TCS 외부의 복잡성 이론 추측의 수학적 의미

다른 수학 분야 (예 : 이론적 컴퓨터 과학 외부)에서 복잡도 이론에 대한 (표준) 추측의 흥미로운 결과를 알고 있습니까?

다음과 같은 경우 답변을 선호합니다.

• 복잡성 이론 추측은 가능한 한 일반적이고 표준입니다. 나는 특정 문제의 경도에 대한 결과도 괜찮지 만 문제가 광범위하게 어렵다고 생각되면 (또는 적어도 두 장 이상의 논문에서 연구 된 경우) 좋을 것입니다

• 의미는 무조건적으로 사실로 알려지지 않은 진술이거나 다른 알려진 증거가 상당히 더 어렵다

• 연결이 더 놀라 울수록 좋습니다. 특히, 함의는 알고리즘에 대한 명시 적 진술이 아니어야합니다.

"돼지가 날 수 있다면 말도 노래 할 것입니다"비행 돼지가 복잡성 이론에서 비롯되고 컴퓨터 과학 이외의 수학 분야에서 노래하는 말도 괜찮습니다.

이 질문은 어떤 의미에서 우리가 컴퓨터 과학에서 수학의 놀라운 사용에 관한 질문의 "대화"입니다 . Dick Lipton은 이러한 라인을 따라 정확하게 블로그 게시물 을 작성했습니다. 그는 팩토링이 회로 복잡성이 크다는 추측의 결과에 대해 씁니다. 결과적으로 특정 디오 판틴 방정식에는 해가 없으며 무조건 증명하기가 매우 어려운 일종의 진술이 있습니다. 이 게시물은 Dan Boneh와의 작업을 기반으로하지만 종이를 찾을 수 없습니다.

편집 : Josh Grochow가 주석에서 언급 한 것처럼 TCS를 고전 수학에 적용하는 것에 대한 그의 질문 은 밀접한 관련이 있습니다. 내 질문은 "고전 수학"제한을 고집하지 않기 때문에 좀 더 관대하다. 더 중요한 차이점은 복잡성 추측에서 TCS 외부 수학 분야의 진술에 대한 입증 된 의미를 주장한다는 것입니다. Josh의 질문에 대한 대부분의 답변은 이러한 유형이 아니며 대신 TCS에서 개발하거나 영감을 얻은 고전 수학에 유용한 기술과 개념을 제공합니다. 그럼에도 불구하고 Josh의 질문에 대한 적어도 하나의 대답 은 내 질문에 대한 완벽한 대답입니다. Michael Freedman의 논문이것은 내 것과 동일한 질문에 의해 동기가 부여되며 에 따라 매듭 이론의 정리를 증명합니다 . 그는 정리가 매듭 이론에서 현재 기술의 범위를 벗어난 것으로 보인다고 주장한다. Toda의 정리에 따르면 이면 다항식 계층 구조가 무너 지므로 가정은 그럴듯합니다. 다른 유사한 결과에 관심이 있습니다.$\mathsf{P}^{\#P} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^{\#P} = \mathsf{NP}$

그래프 이론의 또 다른 예가 있습니다. 정리 모든 클래스에 대해, 우리에게 알려주는 마이너 미성년자에 따라 폐쇄 방향성 그래프, 유한 장애물 세트가 O의 B 의 ( G ) 그래프가되도록 G 와 경우는 그래프를 포함하지 않는 경우에만 에 O B 들 ( G ) 마이너있다. 그러나 그래프 마이너 정리는 본질적으로 비 구조적이며 이러한 장애물 세트의 크기, 즉 특정 G 선택에 대해 얼마나 많은 그래프가 포함되어 있는지에 대해서는 아무 것도 알려주지 않습니다 .$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$

에서 너무 많은 마이너 주문 장애물 , 마이클 J. Dinneen는 그럴듯한 복잡한 이론적 추측 아래, 같은 장애물 세트의 여러 가지의 크기가 크게 표시 될 수 있음을 보여 주었다. 예를 들어, 최대 k 인 속의 그래프의 매개 변수화 된 클래스 를 고려하십시오 . 으로 K의 증가, 우리는 장애물 세트를 기대할 수 O의 B 의 ( G의 k는 ) 점점 더 복잡하게하는 것이 아니라 얼마나 그렇게? Dinneen 다항식 계층은 세 번째 단계로 축소하지 않는 경우 다항식이 있음을 보여 주었다 (P) 등의 점에서 장애물의 개수 O (B) (S)$\mathcal{G}_k$$k$$k$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p$는p(k)로묶입니다. 속 (genus zero) (즉, 평면)을 갖는 작은 장애물의 수는 단지 2 ( O b s ( G 0 )={ K 5 , K 3 , 3 })이기 때문에,이 초 다항식 성장은 즉각적으로 명확하지 않습니다 무조건 입증 될 수 있습니다). Dinneen의 결과에 대한 좋은 것은 그것이에 해당하는 장애물 세트의 크기에 적용한다는 것입니다어떤사소한 이념의 파라미터 세트 G의 K 있는 작은 결정$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p(k)$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_0) = \{K_5, K_{3,3}\}$$\mathcal{G}_k$$k$있는 NP-어렵다; 그러한 매개 변수화 된 모든 사소한 이상에서 장애물 세트 크기는 초 다형성 적으로 커져야한다. $G \in \mathcal{G}_k$

Arora, Barak 및 Ge의 금융 상품에서 계산 복잡성과 정보 비대칭은 다음과 같습니다. 파생 상품의 가격을 정확하게 계산하기에는 계산하기가 어렵습니다 (즉, NP-hard).

같은 선을 따라 훨씬 더 일찍 Bartholdi, Tovey 및 Trick 이 선거를 조작하는 경도에 관한 유명한 논문이 있습니다.

Sasho가 제안한 바와 같이, " 고전 수학에 TCS의 응용? " 이라는 질문에 대한 나의 대답 은 다음과 같습니다.

그의 논문에서 타원 곡선상의 직선 프로그램 비틀림 포인트 , 치 쳉 Bürgisser의 관한 -conjecture (Shub의 변형 및 Smale에의 τ 타원 곡선의 분야에서 토션 정리 및 Masser 정리에 -conjecture¹ 참조).$L$$\tau$

경우 매우 약, -conjecture 사실 (또는 그것의 약한 버전), 그 다음 하나는 "쉽게"이 모두 정리를 추론 할 수 있습니다. 그들의 원래 증거는 훨씬 더 어렵다.$L$

¹ -conjecture 다항식 경우 주장 P는 크기의 일정한없는 직선 프로그램 (또는 연산 회로)를 갖는다 τ를 정수 뿌리의 수는 많아야이다 ( 1 + τ ) C 일부 절대 상수에 대한 C .$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

복잡한 이론 추측을 사용하여 대칭 그룹의 표현 이론 ( 이 블로그 게시물 참조)에 관한 사항을 증명할 수 있습니다 . 대칭 그룹의 워드 문제점 때문에 대략 말하면 , CONP 어렵다 S 2 , k는 임의의보다 작은 사이즈의 충실한 (즉, 단사) 표현을 가질 수 2 δ의 K SAT 서브 지수 크기 회로를 가지고 있지 않는.$S_{2^k}$$S_{2^k}$$2^{\delta k}$

그것은 앞에서 언급 한 Mike Freedman의 논문의 정신에 매우 가깝습니다.

많은 TCS 복잡성 클래스 분리 문제는 수학에 중요한 영향을 미치는 것으로 보입니다. 특히 P =? NP 질문은 많은 분야에서 매우 깊은 연관성이있는 것으로 보이며 여기에는 수학이 포함됩니다. 이 분야에서 주목할만한 몇 가지 사례 :

• Hilberts Nullstellensatz 문제 초기 20 세기 제형 밀접에서 NP 복잡도 등 대 P에 관한 취급 용이성이 밝혀졌다 힐베르트 영점 정리 OF에서 다루기 힘듦 AND "NP ̸ = P?」의 대수 VERSION Shub / Smale에 의해이. 이것은 컴퓨터 대수, 조합론 및 복잡성 : 힐버트의 Nullstellensatz와 Margulies의 NP-complete Problems 등 의 지속적인 연구 분야입니다 .

• Fagins 정리 (wikipedia) :

  Fagin의 정리는 실재적인 2 차 논리에서 표현할 수있는 모든 속성 집합이 정확하게 복잡도 클래스 NP라는 서술 적 복잡도 이론의 결과입니다. Turing 머신과 같은 계산 모델을 호출하지 않는 클래스 NP의 특성이기 때문에 주목할 만합니다.

  여기서 P = NP의 주요 / 놀라운 의미는 모든 2 차 로직 주장이 효율적으로 계산 될 수 있음을 의미합니다.

• 또 다른 경우는 대부분 수학 용어로만 언급 된 다양한 NP 완료 문제가 있다는 것입니다 (예 : TM, 비결정론 등과 같은 TCS 개념에 대한 언급이 없음). 그래프 이론이 (합리적으로) 수학으로 간주된다면이 목록은 매우 클 수 있습니다. 그러나 "수학적"에 대한 좁은 해석조차도 수 이론과 같은 경우로 이어진다.

  $a,b,c$$x\le c$$x^2\equiv a\pmod b$

  • NP- 완전한 내추럴에 자연스러운 문제가 있습니까? tcs.se
  • 수 이론 및 NP 완전한 mathoverflow