원시 재귀 함수의 클래스는 태아가 종료 한 것으로 입증 된 함수의 클래스와 동등합니까?

Foetus를 들어 보지 못했다면 여기에서 읽을 수 있습니다 . '호출 행렬'및 '호출 그래프'시스템을 사용하여 함수에서 재귀 호출의 모든 '재귀 동작'을 찾습니다. 함수가 종료됨을 나타 내기 위해 함수에 대한 재귀 호출의 모든 재귀 동작이 특정 '사전 순서'를 준수 함을 보여줍니다. 종료 검사기는 Ackermann 함수와 같은 모든 기본 재귀 함수 및 함수를 허용합니다. 기본적으로 다중 인수 기본 재귀를 허용합니다. 이것은 또한 기본적으로 Agda의 종료 검사기입니다. 나는 Coq가 비슷한 시설을 가지고 있지만 더 일반적이라고 생각합니다.

DA Turner의 "Total Functional Programming" 논문을 읽음 . 그는 자신의 제안 된 언어가 Godel이 연구 한 System T에서 볼 수 있듯이 모든 "기본 재귀 기능"을 표현할 수 있다고 설명합니다. 그는이 시스템이 "순서 논리로 전체를 증명할 수있는 모든 재귀 함수를 포함하는 것으로 알려져있다"고 말합니다.

선량 태아는 모든 원시 재귀 기능을 허용합니까? 그렇다면 원시 재귀 함수가 아닌 함수를 허용합니까? 이에 대한 답변을 위해 인용을 제공 할 수 있습니까? (실제로 관심이 있기 때문에 실제로는 필요하지 않습니다. 문제에 대한 일부 결혼 생활이 좋을 것입니다)

보너스 질문 : 원시 재귀 함수는 결합 자 측면에서 매우 간결한 정의를 갖습니다. 유형 S 및 K (고정 소수점 결합자를 표현할 수 없음), 0, 후속 함수 및 반복 함수; 그게 다야. 간결한 정의를 가지며 모든 표현이 끝나는 다른 일반적인 언어가 있습니까?

예, 태아 체커는 Goedel 's T의 모든 것을 타입 검사 할 수 있습니다. 체커를 사용하여 T의 반복 연산자가 종료되고 있음을 보여줌으로써이를 확인할 수 있습니다. 예를 들어 다음 정의가 작동합니다.

$$\begin{array}{lcl} \mathit{iter} & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \\ \mathit{iter} \;i \;f \;0 & = & i \\ \mathit{iter} \;i \;f \;(n+1) & = & f\;(\mathit{iter} \;i \;f \;n) \end{array}$$

Fetus 체커 (또는 대부분의 다른 터미네이션 검사기)는 구조적으로 재귀적인 정의이므로 확인하기가 매우 쉽습니다.

Agda와 Coq는 모두 1 차 산술에서 아마도 총계를 훨씬 능가하는 함수의 종료를 증명합니다. 이를 가능하게하는 기능은 데이터에 대한 재귀를 통해 유형을 정의 할 수 있다는 것입니다.이를 "큰 제거"라고합니다. (ZF 세트 이론에서 대체 공리 체계 는 거의 같은 목적으로 사용됩니다.)

T를 넘어서는 것의 쉬운 예는 Goedel의 T 자체의 일관성입니다! 구문을 데이터 유형으로 제공 할 수 있습니다.

data T : Set where 
   N : T 
   _⇒_ : T → T → T

data Term : T → Set where 
   zero : Term N
   succ : Term (N ⇒ N)
   k    : {A B : T} → Term (A ⇒ B ⇒ A)
   s    : {A B C : T} → Term ((A ⇒ B ⇒ C) ⇒ (A ⇒ B) ⇒ A ⇒ C)
   r    : {A : T} → Term (A ⇒ (A ⇒ A) ⇒ N ⇒ A)
   _·_  : {A B : T} → Term (A ⇒ B) → Term A → Term B

타입 의존성은 우리가 잘 타이핑 된 T의 항만을 포함하는 항의 데이터 타입을 정의 할 수있게한다. 그런 다음 타입에 대한 해석 함수를 제공 할 수있다.

interp-T : T → Set 
interp-T N       = Nat 
interp-T (A ⇒ B) = (interp-T A) → (interp-T B)

이것은 NAgda 자연수 여야하며 T의 화살표는 Agda 함수 공간으로 해석되어야합니다. 데이터 유형 T의 구조에 대한 재귀 로 집합 을 정의하기 때문에 이것은 "큰"제거입니다 .

그런 다음 Goedel 's T의 모든 항을 Agda 항으로 해석 할 수 있음을 보여주는 해석 함수를 정의 할 수 있습니다.

interp-term : {A : T} → Term A → interp-T A
interp-term zero    = 0 
interp-term succ    = \n → n + 1
interp-term k       = \x y → x
interp-term s       = \x y z → x z (y z)
interp-term r       = Data.Nat.fold 
interp-term (f · t) = (interp-term f) (interp-term t)

(이 기계에는 Agda가 없으므로 수입, 고정 선언 및 오타가 누락되어 있습니다. 고정은 독자가 원하는 경우 편집자가 될 수있는 연습입니다.)

나는 Agda의 일관성 강도가 무엇인지 모르지만 Benjamin Werner는 유도 성 건축의 계산법 (Coq의 커널 미적분학)이 ZFC와 수많은 접근 불가능한 추기경과 일치한다는 것을 보여주었습니다.

설명을 위해, Fetus는 Andreas Abel에 의해 개발되었으며 , Agda 의 원래 종료 검사기를 개발 했으며 그 이후로 고급 종료 기술을 연구했습니다 .

귀하의 질문에 대한 답변은 약간 실망 스러울 수 있습니다. $\mathbb{N}$ 에 $\mathbb{N}$입니다 정확히 시스템에서 정의 할 수있는 기능$\mathrm{F}$. 이유 : 위에서 언급 한 클래스는 2 차 산술에서 함수를 종료 할 가능성이 있습니다 ($\mathrm{PA}^2$) 차례로 시스템에서 정의 할 수있는 기능과 동일 $\mathrm F$(예 : 증명 및 유형 , 11 장 참조 ). 또한 다형성을 제거하면 다음과 같이 정의 할 수있는 함수로 넘어갑니다.$\mathrm{PA}$시스템에서 정의 할 수있는 것과 일치하는 $\mathrm{T}$.

다시 말하지만,이에 대한 RESON은 "통화 행렬"에 의해 캡처 감소가 있다는 것이다 라도 유용 잘 설립 , 그 증거가 전적으로 수행 할 수$\mathrm{PA}$.

그러나 이것이 태아가 시스템 보다 유용 하지 않다는 것을 의미하지는 않습니다.$\mathrm{T}$! 실제로 계산 기능의 특정 표현 을 수용하려면보다 복잡한 종료 분석이 필요 합니다. 예를 들어 통일 함수를 작성할 때마다 Peano Arithmetic에서 복잡한 증명을 수행하고 싶지는 않습니다. 따라서 이러한 점에서 Fetus는 매우 강력하며 Coq, Agda 또는 기타 일반적인 증거 시스템에서 허용되지 않는 방식으로 함수를 정의 할 수 있습니다.

원시 재귀 함수 (Functionals)에 의해 당신이 의미하는 경우 원시 재귀 함수를 하고 태아 후 태아가 아커 만 함수로 홍보 기능의 클래스와 일치하지 않는 아커 만 함수가 포함되어 있는지 알고 원시적 인 재귀 없습니다. 이것은 Ackermann에 의해 보여졌고 나중에 Rosza Peter에 의해 " Konstruktion nichtrekursiver Funktionen "1935 (불행히도 내가 아는 한 독일어로만)에서 간단한 증거가 주어졌다 .

Fetus가 캡처 한 함수 클래스와 일치하는 종료가 보장되는 더 큰 재귀 함수 클래스를 찾으면 Rosza Peter의 다른 작업이 관심을 가질 수 있습니다.

Ackermann 함수는 Rosza Peter가 " Uber die mehrfache Rekursion "1937 에서 정의한 다중 재귀 함수 클래스에 포함되어 있습니다 . 비공식적으로 다중 재귀의 기본 개념은 재귀 단계 후에 변경 될 수있는 다중 재귀 변수를 가질 수 있다는 것입니다. 예를 들어$f(a,b)$ 전화 할지도 모른다 $f(a,b-1)$ 또는 $f(a-1,b)$.

그러나 Rosza Peter의 " Zusammenhang der mehrfachen und transfiniten Rekursion "에 설명 된 transfinite 재귀의 개념에 의해 더 강력한 클래스가 제공됩니다 . 영구 재귀의 경우 선행 명령을 특별한 순서로 호출 할 수있는 하나의 재귀 변수가 있습니다.$<$

예를 들어, 정수를 정수 쌍으로 해석하고 순서를 사용할 수 있습니다

$$(a,b) < (c,d) \iff ( a < c \wedge b \leq d ) \vee ( a \leq c \wedge b < d )$$ 이것은 3 배의 정수 등으로 일반화 될 수 있습니다. 베드로는이 명령을 부른다$\omega^2, \omega^3$등등. 한 단계 더 나아가 정수를 임의의 수의 정수로 해석 할 수 있습니다. 허락하다$p_i$ ~이다 $i$-소수. 그럼 우리는 고려할 수 있습니다$z = p_1^{n} \cdot p_2^{x_1} \cdot p_3^{x_2} \cdot \dots$ 어디 $n$ 에 인코딩 된 정수의 수를 나타냅니다 $z$ 그리고 $x_i$의 담당자가 포함되어 있습니다. 값. 그녀는 다음과 같은 정수 목록의 순서를 나타냅니다.$\omega^\omega$이러한 재귀는 다중 재귀보다 더 강력하다는 것을 대각선으로 보여줍니다. 그러나이 클래스의 구문 적 특성이 있는지 확실하지 않습니다.

원시 재귀 함수는 아래 주석에서 언급 한 원시 재귀 함수와 동일하지 않습니다. 그러나 나는 무한 재귀의 개념을 기능으로 옮길 수 있다고 생각합니다. 그러나 기능 설정에서 여전히 더 강력한 지 여부는 확실하지 않습니다.