타입 시스템을 추가 할 필요없이 강력한 정규화되는 람다 미적분학과 유사한 시스템이 있습니까?
답변:
선형 논리에서 오는 몇 가지 가능한 대답을 생각할 수 있습니다.
가장 간단한 것은 아핀 람다 미적분입니다. 모든 변수가 최대 한 번만 나타나는 람다 항만 고려하십시오. 이 조건은 축소에 의해 보존되며 각 축소 단계에 따라 아핀 항의 크기가 엄격하게 줄어드는 것을 즉시 알 수 있습니다. 따라서 유형화되지 않은 아핀 람다 미적분은 강하게 정규화되고 있습니다.
보다 흥미로운 예 (표현의 관점에서)는 "Light Linear Logic"(Information and Computation 143, 1998)에서 Girard가 도입 한 선형 논리의 하위 시스템에서 발생하는 소위 "경량"람다 계산에 의해 제공됩니다. Lafont의 "Soft Linear Logic"(이론적 컴퓨터 과학 318, 2004). 문헌에는 그러한 미적분학이 여러 개있을 수 있으며, 아마도 Terui의 "가벼운 아핀 람다 미적분 및 다항식 시간 강한 정규화"(Archive for Mathematical Logic 46, 2007)를 참조하는 것이 좋습니다. 이 논문에서 Terui는 가벼운 아핀 논리에서 파생 된 람다 미적분을 정의하고 강력한 정규화 결과를 증명합니다. 논문에 유형이 언급되어 있지만 정규화 증명에는 사용되지 않습니다. 그것들은 밝은 아핀 람다 미적분의 주요 속성, 즉 특정 유형의 용어가 정확히 Polytime 함수를 나타내는 깔끔한 공식에 유용합니다. 다른 "경량"람다 계산법 (Terui의 논문에는 추가 참조 자료가 있음)을 사용하여 기초 계산에 대해 유사한 결과가 알려져 있습니다.
부수적으로, 증명 이론적 용어로 아핀 람다 미적분은 수축 규칙이없는 직관적 인 논리에 해당한다는 것을 관찰하는 것이 흥미 롭습니다. 그리 신은 (선형 논리가 도입되기 전에) 수축이 없을 때 순진한 이론 (즉, 이해력이 제한되지 않음)이 일관성이 있음을 관찰했다 (즉, 러셀의 역설은 모순을주지 않는다). 그 이유는 수축이없는 순진한 이론에 대한 컷-제거는 공식의 복잡성에 의존하지 않는 간단한 크기-감소 인수 (위에 제시 한 것)에 의해 입증 될 수 있기 때문입니다. Curry-Howard 서신을 통해 이것은 형식화되지 않은 아핀 람다 미적분의 정규화입니다. 그것은 선형 논리에서 Russel의 역설을 번역하고 "왜곡"함으로써 지라드가 가벼운 선형 논리를 생각 해냈다는 모순이없는 지수 양식. 위에서 언급했듯이, 계산 용어로 빛 선형 논리는 다항식 시간 계산 함수의 특성을 제공합니다. 증명 이론적 용어로, 일관된 순진한 이론은 가벼운 선형 논리로 정의 될 수 있으며, 아마도 총 함수는 다항식 계산 가능 함수가 될 수있다 (Terui의 또 다른 논문이있다. 다항식 시간 이론 설정 ", Studia Logica 77, 2004).
Church and Rosser의 원본 논문 인 "일부 변환의 속성"은 여러분이 찾고있는 것의 예가 될 수있는 것을 설명합니다.
엄격한 람다 미적분학 을 사용하는 경우 당신은 그것을 가지고 무료로 나타납니다 그런 다음 유형 시스템이 없으면 다음 속성이 유지됩니다 (교회 및 Rosser 논문의 정리 2).
만약 정상적인 형태입니다 그러면 숫자가 있습니다 그로부터 시작되는 모든 일련의 감소 ~로 이어질 것이다 [모듈로 알파 상당] 감소.
따라서 (유형화되지 않은) 엄격한 람다 미적분학으로 끝나지 않는 용어를 쓸 수 있지만 정규 형식의 모든 용어는 강력하게 정규화됩니다. 즉, 모든 감소 순서는 고유 한 일반 형태에 도달합니다.
Neil Jones와 Nina Bohr의 재미있는 내용이 있습니다.
형식화되지 않은 크기 변경 분석 (무한 루프를 감지하는 제어 흐름 분석 유형) 을 적용하는 방법을 보여줍니다.-자귀. 이것은 실제로는 좋지만, 물론정의 된 상수가없는 용어 (방법이보다 일반적인 용도로 확장 될 수 있음)
타이핑의 장점은 물론 낮은 복잡성 비용과 접근 방식의 모듈성이라는 점입니다. 일반적으로 종료 분석은 매우 모듈화되지 않지만 타이핑은 "조각"수행 될 수 있습니다.