다항식 시간에서 숫자가 완벽한 거듭 제곱인지 확인하는 방법

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AKS 우선 순위 테스트 알고리즘의 첫 번째 단계는 입력 번호가 완벽한 검정력인지 확인하는 것입니다. 논문이 자세히 설명하지 않았기 때문에 이것은 숫자 이론에서 잘 알려진 사실 인 것 같습니다. 누군가 다항식 시간 에이 작업을 수행하는 방법을 말해 줄 수 있습니까? 감사.

ds.algorithms nt.number-theory

— yzll
소스

7

AKS 알고리즘의 첫 번째 단계는 입력 숫자가 완전한 거듭 제곱인지 ( 일부 정수 c, n> 1 의 경우

형식의 숫자 임 ) 테스트하는 것입니다.이 숫자는 소수입니다. 완벽한 힘을 시험하는 것은 논문 ( von zur Gathen and Gerhard, 2003의 Modern Computer Algebra) 에 인용 된 책의 연습 문제 9.44입니다 . 나는 책을 읽지 않았고 답을 모른다. 그러나 당신은 그 책을 참고 했는가?

c^{n}

$c^n$

— Tsuyoshi Ito

1

AKS의 첫 번째 단계는 숫자가 양의 정수인지, 반드시 소수가 아닌지 확인하는 것입니다. AKS 이전에 다항식 시간의 주요 검정력을 확인하는 방법을 알고 있다면 이미 다항식 시간 우선 성 테스터를 제공했을 것입니다.

— arnab

@Tsuyoshi 내 실수를 지적 해 주셔서 감사합니다. 나는 책을 참고하지 않았다.

— yzll

2

질문이 걱정되는 경우 게시하기 전에 문제를 해결해보십시오.

— Tsuyoshi Ito

Tsuyoshi / arnab, 아마도 답변으로 다시 게시해야합니다.

— Suresh Venkat

31

그것과 같이 쓸 수있다 모두 한 경우, 숫자 N이 주어 후, (b> 1) . 모든 고정 대해 ,가 존재하는지 검사 가진 이진 검색을 사용하여 수행 될 수있다. 따라서 총 실행 시간은 입니다. $a^b$ $b < \log(n) + 1$ $b$ $a$ $a^b = n$ $O(\log^2 n)$

— 람 프라 사드
소스

5

Ramprasad의 답은 지수 인

를 수행 할 시간을 남겨둔다 . 또 다른 방법은

선택한 다음 총 시간이

인

의

근 을 계산 하는 것 입니다.

O (l o g^{3} n)

$O(log^3 n)$

b

$b$

b

$b$

n

$n$

O (l o g^{3} n)

$O(log^3 n)$

— David Marquis

1

간단한 개선 더 제거하는 것을

의해서만 프라임 계수 선택

.

\log \log n

$\log \log n$

b

$b$

— Chao Xu

16

Bach and Sorenson, 완벽한 전력 테스트를위한 시브 (Sieve) 알고리즘, Algorithmica 9 (1993), 313-328, DOI : 10.1007 / BF01228507 및 DJ Bernstein, 본질적으로 선형적인 시간에 완벽한 전력 감지, Math를 참조하십시오. Comp. 67 (1998), 1253-1283.

— 제프리 샬릿
소스

DJ Bernstein, HW Lenstra Jr. 및 J. Pila, 개선 된 점근 실행 시간 및 간단한 치료법을 갖춘 후속 논문도 있습니다. Comp. 76 (2007), 385-388.

— Erick Wong

3

2003 년 3 월 18 일, R.Crandall과 J.Papadopoulos의 AKS class primality test 구현에 대해 흥미롭고 우아한 해결책을 찾았습니다.

— Plomb
소스

2

어떻게 든 이진 검색 알고리즘이 임을 알 수 있습니다 . $O(lg~n \cdot (lg~lg~n)^2)$

먼저, 이면 있습니다. 이진 검색 알고리즘 : 각각에 대해 , 우리는 찾아 진 검색을 사용 . $a^b = n$ $b<lg~n$
$b$ $a$

마다의 계산 선정 이용한 동작 빠른 지수화 . 따라서, 남아있는 문제의 범위 . $a^b$ $lg~b = lg~lg~n$ $a$

경우 의 최대 가능한 값이고 , 이진 검색이 필요 동작을 $A$ $a$ $lg~A$

참고 이며, $b~lg~a = lg~n$

엘 지 에이 = \frac{엘 지 엔}{비}

$lg~A = \frac{lg~n}{b}$

\sum 엘 지 에이 = 엘 지 엔 \cdot (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + . . . + \frac{1}{비}) = 엘 지 엔 \cdot 엘 지 비 = 엘 지 엔 \cdot 엘 지 엘 지 엔

$\sum lg~A = lg~n \cdot (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{B}) = lg~n \cdot lg~B = lg~n \cdot lg~lg~n$

$O(lg~n \cdot lg~lg~n)$

$a^b$ $O(lg~n \cdot (lg~lg~n)^2)$ 마침내.

추신 : 모든 LG는 기본 2입니다.

파이썬 코드 :

#--- a^n ---------------------------------------
def fast_exponentation(a, n):
    ans = 1
    while n:
        if n & 1 : ans = ans * a
        a = a * a
        n >>= 1
    return ans
#------------------------------------------
# Determines whether n is a power a ^ b, O(lg n (lg lg n) ^ 2)
def is_power(n):
    if (- n & n) == n: return True  # 2 ^ k
    lgn = 1 + ( len( bin ( abs ( n ) ) ) - 2)
    for b in range(2,lgn):
        # b lg a = lg n
        lowa = 1L
        higha = 1L << (lgn / b + 1)
        while lowa < higha - 1:
            mida = (lowa + higha) >> 1
            ab = fast_exponentation(mida,b) 
            if ab > n:   higha = mida
            elif ab < n: lowa  = mida
            else:   return True # mida ^ b
    return False

— 케빈
소스