선형 시스템에 대한 타당성 검사 및 최적화의 동등성

부등식의 선형 시스템의 실현 가능성을 확인하는 것은 타원체 방법으로 주어진 축소를 통한 선형 프로그래밍만큼 어렵습니다. 더 쉬운 방법은 최적의 솔루션을 추측하고 이진 검색을 통해 제약 조건으로 도입하는 것입니다.

이러한 감소는 다항식이지만, 다항식은 아닙니다 (즉, 불평등 계수의 비트 수에 따라 다름).

LP 최적화에서 LP 타당성으로의 다항식 축소가 있습니까?

ds.algorithms linear-programming

— 수레 쉬 벤 카트
소스

실제로 아니요. 당신이 말하는대로입니다. LP 최적화가 LP 타당성을 해결한다는 것을 알고 있습니다. 나는 반대 감소를 요구하고 있습니다.

— Suresh Venkat

최적화를위한 출력은 "계수의 비트 수"만큼 많은 비트를 가질 수 있지만 실행 가능성은 예 / 아니오입니다. 따라서 축소를 통해 "블랙 박스"를 의미한다면 대답은 부정적이어야합니다.

— Noam

그러나 타당성 검사에서 위의 Noam이 논의한대로 예 / 아니오 답변을 제공 할뿐만 아니라 타당성이 실현 가능한 솔루션을 제공하는 경우 LP 이중성에 의해 그렇습니다.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@SureshVenkat : 소수가 변수

의 최대화 프로그램이고

x

$x$ 이중은 변수

의 최소화 프로그램 이라고 가정합니다

y

$y$ . 그런 다음 , 원시 솔루션의 값이 최소한 이중 솔루션의 값이라는 불평등과 함께 초기 값과 이중 값 모두의 제약 조건을 취하여 변수

에서 불평등 시스템을 형성하십시오

x, y

$x,y$ . LP가 실현 불가능하고 제한이없는 경우도 처리 할 수 있습니다.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

암시 적 구속 조건으로 정의 된 폴리 토프 / 다면체는 어떻습니까?

— 찬드라 체 쿠리

대답은 그렇습니다. 실제로 선형 불평등 타당성 결정 문제를 줄일 수도 있습니다!

LP 인스턴스 P : 주어지면 입력입니다. . $\max c^Tx\ \text{s.t.}\ Ax \leq b\ ;\ x\geq 0$

우리는 또한 부등식 시스템 주어진 오라클 액세스가 를 반환 예 / 아니오 시스템이 가능인지한다. $S=\{Bz \leq d\}$

이제 축소는 다음과 같이 진행됩니다.

시험의 경우 이 가능합니다. 그렇지 않은 경우 P가 불가능하다고보고 할 수 있습니다. $S_1=\{Ax \leq b\ ;\ x \geq 0\}$
이중 프로그램 D : . $\min b^Ty\ \text{s.t.}\ A^Ty \geq c\ ;\ y \geq 0$
시험의 경우 가 가능하다. 그렇지 않다면, 우리는 P가 언 바운드라고보고 할 수 있습니다. $S_2=\{Ax \leq b\ ;\ x\geq 0\ ;\ A^Ty\geq c\ ;\ y\geq0 \ ;\ b^Ty \leq c^Tx\}$
의 부등식을 반복 하고 시스템 등식 으로 하나씩 추가 (즉, 부등식 추가)하려고합니다 . 시스템이 실행 가능한 상태로 유지되면 의 구속 조건을 유지 하고 그렇지 않으면 다시 제거합니다. 이 이런 식으로 추가되는 구속 조건 (선형 등식)의 시스템 이라고하자 . 시스템 은 이제 P에 대한 최적의 기본 솔루션을 완전히 결정합니다. $S_1$ $S_2$ $S_2$ $S_3$ $S_3$
시스템 에서 가우시안 제거를 사용하여 최적의 솔루션 ~ P를 계산합니다 . $S_3$ $x$

— 크리스토퍼 안스 펠트 한센
소스

S_{2}

$S_2$

P

$P$

@hengxin. 내 결정의 첫 줄에 결정 문제를 줄이는 것을 고려할 때에도 대답은 그렇습니다 . 아래에서 나는 분명히 그 가정을하므로 4 단계와 5 단계가 필요합니다.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen