가 에 포함 된 ?

다른 사용자에게 흥미가있을 수 있으므로이 질문을 공유 할 것이라고 생각했습니다.

균일 한 클래스 ( 와 같은 ) 에있는 함수가 작은 비 균일 클래스 ( 와 같은 비 균일 )에도 있다고 가정하면, 이는 함수가 더 작은 균일 클래스 ( 같은 )? 이 질문에 대한 답변이 긍정적이면 ? 부정적이라면, 흥미로운 자연적인 반례를 찾을 수 있습니까? $NP$ $AC^0/poly$ $AC^0$ $P$ $NP \cap AC^0/poly$

가 $AC^0/poly \cap NP$ 에 포함 된 $P$ ?

참고 : 친구 가 이미 오프라인으로 내 질문에 부분적으로 답변했습니다. 직접 추가하지 않으면 답변을 추가하겠습니다.

문제는 다음의 비공식적 인 질문을 공식화하려는 두 번째 시도입니다.

비 균일 성이 자연의 균일 한 문제를 계산하는 데 도움이 될 수 있습니까?

관련 :

에 자연적인 문제에 대한 후보가 있습니까? $P/poly−P$

cc.complexity-theory circuit-complexity uniformity

— 카베
소스

@Kaveh : 어쩌면 흥미로운 질문은 P / 폴리과 순이익에서 자연의 문제를 요청하는 것입니다,하지만 P.에 (아니면이 쉽게 너무?)

— 로빈 Kothari의

@Robin : 흥미로워 보이지만

에서 자연 문제를 찾는 것이 더 쉬울 것 같지는 않습니다 .

N P \cap P / p o l y - P

$NP \cap P/poly - P$

— Kaveh

@all :이 질문과 답변에 대해 조금 더 생각해야합니다. 매우 자연스러운 질문 인 것 같습니다. 하지만 난 대답에 대한 불안 : 첫째, 우리는 대체하여 가정을 약화시킬

함께

매우 빠른 성장을입니다 기능; 둘째, 반례는

에 있지 않습니다.

N E X P \neq E X P

$NEXP \neq EXP$

N T i m e (f) \neq D T i m e (f)

$NTime(f) \neq DTime(f)$

f

$f$

A C^{0} / p o l y

$AC^0/poly$ 그러나 함수로서 크기 (1)의 회로를 갖는 것은 모든 크기의 입력에 일정한

모든

! 이 두 가지 이유는 이것이 올바른 질문이 아니라고 말하는 것일 수 있습니다.

n

$n$

n

$n$

— Kaveh

@Kaveh : 아마도 Scott Aaronson이 정의한 YP 클래스를보고 싶을 것입니다. P / 폴리와 비슷하지만 "조언"은 신뢰할 수 없습니다. 즉, NP가 coNP와 교차하는 것과 같지만 감시는 입력 길이에만 의존 할 수 있습니다. YP는 P / poly에 있으며 균일 한 클래스입니다. 아마도 YP의 문제는 아니지만 P의 문제는 당신이 찾고있는 문제의 예입니다. 조언은 회로에 의해 검증되어야하기 때문에 P가 아니라 P가 아니라 자연스럽고 균일하며 P / 폴리가 아닐 수있다.

— Robin Kothari

@Kaveh : YP ( "Yoda Polynomial-Time") 클래스는 Scott의 논문 "Quantum States의 학습 성"[quant-ph / 0608142]에보다 공식적으로 정의되어 있습니다.

— Alessandro Cosentino

답변:

다음은 Ryan의 답변을 단순화 한 것입니다. 라고 가정하자 . 언어 정의 . 가정 은 변환됩니다 . 또한 사소한 . $\Lambda \in NE \setminus E$ $L = \{x : |x| \in \Lambda\}$ $\Lambda \in NE \setminus E$ $L \in NP \setminus P$ $L \in AC^0/poly$

— 유발 필름 러스
소스

좋은 대답 유발!

— Dai Le

NP ∖ P에 탈리 언어가 포함 된 경우에만 E ≠ NE임을 나타 내기 위해 본질적으로 동일한 변환이 Book 1974 에서 사용 됩니다.

— Ito Tsuyoshi

확실하게 : 나는 그것을 올바르게 이해합니까

의 길이는 단항으로 쓰여 있습니까?

| x |

$|x|$

x

$x$

— Vincent

@Vincent 여기에서

는 정수가 아닌 문자열이며

길이입니다.

x

$x$

| x |

$|x|$

— 유발 Filmus

네, 저를 혼동합니다. 경우

문자열의 길이입니다.

는 정수이므로 어떻게

의 요소가 될 수 있습니까?

| x |

$|x|$

| x |

$|x|$

Λ

$\Lambda$

— Vincent

첫 번째 질문에 대한 답변 : 가능하지 않은 것 같습니다.

정리 : 만약 후 . $NP \cap AC^0/poly \subseteq P$ $NEXP = EXP$

비트를 출력 하는 회로 가 주어지면 의 압축 해제를 가능한 모든 입력에서 를 평가하여 얻은 비트 열로 정의하십시오 . 즉, 압축 해제는 . $C$ $C$ $C(0^n) C(0^{n-1}1) C(0^{n-2}10) \cdots C(1^n)$

Define the Succinct 3SAT problem as: given a circuit $C$ of size $n$ , does its decompression encode a satisfiable Boolean formula? Succinct 3SAT is well-known to be $NEXP$ complete.

Now consider the language

$L =$ { $1^n |$ the integer $n$ written in binary is a yes-instance of Succinct 3SAT}.

$L$ is clearly in $AC^0/poly$ , since you can just hardcode whether $1^n$ is in $L$ , for each $n$ .

도 .이진수로 쓴정수 길이는 정도이므로이 회로의 압축 해제 길이는 이하 합니다. 따라서 만족할만한 과제의 길이는 최대 $L$ $NP$ $n$ $\log n$ $O(n)$ $O(n)$ 입니다.

그러나 동일한 관측에 의해, 이면 , 이는 길이 의 Succinct 3SAT의 모든 인스턴스를 결정하기위한 시간 알고리즘을 가지고 있기 때문에 $L \in P$ $NEXP=EXP$ $O(n^c)$ $\log n$ .

Your second question is wide open (and open-ended).

— Ryan Williams
소스

Why do you need to take some complete problem?

— Yuval Filmus

Thought it made the argument easier to follow.

— Ryan Williams

Thank you Ryan for your nice answer and the explanation. I guess you would not mind if I accept Yuval's answer although you were the first person to post.

— Kaveh

Kaveh의 질문에 "비 균일 성이 자연적인 균일 문제를 계산하는 데 도움이 될 수 있습니까?"

때로는 대답이 "예"라고 생각합니다. 예를 들어, Subset-Sum 문제 : 양의 실수가 주어진 경우 이들 중 일부가 합계인지 여부를 결정하십시오 . 양의 정수 (백팩)로 제한 되더라도 NP- 하드 문제입니다. 그러나 Friedhelm Meyer auf der Heide (1984)는 에 대해 보다 작은 깊이의 선형 결정 트리에 의해 문제를 해결할 수 있음 을 보여 주었다 . 이러한 트리에서 테스트는 다음과 같은 형식입니다. 일부 임계 값보다 큰 입력 변수의 선형 조합입니다. 여기서는 불균일성이 중요합니다. 모든 대해 완전히 다른 알고리즘 (결정 트리)을 가질 수 있습니다. $n$ $1$ $n$ $n^5$ $n$

참고 문헌 :

Friedhelm Meyer auf der Heide, "A Polynomial Linear Search Algorithm for the n-Dimensional Knapsack Problem", 1984

— Stasys
소스

Thank you. Interesting result, but looking at A Polynomial Linear Search Algorithm for the n-Dimensional Knapsack Problem, it seems a little bit of cheating to me. The size of the nonuniform program is exponential, only the depth is polynomial, it is like considering the whole computation tree of an NP algorithm on inputs of size

n

$n$ (it is like polynomial depth exponential size circuits).

— Kaveh

By a similar argument, we can say that any problem is solvable in constant time

2

$2$ , because the table of answers can be expressed by a CNF. I like Ryan and Yuval's construction more because it shows that although the problem is complicated in the uniform setting, for each input size it is very easy to solve.

— Kaveh

Kaveh, you are right: here we are interested in time (=depth), not in space (=log of network size). But note that a trivial algorithm for Subset-Sum would require time (depth)

2^{n}

$2^n$ to test all subsets of a given input string. Also, I thought your ask about natural candidates, not just for separation :-)

— Stasys

Of course, the Subset-Sum problem has a trivial non-deterministic algorithm: just guess a subset summing up to

1

$1$ . But we speak about deterministic algorithms. And that of Mayer auf der Heide is a deterministic one. B.t.w. I am also not very excited about his result. Had he shown this for the size (not for just for depth = time), we would already have

N P \subseteq P / p o l y

$NP\subseteq P/poly$ . Still, this is one of THE results.

— Stasys

@Kaveh: But NP itself is a big OR of P. The "time version" of P vs. NP is: can we replace this big OR by a deterministic algebraic decision tree of polynomial depth (with P on the leaves)? Recall that the trivial depth for Subset-Sum is 2^n (not n). Dopkin and Lipton (1978) showed that depth n^2/2 is necessary, and it was widely believed that this can be improved to n^k for any k. Mayer auf der Heide refuted this belief: k=5 is enough. Thus, non-uniformity CAN help, if we are interested in depth (time).

— Stasys