행렬 집합의 범위에 순열 행렬이 포함되어 있는지 확인하는 다항식 시간 알고리즘이 있습니까?

주어진 행렬 집합의 범위에 순열 행렬이 포함되어 있는지 확인하는 다항식 시간 알고리즘을 찾고 싶습니다.

이 문제가 다른 복잡성 클래스인지 여부를 아는 사람도 도움이 될 것입니다.

편집 :이 질문에 선형 프로그래밍 태그를 지정했습니다. 왜냐하면 그러한 솔루션이 존재하면 일종의 선형 프로그래밍 알고리즘이 될 것이라는 강한 의혹이 있기 때문입니다. 내가 믿는 이유는 Birkhoff 폴리 토프 의 극단 점이 정확히 순열 행렬 이기 때문 입니다. Birkhoff 폴리 토프의 꼭짓점에서만 최대화되거나 최소화되는 목적 함수를 찾을 수 있으면 함수를 폴리 토프와 벡터 부분 공간의 교차로 제한 한 다음 다항식 시간으로 최대화 할 수 있습니다. 이 값이 순열 행렬 인 경우 집합에 순열이 포함되어 있음을 알 수 있습니다. 이것들은 주제에 대한 나의 생각입니다.

편집 2 : 좀 더 생각하면 순열 행렬이 정확하게 Euclidean norm 인 Birkhoff Polytope의 요소 인 것처럼 보입니다 . 우리는 Birkhoff polytope을 의 볼록 껍질로 간주합니다. 순열 행렬. 아마도 그것은 또한 중요 할 수 있습니다. $\sqrt{n}$ $n \times n$

편집 3 : 반 주석 프로그래밍 태그를 추가했습니다. 왜냐하면 이전 주석 후에 반 제한 프로그래밍 솔루션이 선형 제약 이차 최적화 알고리즘이기 때문에 반 유한 프로그래밍 솔루션이 가능하다고 생각하기 시작했습니다.

— 새긴 금
소스

입력 행렬에는 어떤 유형의 항목이 있습니까?

$\;$

항목은 어느 필드 에나있을 수 있습니다. 행렬을 설정하는 방법에는 약간의 자유가 있습니다. 그러나 충분히 큰 필드를 원합니다 (따라서 특성 2의 필드는 좋지 않습니다).

— Nick

행렬 집합의 범위가 무엇인지 설명 할 수 있습니까?

— Mohammad Al-Turkistany

Mohammad : 매트릭스 세트의 선형 조합이라고 생각합니다.

— Vivek Bagaria

@DavidRicherby 저는 모하마드의 혼란이 일반적으로 우리가 행렬을 선형 맵을 나타내는 것으로 생각하고 선형 맵의 범위가 때때로 그 범위의 다른 용어로 사용된다는 사실에서 비롯된 것 같습니다. 그러나 여기서는 의미가 없으므로 행렬을 벡터 공간의 요소로 생각해야한다고 생각합니다.

— Sasho Nikolov

답변:

정리. 게시물의 문제는 Subset-Sum을 줄임으로써 NP-hard입니다.

당연히 문제가 op에 의해 요청 된 폴리-시간 알고리즘을 갖지 않을 가능성이있다.

여기 직감이 있습니다. 게시물의 문제는

주어진 행렬 집합의 범위에 순열 행렬이 있습니까?

이것은 본질적으로

행렬을 벡터로 생각하면 주어진 선형 제약 조건을 만족시키는 순열 행렬이 있습니까?

이것은 차례로

발생 벡터가 주어진 선형 제약 조건을 만족시키는 완벽한 일치 (완전한 이분 그래프에서)가 있습니까?

후자의 문제로 부분 집합을 줄이는 것이 표준 연습입니다.

자세한 증거는 다음과 같습니다.

다음 중간 문제를 정의하십시오.

일치하는 합계 :

입력 : 음이 아닌 정수 간선 가중치와 음이 아닌 정수 목표 갖는 완전, 이분 그래프 . $G=(U,V,E)$ $T$

출력 : 는 정확히 와 정확히 일치하는 가중치를 포함 합니까 ? $G$ $T$

렘마 1 . 부분 집합 합 폴리 시간이 일치 합으로 줄어 듭니다.

이것이 표준 숙제 연습임을 증명합니다. 증거는 끝났습니다.

Lemma 2. Matching-Sum poly-time은 게시물의 문제를 줄입니다.

Lemma 증명 2. Matching-Sum 입력 수정 : 음이 아닌 정수 간선 가중치 포함한 완전한 이분 그래프 및 대상 , 여기서 및 . 각각의 $G=(U,V,E)$ $w:U\times V\rightarrow \mathbb{N}_+$ $T\in \mathbb{N}_+$ $U=\{u_1,\ldots,u_n\}$ $V=\{v_1, \ldots, v_n\}$ , 을 의 행렬로 여기서 및 $i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$ $M^{(ij)}$ $\mathbb{R}^{(n+1)\times (n+1)}$ $M^{(ij)}_{ij} = T$ 및 기타 모든 항목은 0입니다. 축소는 다음 행렬 세트를 출력합니다. 이것은 감소를 정의합니다. $M^{(ij)}_{n+1,n+1}=w(u_i, v_j)$

{엠^{(나는 j)} : 나는, j \in {1, \dots, 엔}} .

$\big\{M^{(ij)} : i,j\in\{1,\ldots,n\}\big\}.$

청구. 행렬들의 세트의 범위는 이러한 매트릭스 구성 선형 제약 조건을 만족하는 모두 및 선형 구속 조건 $M \in\mathbb{R}^{(n+1)\times(n+1)}$ $M_{h,n+1} = M_{n+1,h} = 0$ $h\le n$

\sum_{나는 = 1}^{엔} \sum_{j = 1}^{엔} 엠_{나는 j} 승 (유_{나는}, V_{j}) = 티 엠_{엔 + 1, 엔 + 1} .

$\textstyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n M_{ij}\,w(u_i, v_j) = T\, M_{n+1,n+1}.$

( 제 증명. 검사 행렬 각각에 의해 의 설정을 만족 이러한 제약 때문에, 그 행렬의 모든 선형 조합한다. 반대로, 만일 를 만족 제약 그런 다음 은 선형 조합 $M^{(ij)}$ $M\in\mathbb{R}^{(n+1) \times (n+1)}$ $M$ 의 행렬, 여기서입니다. 특히 참고하여 설명 된 다양한 정의 선형 제약함으로써 $M'=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} M^{(ij)}$ $\alpha_{ij} = M_{ij}/M^{(ij)}_{ij} = M_{ij}/T$ 이것은 주장을 증명합니다.)

엠_{엔 + 1, 엔 + 1}^{'} = \sum_{나는 j} α_{나는 j} 승 (유_{나는}, V_{j}) = \sum_{나는 j} 엠_{나는 j} 승 (유_{나는}, V_{j}) / 티 = (티 엠_{엔 + 1, 엔 + 1}) / 티 = 엠_{엔 + 1, 엔 + 1} .

$\textstyle M'_{n+1,n+1} = \sum_{ij} \alpha_{ij} w(u_i, v_j) = \sum_{ij} M_{ij} w(u_i, v_j)/T = (T\, M_{n+1,n+1})/T = M_{n+1,n+1}.$

이제 축소가 올바른지 보여줍니다. 즉, 주어진 그래프 는 행렬 세트가 순열 행렬에 걸쳐있는 경우에만 가중치 매칭을 갖는다 . $G$ $T$

( 경우에만. ) 먼저 주어진 가정 그래프 체중 갖는 완벽한 매칭 . 하자 해당 될 되도록 첨가 추가 로우 및 컬럼 순열 행렬, 과 $G$ $T$ $M'$ $M\in\{0,1\}^{(n+1)\times (n+1)}$ $n\times n$ $M_{n+1,n+1} = 1$ 모두. 이어서의 무게 이며,및 $M_{h,n+1}=M_{n+1,h}=0$ $h\le n$ $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n M_{ij} w(u_i, v_j)$ $M'$ $T$ $M_{n+1,n+1}=1$ 따라서 청구항의 선형 구속 조건이 유지되고 주어진 행렬 세트의 범위는 순열 행렬 포함합니다 . $M$

( 경우. ) 역은 스팬 모든 순열 행렬 포함 가정 . 주장에 따르면, 행 또는 열 0이 아닌 유일한 항목 은 이므로 ( 은 순열 행렬이므로) 입니다. 따라서 마지막 행과 열을 삭제하면 순열 행렬이 제공됩니다. 완벽하게 일치 시키십시오. $M$ $n+1$ $n+1$ $M_{n+1,n+1}$ $M$ $M_{n+1,n+1} = 1$ $n\times n$ $M'$ 그 순열 행렬에대응하는의 중량 인 (청구항에 의한)이고, . 주어진 그래프 있도록 체중 갖는 보조 정리 2를 증명 매칭 $G$ $n\times n$ $M'$ $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n M_{ij} w(u_i, v_j)$ $T M_{n+1,n+1} = T$ $T$ $~~\Box$

Lemma 1의 지연된 증거는 다음과 같습니다.

Lemma의 증명 1. 서브 세트 합계 인스턴스 주어지면 축소는 Matching-Sum 인스턴스 여기서 , $(w,T)\in\mathbb{N}^n_+ \times \mathbb{N}_+$ $(G=(U,V,E), T)$ $U=\{u_1, u_2, \ldots, u_{2n}\}$ , 각 에 대해 edge 가중치는 이고 나머지 모든 모서리의 가중치는 0입니다. $V=\{v_1, v_2, \ldots, v_{2n}\}$ $i\in\{1,\ldots,n\}$ $(u_i, v_i)$ $w_i$

합산 된 엣지 가중치와 완벽하게 일치하는 경우 세트는 주어진 Subset-Sum 인스턴스에 대한 솔루션입니다. 무게가 0 인 가장자리 ). $T$ $S=\{i : (u_i, v_i)\in M, i\le n\}$ $M$

반대로 말하는 부분 합 인스턴스에 대한 해결책 주어진 와 , 에지들의 집합을 이고 가중치 와 부분적으로 일치하며 , 예를 들어 다음과 같은 (제로 가중치) 모서리 세트를 추가 하여 가중치 완벽한 일치로 쉽게 확장됩니다 . $S\subseteq\{1,\ldots,n\}$ $\sum_{i\in S} w_i = T$ $\{(u_i, v_i) : i \in S\}$ $T$ $T$

{(유_{나는 + 엔}, V_{나는 + 엔}) : 나는 \in 에스} \cup ⋃_{나는 \in {1, \dots, 엔} ∖ 에스} {(유_{나는}, V_{나는 + 엔}), (유_{나는 + 엔}, V_{나는})} .

$\{(u_{i+n}, v_{i+n}) : i\in S\} \cup \bigcup_{i\in\{1,\ldots,n\}\setminus S}\{(u_i, v_{i+n}), (u_{i+n}, v_{i})\}.$

이것은 정리 1을 증명합니다. 정리는 정리 1과 2에서 $~~~\Box$

ps 따로, 이 답변 에 따르면 폴리 노미 바운드 엣지 가중치가있는 인스턴스에 대한 Matching-Sum 제한은 P입니다. 그러나 폴리 노미 바운드가있는 행렬에 대한 게시물의 문제 제한은 정수 ) 항목은 NP 하드 상태로 유지됩니다.

— 닐 영
소스

스팬이 아닌 행렬의 볼록 껍질을 취하는 것 같습니다. 설명한 행렬의 범위는 행렬의 전체 공간입니다. 아니면 뭔가 빠졌습니까?

— 바네사

@Squark, 당신은 맞습니다-나는 "스팬"을 잘못 해석했습니다. 감사. 스팬의 정확한 정의 (매트릭스의 모든 선형 조합)를 사용하도록 증거를 수정했습니다.

— Neal Young

좋은!

의 정의 에

를 곱하는 것이 더 좋을 것이므로 0 일 수있는 것으로 나눌 필요가 없습니까? 또한 중간 문제없이 두 감소를 결합하여 증거를 다소 단순화 할 수있는 것처럼 보입니다.

M^{(i j)}

$M^{(ij)}$

w (u_{i}, v_{j})

$w(u_i,v_j)$

— 바네사

0으로 나누는 것에 대한 좋은 지적. 내가 고칠 게 그래도 두 가지 축소 사항을 별도로 남겨 두겠습니다.

— 닐 영

반 공간의 교차점으로 제시된 폴리 토프의 직경을 계산하는 문제와 관련하여, 문제는 일반적으로 NP-hard이며, 또한 일정한 요소 내에서 근사 하기에는 NP-hard 입니다. Brieden의 논문 및 그 참조를 참조 하십시오 . 중심 대칭 폴리 토프의 경우 SDP는 근사치 여기서은 폴리 토프를 정의하는 부등식의 수입니다. 선 아래에 이것을 스케치합니다. $O(\sqrt{\log m})$ $m$

$P$ $P$ $-P$ $M$

\forall {나는}^{※}, j^{※} : \sum_{나는} 엠_{나는 j^{※}} = \sum_{j} 엠_{{나는}^{※} j} = 기음

$\forall i^*, j^*: \sum_{i}{M_{ij^*}} = \sum_j{M_{i^*j}} = c$

\forall 나는, j : - 1 \leq 엠_{나는 j} \leq 1

$\forall i,j: -1 \leq M_{ij} \leq 1$

- 1 \leq 기음 \leq 1

$-1 \leq c \leq 1$

이것이 올바른 표현 인 경우 (확실하지 않은 경우)이 폴리 토프를 지정된 부분 공간으로 제한하는 구속 조건을 추가 할 수 있습니다. SDP를이 표현에 맞추기 어렵지 않지만 표기법을 유지하기 위해 SDP를 거치지 않기로 결정합니다.

나는 당신의 문제에 대한 대략적인 지름이 무엇인지 확실하지 않습니다 : 그것은 주어진 부분 공간이 순열 행렬에 가까운 지 또는 모든 부분과 멀리 떨어져 있는지 결정할 수있게하지만 계산을하지 못했습니다.

$P = \{x: -b \leq Ax \leq b\}$ $A$ $m \times n$

$\alpha^2 = \max \sum_{i = 1}^n{\|v_i\|_2^2}$

대상 :

$\forall 1 \leq i \leq m: \|\sum_{j = 1}^n{A_{ij} v_j}\|_2^2 \leq b_i^2$

$v_i$ $n$ $P$ $\alpha$ $P$

$\alpha \leq O(\sqrt{\log m})\cdot \text{diam}(P)$ $(v_i)_{i=1}^n$ $\alpha$ $x \in P$ $\frac{\alpha}{O(\sqrt{\log m})}$ $n$ $g$ $g_i$ $\tilde{x}_i = g^T v_i$

이자형 ” \tilde{엑스} ”_{2}^{2} = α^{2}

$\mathbb{E}\ \|\tilde{x}\|_2^2 = \alpha^2$

\forall 나는 \leq 엠 : 이자형 | (에이 \tilde{엑스})_{나는} |^{2} \leq 비_{나는}^{2} \Rightarrow 이자형 {최대}_{나는 = 1}^{엠} \frac{| (에이 \tilde{엑스})_{나는} |}{비_{나는}} \leq 기음 \sqrt{로그 엠} .

$\forall i \leq m: \mathbb{E}\ |(A\tilde{x})_i|^2 \leq b_i^2 \ \ \Rightarrow \ \ \mathbb{E}\ \max_{i=1}^m{\frac{|(A\tilde{x})_i|}{b_i}} \leq C\sqrt{\log m}.$

C

$C$

m

$m$

두 방정식은 이미 가 있음을 의미합니다. $x$ $x \in P$ $\|x\|_2^2 \geq \frac{1}{C\sqrt{\log m}}\alpha$ $\frac{1}{2C\sqrt{\log m}}\tilde{x} \in P$ $\|\tilde{x}\|_2\geq \frac{1}{2}\alpha$

— 사쇼 니콜 로프
소스