PH에 알려지지 않았지만 P = NP 인 경우 P에있는 결정 문제

편집 : 라비 보 파나 (Ravi Boppana)는 그의 대답 에서 올바르게 지적 하고 스콧 아 론슨 ( Scott Aaronson)도 그의 대답 에 또 다른 예를 추가 했으므로이 질문 에 대한 대답은 내가 전혀 기대하지 않은 방식으로“예”로 밝혀졌습니다. 먼저 나는 그들이 묻고 싶은 질문에 대답하지 않았다고 생각했지만, 어떤 생각을 한 후에,이 구성들은 내가 묻고 싶은 질문 중 적어도 하나, 즉“조건부 결과를 증명할 방법이 있습니까?” 무조건적인 결과 L ∈PH 를 증명하지 않고 = NP ⇒ L ∈P ?”라비와 스캇!

다음 조건이 모두 충족되도록 결정 문제 L 이 있습니까?

• L 은 다항식 계층 구조로 알려져 있지 않습니다.
• 이는 P는 NP = 암시 할 것으로 알려져 L ∈P있다.

인공적인 예는 자연적인 것만 큼 좋습니다. 또한 문자 " L "을 사용하지만 도움이 될 경우 언어 대신 약속 문제가 될 수 있습니다.

배경 . 의사 결정 문제 L 이 다항식 계층 구조에 있다는 것을 알면“P = NP ⇒ L ∈P ”라는 것을 알 수 있습니다. 질문의 의도는 대화의 유지 여부를 묻는 것입니다. 위의 두 조건을 만족 하는 언어 L 이 존재하면 대화가 실패했다는 증거로 생각할 수 있습니다.

이 질문은 월터 비숍의 질문 " #P = FP의 결과 "에 대한 나의 답변에 대한 Joe Fitzsimons의 흥미로운 의견에 의해 동기 부여되었습니다 .

인공 언어를 신경 쓰지 않기 때문에 P가 NP와 같으면 을 비워두고 P가 NP와 같지 않으면 중단 문제로 정의하는 방법은 어떻습니까 ? 좋아, 약간의 속임수이지만 그러한 속임수를 피하려면 문제를 다시 말해야한다고 생각합니다. $L$

인공적인 예가 실제로 자연적인 예와 같으면 실제로 그러한 예를 제시 할 수 있습니다!

편집 : 또한, 내 예제는 Ravi Boppana (P = NP이면 L을 빈 언어로 사용하고 그렇지 않으면 정지 문제로 사용)에서 제안한 것보다 "약간"치명적입니다. 언어를 정의합니다. 입력 x에 대해 L 인지를 결정하는 유한 절차를 제공함으로써 L. x∈L이 P 대 NP와 같은 "제한되지 않은"수학 문제를 풀어야하는지 여부를 결정하지 않습니다.$x \in$

속히 :하자 polytime Turing 기계의 열거 형입니다. 모든 N ,하자 M의 t ( n은 ) 사전 식 첫번째 M I 정확하게 길이의 모든 입력에 3SAT을 결정 N 이하이다. 그런 다음 언어 L을 다음과 같이 정의하십시오. 모든 입력에 대해 x 크기 n , x ∈ L은 x에 의해 인코딩 된 Turing 기계 가 최대 n t ( n )에 정지 한 경우에만$M_1, M_2, ...$$n$$M_{t(n)}$$M_i$$n$$x$$n$$x \in$$x$$n^{t(n)}$ 빈 테이프에서 실행될 때의 단계.

주장 1 : P = NP이면 L P.$\in$

증명 : 만약 P = NP는 다음 몇 가지 고정있어 모두 입력 해결합니다 3SAT; 따라서 모든 n에 대해 t ( n ) ≤ i 입니다 . QED$M_i$$t(n) \le i$$n$

클레임 2 : P NP 인 경우 L ∉ P.$\ne$$\notin$

증명 : 경우 없이 증가 바인딩, 우리는 단순히 시간 계층 구조 정리를 적용 할 수 있습니다. QED$t(n)$

이제 P는 NP 라고 가정 할 때 L이 P에 있지 않을뿐만 아니라 PH (또는 PSPACE)도 아니라고 가정합니다.$\ne$

사람이, 상기 구성을 향상시킬 수 P = NP 경우 P에있는 언어 L를 얻을 수 있지만, 경우에 덧붙여, 궁금 라도 유용 하지 PH 또는 PSPACE P 경우 NP?$\ne$

Answering Scott Aaronson's question, but a bit too long for a comment, here is a construction of a language $L$ such that $P = NP$ implies $L \in P$, but $P \neq NP$ implies $L \notin PH$.

Let $M_1, M_2, M_3, \dotsc$ and $t(n)$ be as in Scott's construction. We make it so that $L$ does not reduce to $\Sigma_{k} SAT$ for each $k$, but we only do this if $t(n) \to \infty$ (i.e. if $P \neq NP$). The construction proceeds in stages. At stage $s=(i,j)$ (using some easily computable and easily invertible bijection $\Sigma^* \to \Sigma^* \times \Sigma^*$), we ensure that $M_i$ is not a many-one reduction from $L$ to $\Sigma_{j} SAT$. Let $n_{s}$ be the least integer such that $t(n_{s}) > t(n_{s-1})$ (base case: $n_{0} = 1$). If there is such an integer $n_{s}$, then set $L(1^{n_{s}}) = 1 - \Sigma_{k}SAT(M_{i}(1^{n_{s}}))$. If there is no such integer $n_{s}$, we let $L$ be empty forever after.

If $P \neq NP$, then $t(n) \to \infty$ as $n \to \infty$, so there is always such an $n_{s}$, hence $L$ is not in $PH$. If $P = NP$, then my $L$ is only finitely different from Scott's $L$, and hence is in $P$.