경계 트리 폭 그래프에서 r- 도미 네이션 세트에 대한 정확한 알고리즘

그래프 주어 , I는 최적의 찾을 r에 대한 -domination G를 . 그게 내가 부분 집합의 원 인 S 의 V는 모든 정점 있도록 G는 최대의 거리에있다 연구 의 일부 정점에서 S 의 크기를 최소화하면서, S를 .$G = (V, E)$$r$$G$$S$$V$$G$$r$$S$$S$

찾는이 관련 문제가 있습니다 : 내가 지금까지 확인 한 바로는, 나는 다음 얻었다 부분 집합이다 그래프에 -CENTER을 S 대부분에서 크기를 K 그래프의 모든 정점이되도록을 Demaine et al . 은 S의 일부 정점에서 최대 r 의 거리 에서 (여기서 | S | ≤ k 와 r 은 입력의 일부 임) 평면 그래프를위한 FPT 알고리즘이 있습니다. 그렇지 않으면 문제는 r = 1 인 경우 W [ 2 ] -hard입니다 .$(k,r)$$S$$k$$r$$S$$|S| \leq k$$r$$W[2]$$r = 1$

제한된 나무 너비 그래프 또는 심지어 나무에 대한 도미 네이션 문제 의 정확한 복잡성에 대해 알려진 것이 있습니까? ( r- 지배 MSO가 정의 할 수 있는가? 일반적인 k- 지배 세트 문제는 MSO가 정의 할 수 있으며, 이는 쿠 르셀 정리를 사용하여 문제에 대한 선형 시간 알고리즘이 있다는 결론을 내릴 수있게한다). 이 문제와 관련하여 알려진 조건부 경도 결과가 있습니까?$r$$r$$k$

(최적의) -domination 대한 G 위한 된 (최적의) 지배 R 승 G의 R 반대로 역도 ( G의 R은 로부터 얻어지는 G 많아야 거리 구별 정점 간의 새로운 에지를 추가하여 R ).$r$$G$$r$$G^r$$G^r$$G$$r$

다음의 사실들이 잘 알려져있다 : (1) 강한 화음 그래프의 모든 힘은 매우 화음이다 (A. Lubiw, Master thesis; Dahlhaus & Duchet, 강한 화음 그래프, Ars Combin. 24 B (1987) 23-30 ), 그리고 (2) 지배는 강한 화음 그래프에 대해 선형 시간으로 해결할 수 있습니다 (M. Farber. 지배, 강한 화음 그래프에서 독립적 지배 및 이원성, Discrete Appl. Math., 7 (1984) 115–130). 따라서 지배는 강한 화음 그래프, 특히 나무에 대한 다항식 시간으로 풀 수 있습니다 ( r 고정 또는 비 고정).$r$$r$

Gurski 및 Wanke은으로 증명 이 논문 의 도당 폭 것을 많아야 인 2 ⋅ ( R + 1 ) TW ( G ) + 1 - 2 , TW ( G는 ) 의 트리 폭 G . 따라서, 고정 된 r에 대해 , 경계가있는 트리 폭 그래프 의 r 번째 거듭 제곱은 경계 폭에 경계를 두었다. 따라서, 고정 된 r에 대해 , r- 지배는 제한된 트리 폭 그래프에 대한 다항식 시간으로 해결할 수 있습니다 (Courcelelle의 정리에 의해). $G^r$$2\cdot (r+1)^{\text{tw}(G)+1}−2$$\text{tw}(G)$$G$$r$$r$$r$$r$

이 문제에 대해 treewidth 그래프에서 동적 프로그래밍을 수행하는 것은 매우 쉽습니다 . 백의 각 정점에 대해 부분 솔루션의 일부 정점까지의 최단 거리와 미지정 정점을 지배하는 데 필요한 미래 솔루션까지의 거리를 유지할 수 있습니다.$k$

이것은 전체적으로 테이블 크기가 되므로 고정 r의 경우이 문제는 FPT가 트리 폭으로 매개 변수화되지만 r 이 수정되지 않으면 XP 알고리즘이됩니다. 내가 아는 한이 문제가 FPT인지 여부는 r의 모든 값에 대해 열려 있습니다.$O(r^k)$$r$$r$$r$

Dawar와 Kreutzer 는 평면 그래프, 경계가있는 (로컬) 트리 너비 그래프 및 (로컬로) 제외 된 마이너가있는 모든 클래스를 포함하는 밀도가 높은 그래프 클래스에서 문제가 해결 될 수있는 고정 파라미터라는 것을 보여주었습니다.

드보락 (Dvorak) 은 평면 그래프, 경계 트리 폭 그래프 및 마이너가 배제 된 모든 클래스를 포함하는 경계 확장 클래스에 대해 다항식 시상수 계수 근사가 있음을 보여주었습니다.

Glencora Borradaile의 Hung Le : 트리 분해에 대한 r- 지배 문제에 대한 최적의 동적 프로그램 (IPEC 2016) 의 최근 논문이 있습니다 . 여기에서 그들은 입력으로 주어진 그래프 , 정수 r , 너비 w 의 G 의 트리 분해를 제공 하고 시간 O ( G) 의 최적 r 우세 세트를 계산합니다 ( ( 2 r + 1 ) w n ) . 시간 실행하는 알고리즘 : 또한, 그들은이 최고의 다음과 같은 의미에서, 할 수있는 한 것을 보여 O를 ( ( $G$$r$$G$$w$$r$$G$$O((2r+1)^wn)$ 에 대한$O((2r+1-\epsilon)^wn^{O(1)})$지수 지수 가설과 모순됩니다.$\epsilon > 0$

트리에 대한 최적의 r- 지배를 계산하는 선형 순차 알고리즘은 다음과 같습니다.

슬레이터 그래프의 R- 지배. J. ACM, 23 (3) : 446-450, 1976 년 7 월. doi : 10.1145 / 321958.321964

동일한 설정에 대한 분산 알고리즘은 Turau와 Köhler에 있습니다.

Volker Turau와 Sven Köhler. 트리에서 최소 거리 -k 지배를위한 분산 알고리즘. 그래프 알고리즘 및 어플리케이션 저널, 19 (1) : 223–242,5 ( http://jgaa.info/getPaper?id=354 참조 )