무한 시퀀스의 경계 입력 Bijections

여기 내가 해결하지 못한 퍼즐이 있습니다. 이 문제가 이미 알려져 있거나 쉬운 해결책이 있는지 알고 싶습니다.

이는 전단 사 함수를 정의하는 것이 가능하다 bicartesian 폐쇄 종류의 속성을 사용. Andrej Bauer는 이것이 자신의 블로그에서 " 건설 보석 : 저글링 지수 " 라는 의미에 대한 설명을 게시했습니다 . $3^\mathbb{N} \cong 5^\mathbb{N}$

이 bijection에는 흥미로운 속성이 있습니다. "bounded-input"은 출력의 각 구성 요소가 입력의 많은 구성 요소에만 의존한다는 것을 의미합니다. 그러나 대한 는 이러한 구조 만 보여 수 보인다 와 경우 동형 및 심지어 양쪽 모두 홀수이다. 이것은 질문을 열어 둡니다 : $k,l\geq 2$ $k^\mathbb{N}$ $l^\mathbb{N}$ $k$ $l$

에서 까지 경계 입력 Bijection이 있습니까? $2^\mathbb{N}$ $3^\mathbb{N}$

다음은 문제를보다 자세하게 설명하는 간단한 설명 입니다. 무한 시퀀스의 경계 입력 Bijections에 관한 추측 .

정의 :

함수 는 정수 가있는 경우 의 출력의 각 구성 요소가 최대 구성 요소 에만 의존 하도록 경계 입력 됩니다. 입력의. 더 공식적으로, 각 인덱스 대해 인덱스 및 함수 있으면 는 경계 입력입니다 되도록 모든 성분 동일 . $f : \prod_{i \in I} X_i \rightarrow \prod_{j\in J} Y_j$ $k$ $f$ $k$ $f$ $j \in J$ $i_1,\dotsb,i_k \in I$ $f_m : X_{i_1}\times\dotsb\times X_{i_k} \rightarrow Y_j$ $x \in X$ $f(x)_j$ $f_j(x_{i_1},\dotsb,x_{i_k})$

회귀 는경계 입력 함수 인 경우경계 입력 Bijection입니다. $f$

bijection 는 그와 그 역이 경계 입력 함수 인 경우 경계 입력 동형 입니다. 이것도 흥미 롭습니다. $f$

puzzles ct.category-theory topology

— 콜린 맥퀸
소스

"바운드 입력 Bijection"의 정의를 메모에서 복사하는 것이 좋습니다. 나는 그것을 읽을 때까지 그 정의를 잘못 이해했다.

— Tsuyoshi Ito

끝난. 질문의 동기가 범주 이론 의미론에서 비롯된 반면 퍼즐 자체는 조합 적이라는 점을 지적하고 싶습니다.

— Colin McQuillan

이 문제에 대한 가장 성가신 것은 쉽게 보인다는 것입니다! 모든 세트

은 서로 경계 입력 동 위원 소형이므로 모든 세트

합니다. 기존 증명에 사용 된 동형 변형을 사용하여이 두 가지를 경계 입력 동형으로 만들 수없는 이유는 알 수 없지만 그러한 시도는 실패한 것 같습니다. 아아 (나는이 분야에 경험이 없으므로, 마크를 벗어

(2 k)^{N}

$(2k)^{\mathbb{N}}$

(2 k + 1)^{N}

$(2k+1)^{\mathbb{N}}$

— Ttoyoshi Ito

저는이 추측이 정말 마음에 들어서 한 달 동안 놀았습니다. 나는 그것을 해결하거나 어느 방향 으로든 진전을 이룬 사람에게 현상금을 줄 것입니다.

— Aaron Sterling의

좋은 질문 :-) 그건 그렇고, 당신이 알고있는

과

사이의 "가장 단순한"동형 은 무엇입니까?

2^{N}

$2^\mathbb{N}$

3^{N}

$3^\mathbb{N}$

— Andrej Bauer

답변:

나는 CS 이론가가 아닙니다. 그러나 인체 공학적 이론에서 이러한 유형의 매핑은 초기 동 형사상으로 알려져 있습니다. 예를 들어, 사람들은 동일한 엔트로피의 두 개의 베르누이 서열이 초기 동형인지 아닌지를 고려했습니다. 예를 들어 (이것은 아니라 과 관련이 있기 때문에 일방적 인 이동입니다 ) : $P^{\mathbb{N}}$ $P^{\mathbb{Z}}$

A. Del Junco,“일측 Bernoulli 교대 사이의 초기 코드,”Ergodic Theory Dynamical Systems, vol. 1, pp. 285–301, 1981.

추신 : 나는 이것을 의견으로 남기고 싶지만 명성 부족으로 인해서는 안됩니다. 주제를 완전히 벗어난 경우 알려 주시면 삭제하겠습니다.

— 곤돌라
소스

나는이 시점에서 이상한 브레인 스토밍 아이디어를 환영합니다.

— Aaron Sterling

이 질문에서 ℕ 또는 from에서 인덱스를 가져 왔는지 여부는 관련이 없습니다.

— 이토 쓰요시

이 답변에 대해 전체 현상금을 수여했습니다. 아무것도하지 않으면 답변이 현상금의 절반을 가장 많이지지 받고 (최소한 두 표를 얻음) 받게됩니다. 누군가가 나중에 전체 또는 부분 증거를 게시하고 그것을 보면, 나는 다른 현상금을 시작하여 솔버에게 담당자를 수여 할 것입니다.

— Aaron Sterling

I는 사이 동형 생각 과 크기의 독점적이고 소모적 인 이진 프리픽스 어떠한 컬렉션에 의해 제공되어야한다 예를 들어, 우리 수 우리를 "0", "10"및 "11". 더 일반적으로, 우리가 사용할 수있는 "0", "10", "110", ..., "11 ... 10", "11 ... 11"마지막 두 번째는이 곳 사람과를 last는 입니다. $k^\mathbb{N}$ $2^\mathbb{N}$ $k$ $k = 3$ $k - 2$ $k - 1$

독점적이고 철저한 특성으로 인해 우리 는 명백한 방식으로 역 ( ) 을 정의 할 수 있습니다 . $2^\mathbb{N} \to k^\mathbb{N}$

순방향으로의 경계는 각 입력 숫자가 적어도 하나의 출력 숫자를 제공하기 때문에 용이하다. 번째 이진수는 첫 번째 자리 숫자만큼 쉽게 결정된다 . $i$ $i$ $k$

뒤쪽 방향의 경계는 조금 더 추합니다. I는 각각의 상기 준 프리픽스 컬렉션 -ary 자리 이하인으로부터 "판독" 이진수하고 있으므로 번째 -ary 자리 이상의 제보다 결정되지 이진수. $k$ $k$ $i$ $k$ $k i$

어느 방향 으로든 입력이 제한되지 않습니다. 경계 입력 함수의 정의에 따라 각 출력 변수가 의존하는 입력 변수의 수에 균일 한 경계 가 필요합니다 . 매핑의 정방향에서 i 번째 출력 변수는 첫 번째 i 입력 변수에 따라 달라 지므로 균일 한 경계가 없습니다. 역방향으로 i 번째 출력 변수는 첫 번째 ki 입력 변수에 따라 다릅니다.

— 이토 쓰요시

도 1.5 번 질문을 읽겠습니다. :(