병합하십시오 : 왕이 N 경로 A 중 하나에 들어가면 (표시되지 않은 검은 조각을 캡처하여) B에서 나갈 수 있습니다. 마찬가지로 가젯을 뒤집어 놓고 B에 들어가면 표시된 조각을 캡처합니다. 경로 A를 따라 나갈 수 있습니다 (다시 검은 색 외부 캡처). 이 도구는 일회용 가제트입니다 (종료 검은 조각은 한 번만 캡처 할 수 있기 때문에).

둘째, 크로스 오버. 왕이 A (C)를 통해 들어 오면 B (D)에서 나올 수 있습니다. 그것은 캡처 중이 아닌 이동 세그먼트이기 때문에 중간에서 멈추고 경로를 변경할 수 없습니다.

이제 유향 그래프가 주어지면 다음과 같이 해당 게임 구성을 구성하십시오. 각 정점에 대해 분할로 공급되는 병합을 구성하십시오. 필요에 따라 크로스 오버를 사용하여 종료 출력이 연결되는 정점에 해당하는 정점 가젯 (병합 + 분할)의 병합 입력으로 분할 출력을 라우팅합니다. 모든 정점에 대한 추가 입력으로 왕을 시작하십시오 (정점으로 들어가기 위해 검은 조각으로 캡처하십시오).

마지막으로, 필요에 따라 출력 / 입력 경로를 따라 검은 색 조각을 추가하여 모든 "가장자리 길이"를 균일화하십시오. V 꼭지점이 있고 각 모서리를 따라 k 개의 검은 조각이 있으면 왕은 해당 그래프의 해밀턴 회로가있는 경우에만 2V + kV + 1 조각을 캡처 할 수 있습니다. 왕이 대체 이동이 가능한 경우 2V + kV 조각의 간단한 체인을 캡처하여 대체 이동이 합법적인지 여부를 결정하는 것은 NP- 완료입니다.

다음은 Bob의 축소에 대한 가능한 대안입니다. 이번에는 (방향이 지정되지 않은) Hamiltonian주기입니다. 세부 사항이 정확하다는 것을 100 % 확신하지 못합니다 (이미 여러 문제를 발견하고 수정했습니다). 그러나 정확한 증거로 마사지 할 수 있다고 확신합니다. Bob이 지적한 것처럼이 축소에는 심각한 버그가 있습니다. 백인 왕은 보드를 통해 정식 경로에서 쉽게 벗어날 수 있습니다. 이 버그는 적절한 위치에서 밥의 크로스 오버 가젯을 추가하여 해결할 수 있습니다 (내 생각) 하지만, 그것은 자신의 감소에서 유의 한 차이가있다.

$G$$n$$m$$G$$-1$

$O(n^2)\times O(n^2)$$O(n^2+m)$$k$$k$$hn$$h$

$k$$k$$k$$(i,j)$$i$$j$$x$$y$

$hn^2+4n$$G$

논문을 연구 할 때 왜이 문제를 제기하지 않았습니까?

좋아, 나는 평면 ​​지시 해밀턴 사이클에서 감소했다.