무제한 소수 하이퍼 트리 폭을 가진 CSP

$\acute{\rm a}$$H$$H$$\in PTIME$

정의 등

표준 트리 분해 및 트리 폭에 대한 훌륭한 설문 조사는 여기를 참조 하십시오 (JeffE!

를 자서전 이라고하자 .$H$

그런 다음 하이퍼 그래프 와 매핑 경우$H$$\gamma : E(H) \rightarrow [0,\infty)$

$B(\gamma) =$ { }.$v \in V(H) : \sum_{e \in V(H), v \in e} \gamma(e) \ge 1$

또한 weight ( ) = .$\gamma$$\sum_{e \in E}\gamma(e)$

그런 다음 의 부분 하이퍼 트리 분해 는 3 배 . 여기서,( T , ( B 용 t ) t ∈ V ( T ) , ( γ t ) t ∈ V ( T )$H$$(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$

• $(T, (B_t)_{t \in V(T)})$ 트리 인 분해 및 $H$
• $(\gamma_t)_{t \in V(T)}$ 는 모든 대해 에서 st 로의 매핑 제품군입니다. . [ 0 , ∞ ) t ∈ V ( T ) , B의 t ⊆ B ( γ t$E(H)$$[0, \infty)$$t \in V(T), B_t \subseteq B(\gamma_t)$

다음 우리는 말할 폭 의 인 {중량 (\ gamma_t) t \ V (T)에서 }.의 최대 ( γ t ) , t ∈ V ( T $(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$$\max$$(\gamma_t), t \in V(T)$

마지막으로, 분별 hypertree 폭 $H$ , FHW ( $H$ )의 모든 가능한 부분의 분해 hypertree 위에 폭 최소이고 $H$ .

질문

위에서 언급 한 바와 같이, CSP의 기본 그래프의 분수 하이퍼 트리 폭이 상수에 의해 제한된다면, CSP를 해결하기위한 다항식 시간 알고리즘이 존재한다. 그러나 연결되지 않은 하이퍼 트리 폭을 갖는 CSP 인스턴스의 다항식 시간 풀릴 수있는 패밀리가 있는지 여부는 링크 된 논문의 끝에서 열린 문제로 남았습니다. (또한이 질문은 이라는 가정 하에서 경계 대 비 계층 폭 ( ACM 인용 ) 의 경우 완전히 해결 된다는 점을 지적해야 .) 또한이 하위 필드의 일반적인 상태를 비교적 알지 못합니다. 제 질문은 다음과 같습니다.$FPT \ne W[1]$

가 아무 것도 억제 할 부분 hypertree 폭이 그래프를 통해 CSP가의 (에서)의 취급 용이성에 대해 알려진?

추측과 함께 두 종이에 연결했습니다. 나는 Grohe의 2007 년 추측을 의미한다고 가정합니다.

이 질문은 2008 년에 답변되었습니다 :

정리 5. CSP (C , _)는 NP에 있지만 P 또는 NP- 완료에는 없습니다 (P = NP가 아닌 경우). 또한, 세트 은 결정적인 다항식 시간으로 결정될 수있다.$_0$$_0$

• Manuel Bodirsky와 Martin Grohe, 제약 만족 복잡도의 비 이분법 , ICALP 2008. doi : 10.1007 / 978-3-540-70583-3_16 ( PDF )

아이디어는 Ladner가 자신의 정리를 위해 도입 한 지연 지연 기술과 동일한 CLIQUE 인스턴스 크기의 구멍을 뚫는 것입니다. 세트 C 에는 임의로 큰 파벌이 포함되며 크릭 의 소수 하이퍼 트리 폭 은 입니다. 따라서 중간 복잡도 인 CSP (A, _) 형식의 CSP를 가질 수 있습니다. 여기서 A는 소수 하이퍼 트리 폭에 제한이 없습니다. 이것은 부정적으로 Grohe의 추측에 대답합니다.$_0$$n$$n/2$

같은 회의에서 Chen, Thurley, Weyer는 비슷한 결과를 낸 논문을 가지고 있었지만, 강력한 삽입을 요구했기 때문에 기술적으로는 추측에 적합한 형식이 아니 었습니다.

• Yijia Chen, Marc Thurley 및 Mark Weyer, 유도 서브 그래프 동위 원소 의 복잡성 이해 , ICALP 2008. doi : 10.1007 / 978-3-540-70575-8_48 ( PDF )

마지막으로, 모든 CSP 인스턴스 클래스는 최악의 경우 소수 하이퍼 트리 폭을 가진 표현으로 변환 될 수 있습니다. 대부분의 경우이 변환은 다 항적으로 크기가 제한되며 다항식 시간으로 수행 될 수 있습니다. 이는 무제한 소수 하이퍼 트리 폭, 심지어 모듈로 동형 등가를 갖는 CSP를 쉽게 생성 할 수 있음을 의미합니다. 이러한 CSP는 대상 구조가 특별하기 때문에 CSP (A, _) 형식이 아니지만 소스 구조 만 제한하여 정의 된 CSP가 그다지 흥미롭지 않은 좋은 이유를 제공합니다. 소스 구조의 너비가 넓도록 표시를 변경하여 CSP 인스턴스의 트리와 유사한 구조를 숨기는 것이 너무 쉽습니다. (이것은 나의 논문의 7 장에서 논의된다 .)